Calcul littéral et algébrique en 5ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de calcul littéral et algébrique pour les élèves de 5ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Produire des formules
- Calculer une expression littérale par substitution
- Tester si une égalité est vraie ou fausse
- Distinguer somme et produit
- Développer et factoriser
- Réduire une expression de la forme ax + b
- Démontrer par le calcul littéral, réfuter par un contre-exemple
- La lettre comme inconnue : mettre un problème en équation
- Résoudre ax = c et x + b = c par les opérations inverses
- Suites de motifs évolutives
Ce que tu vas réviser
- Produire des formules (double, triple, carré, aire, périmètre)
- Calculer une expression littérale par substitution
- Tester si une égalité entre expressions est vraie ou fausse
- Distinguer somme et produit dans une expression littérale
- Relation k(a + b) = ka + kb
- Suites de motifs évolutives
Produire des formules
Une formule utilise une lettre pour désigner un nombre quelconque. On écrit $3n$ à la place de 3 × n : le signe × peut disparaître entre un nombre et une lettre. Pour un nombre n : son double est $2n$, son triple est $3n$, son carré est $n \times n = n^2$, son successeur est $n + 1$ et son prédécesseur est $n - 1$. On écrit aussi des formules de géométrie : l'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur l est $L \times l$, le périmètre d'un carré de côté c est $4c$.
Exemple
Avec n = 7 : le double vaut 2 × 7 = 14, le triple 3 × 7 = 21, le carré 7 × 7 = 49, le successeur 7 + 1 = 8 et le prédécesseur 7 − 1 = 6. Un carré de côté c = 5 cm a pour périmètre 4 × 5 = 20 cm.
À retenir : Une formule donne une règle valable pour tous les nombres : on écrit la règle une seule fois avec une lettre.
Calculer une expression littérale par substitution
Substituer, c'est remplacer la lettre par un nombre donné, puis faire le calcul en respectant les priorités : la multiplication passe avant l'addition et la soustraction.
Exemple
Calculons $A = 3x + 5$ pour x = 4 : A = 3 × 4 + 5 = 12 + 5 = 17. Pour x = 2,5 : A = 3 × 2,5 + 5 = 7,5 + 5 = 12,5.
À retenir : Quand on remplace la lettre, on remet le signe × qui était caché : $3x$ devient 3 × 4.
Tester si une égalité est vraie ou fausse
Une égalité entre deux expressions peut être vraie pour certaines valeurs de la lettre et fausse pour d'autres. Pour la tester avec une valeur, on calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite, puis on compare les deux résultats.
Exemple
Testons $2x + 3 = 5x - 6$. Pour x = 3 : à gauche 2 × 3 + 3 = 9, à droite 5 × 3 − 6 = 15 − 6 = 9. Les deux membres sont égaux : l'égalité est vraie pour x = 3. Pour x = 4 : à gauche 2 × 4 + 3 = 11, à droite 5 × 4 − 6 = 14. Comme 11 ≠ 14, l'égalité est fausse pour x = 4.
À retenir : On calcule chaque membre à part, sans jamais mélanger la gauche et la droite.
Distinguer somme et produit
Pour savoir si une expression est une somme ou un produit, on regarde la dernière opération à effectuer. Si c'est une addition, c'est une somme, et les nombres ajoutés sont les termes. Si c'est une multiplication, c'est un produit, et les nombres multipliés sont les facteurs.
Exemple
Dans $3x + 5$, on calcule d'abord 3 × x, puis on ajoute 5 : la dernière opération est une addition, c'est une somme de deux termes, $3x$ et 5. Dans $3(x + 5)$, on calcule d'abord la parenthèse, puis on multiplie par 3 : c'est un produit de deux facteurs, 3 et $(x + 5)$.
À retenir : Somme : la dernière opération est une addition (ou une soustraction). Produit : la dernière opération est une multiplication.
Développer et factoriser
Pour tous nombres k, a et b : $k(a + b) = ka + kb$ et $k(a - b) = ka - kb$. Développer, c'est passer du produit à la somme (on multiplie chaque terme de la parenthèse par k). Factoriser, c'est faire le chemin inverse : on repère le facteur commun k et on le met devant une parenthèse.
Exemple
Développer : $4(x + 3) = 4x + 12$ et $5(x - 2) = 5x - 10$. Factoriser : $6x + 18 = 6(x + 3)$ car 18 = 6 × 3, et $7x - 7 = 7(x - 1)$ car 7 = 7 × 1. En calcul mental : 9 × 102 = 9 × 100 + 9 × 2 = 900 + 18 = 918.
À retenir : On multiplie k par CHAQUE terme de la parenthèse : $4(x + 3)$ donne $4x + 12$, et pas $4x + 3$.
Réduire une expression de la forme ax + b
Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible. On regroupe les termes en x entre eux (on additionne leurs nombres devant x), puis les nombres seuls entre eux. On obtient une expression de la forme $ax + b$.
Exemple
$3x + 5x = 8x$, car 3 fois x plus 5 fois x font 8 fois x. $2x + 4 + 5x + 1 = 7x + 5$. Avec des décimaux : 1,5x + 2 + 0,5x = 2x + 2. En revanche, $3x + 5$ ne se réduit pas : 3 fois x et 5 ne sont pas de la même sorte.
À retenir : On additionne les x avec les x et les nombres avec les nombres : $3x + 5$ n'est jamais égal à $8x$.
Démontrer par le calcul littéral, réfuter par un contre-exemple
Vérifier une propriété sur quelques exemples ne suffit pas à prouver qu'elle est toujours vraie. Pour la démontrer, on la traduit avec une lettre qui représente n'importe quel nombre, puis on calcule. À l'inverse, pour prouver qu'une affirmation est fausse, un seul exemple où elle ne marche pas suffit : c'est un contre-exemple.
Exemple
Démonstration : trois nombres entiers qui se suivent s'écrivent n, n + 1 et n + 2. Leur somme vaut $n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1)$ : c'est toujours un multiple de 3 (exemple : 4 + 5 + 6 = 15 = 3 × 5). Contre-exemple : l'affirmation « le carré d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre » est fausse, car 0,5 × 0,5 = 0,25 et 0,25 est plus petit que 0,5.
À retenir : Des exemples qui marchent ne prouvent rien ; un seul contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse.
La lettre comme inconnue : mettre un problème en équation
Une lettre peut aussi désigner un nombre précis que l'on cherche : on l'appelle l'inconnue. Mettre un problème en équation, c'est traduire l'énoncé par une égalité qui contient l'inconnue. C'est comme une opération à trou : 4 × … = 10 s'écrit $4x = 10$, et … + 17 = 45 s'écrit $x + 17 = 45$.
Exemple
« Lucas achète 4 cahiers au même prix et paie 10 euros. » Si x est le prix d'un cahier en euros, on écrit $4x = 10$. « Inès avait des billes ; elle en gagne 17 et en a maintenant 45. » Si x est le nombre de billes au départ, on écrit $x + 17 = 45$.
À retenir : On commence toujours par dire ce que représente la lettre (par exemple : x est le prix d'un cahier en euros).
Résoudre ax = c et x + b = c par les opérations inverses
Pour trouver l'inconnue, on défait l'opération avec l'opération inverse. L'inverse d'une addition est une soustraction : si $x + b = c$, alors $x = c - b$. L'inverse d'une multiplication est une division : si $ax = c$ (avec a différent de 0), alors $x = c \div a$, c'est-à-dire le quotient $\frac{c}{a}$. On vérifie toujours en remplaçant x par la valeur trouvée.
Exemple
$x + 17 = 45$ donne x = 45 − 17 = 28. Vérification : 28 + 17 = 45. $4x = 10$ donne x = 10 ÷ 4 = 2,5. Vérification : 4 × 2,5 = 10. $3x = 7$ donne $x = \frac{7}{3}$, car 3 × $\frac{7}{3}$ = 7 (ce quotient n'a pas d'écriture décimale exacte).
À retenir : Plus b : on enlève b. Fois a : on divise par a. Puis on vérifie en remplaçant.
Suites de motifs évolutives
Une suite de motifs change d'une étape à l'autre en suivant une régularité. On compte les éléments aux premières étapes, on repère ce qui s'ajoute à chaque fois, puis on écrit une formule qui donne le nombre d'éléments à l'étape n.
Exemple
On aligne des carrés faits d'allumettes. Étape 1 : un carré, 4 allumettes. Étape 2 : deux carrés côte à côte, 7 allumettes. Étape 3 : 10 allumettes. À chaque étape, on ajoute 3 allumettes. À l'étape n, il y a $3n + 1$ allumettes : pour n = 1, 3 + 1 = 4 ; pour n = 2, 6 + 1 = 7 ; pour n = 10, 30 + 1 = 31 allumettes.
À retenir : On vérifie la formule trouvée sur les premières étapes avant de l'utiliser pour une étape lointaine.
Les points clés
- $3x$ veut dire 3 × x ; $x^2$ veut dire x × x.
- Substituer : remplacer la lettre par sa valeur, puis calculer en respectant les priorités.
- Pour tester une égalité, on calcule chaque membre séparément et on compare.
- La dernière opération effectuée dit si une expression est une somme ou un produit.
- $k(a + b) = ka + kb$ et $k(a - b) = ka - kb$ servent à développer et à factoriser.
- Réduire : on regroupe les termes en x, puis les nombres seuls, pour obtenir $ax + b$.
- Un contre-exemple suffit pour réfuter ; il faut un calcul avec une lettre pour démontrer.
- $x + b = c$ se résout par $x = c - b$ ; $ax = c$ se résout par $x = c \div a$ ; on vérifie ensuite.
L'essentiel
Une lettre représente soit n'importe quel nombre (dans une formule), soit un nombre précis que l'on cherche (l'inconnue d'une équation). On calcule avec les lettres en respectant les règles des nombres, et on résout $x + b = c$ ou $ax = c$ avec l'opération inverse.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
On considère l'expression $A = 2x + 7 + 4x - 3$. a) Réduis A. b) Calcule A pour x = 2,5. c) Teste l'égalité $A = 2(3x + 2)$ pour x = 1 puis pour x = 5. d) Développe $2(3x + 2)$ : que peux-tu en conclure ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
a) Tom a payé 30 euros pour 4 places de cinéma au même prix. Écris une équation dont l'inconnue x est le prix d'une place, puis résous-la. b) Sarah a reçu 12 euros ; elle a maintenant 35 euros dans sa tirelire. Écris une équation dont l'inconnue y est la somme qu'elle avait avant, puis résous-la.
Corrige cet exercice avec le tuteur →