Opérations en 5ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de opérations pour les élèves de 5ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Priorités opératoires et parenthèses
- Enchaîner des opérations ; programme de calcul en une expression
- Distributivité simple sur des exemples numériques
- Multiples et diviseurs
- Critères de divisibilité par 3 et par 9
- Diviser par un nombre décimal
Priorités opératoires et parenthèses
C'est l'ordre dans lequel tu dois faire les calculs pour obtenir le bon résultat. On fait d'abord les parenthèses, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions.
Exemple
Tu achètes 3 pizzas à 12 euros chacune et tu ajoutes 5 euros de frais de livraison. Si tu calcules mal l'ordre, tu ne paies pas le bon prix : $(3 × 12) + 5 = 41$ euros, pas $3 × (12 + 5) = 51$ euros.
À retenir : Parenthèses d'abord, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
Enchaîner des opérations et programmes de calcul
Un programme de calcul est une série d'instructions qu'on applique dans l'ordre à un nombre. On peut l'écrire en une seule expression mathématique en respectant les priorités.
Exemple
Programme : pense à un nombre, ajoute 5, multiplie par 2. Si tu penses à 10 : $(10 + 5) × 2 = 30$. L'expression en une seule ligne utilise les parenthèses pour respecter l'ordre.
À retenir : Un programme de calcul se traduit en une expression avec les opérations écrites dans l'ordre, en utilisant les parenthèses si besoin.
Distributivité simple sur des nombres
La distributivité permet de simplifier un calcul en distribuant une multiplication sur une addition ou soustraction. $a × (b + c) = a × b + a × c$.
Exemple
Tu dois calculer $7 × 23$. Au lieu de multiplier directement, tu peux écrire $7 × 23 = 7 × (20 + 3) = 7 × 20 + 7 × 3 = 140 + 21 = 161$. C'est parfois plus facile à faire de tête.
À retenir : Multiplier par une somme, c'est multiplier par chaque terme et additionner les résultats : $a × (b + c) = a × b + a × c$.
Multiples et diviseurs
Un multiple d'un nombre est le résultat quand on le multiplie par un entier. Un diviseur d'un nombre est un nombre qui le divise exactement, sans reste.
Exemple
Les multiples de 5 sont 5, 10, 15, 20... Les diviseurs de 20 sont 1, 2, 4, 5, 10, 20 (car $20 ÷ 5 = 4$ exactement, donc 5 divise 20).
À retenir : Un diviseur divise exactement un nombre ; un multiple est obtenu en multipliant ce nombre par un entier.
Critères de divisibilité par 3 et 9
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple
Est-ce que 234 est divisible par 3 ? Je fais $2 + 3 + 4 = 9$, et 9 est divisible par 3, donc 234 l'est aussi. Est-ce que 234 est divisible par 9 ? 9 est divisible par 9, donc 234 l'est aussi.
À retenir : Additionne les chiffres du nombre : s'il est divisible par 3 (ou 9), alors le nombre aussi.
Diviser par un nombre décimal
Pour diviser par un nombre décimal (avec une virgule), on peut transformer la division en multipliant le dividende et le diviseur par 10, 100... pour enlever la virgule du diviseur.
Exemple
Calculer $15 ÷ 0{,}5$. Au lieu de diviser par 0,5, on multiplie les deux nombres par 10 : $150 ÷ 5 = 30$. Tu peux vérifier : $0{,}5 × 30 = 15$, c'est juste.
À retenir : Pour diviser par un nombre décimal, multiplie le dividende et le diviseur par 10, 100... pour éliminer la virgule du diviseur.
Les points clés
- Priorité des opérations : parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
- Un programme de calcul s'écrit en une expression avec les parenthèses pour indiquer l'ordre.
- Distributivité : $a × (b + c) = a × b + a × c$.
- Un diviseur divise exactement un nombre ; un multiple en est le produit avec un entier.
- Critère de divisibilité par 3 ou 9 : somme des chiffres divisible par 3 ou 9.
- Diviser par un décimal : multiplier dividende et diviseur par 10, 100... pour supprimer la virgule.
L'essentiel
Les priorités opératoires (parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions) s'appliquent à tous les calculs et doivent toujours être respectées.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Calcule l'expression suivante en respectant les priorités : $12 + 3 × 4 - (8 - 2)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Quel est le résultat de $24 ÷ 0{,}6$ ? Explique ta méthode.
Corrige cet exercice avec le tuteur →