Géométrie du plan — propriétés et transformations en 5ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de géométrie du plan — propriétés et transformations pour les élèves de 5ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Vocabulaire des angles : aigu, obtus, droit, plat, nul, plein
- Angles adjacents, opposés par le sommet, supplémentaires
- Bissectrice d'un angle
- Angles alternes-internes et angles correspondants
- Caractériser le parallélisme de deux droites par les angles
- Symétrie centrale (demi-tour) : définition et propriétés
- Somme des angles d'un triangle (180°)
Vocabulaire des angles
Un angle se mesure en degrés (°) avec un rapporteur. Un angle nul mesure 0°. Un angle aigu mesure entre 0° et 90°. Un angle droit mesure 90°. Un angle obtus mesure entre 90° et 180°. Un angle plat mesure 180° : ses deux côtés forment une droite. Un angle plein mesure 360° : c'est un tour complet.
Exemple
Sur une horloge, aux heures pile, l'angle entre les deux aiguilles augmente de 30° par heure, de 0 h à 6 h. À 1 h, elles forment un angle de 30°, aigu. À 3 h, un angle de 90°, droit. À 5 h, un angle de 150°, obtus. À 6 h, un angle de 180°, plat. L'équerre de la classe a des angles de 30°, 60° et 90°, ou de 45°, 45° et 90°.
À retenir : Aigu : moins de 90°. Droit : 90°. Obtus : entre 90° et 180°. Plat : 180°. Plein : 360°.
Angles adjacents, opposés par le sommet, supplémentaires
Deux angles adjacents ont le même sommet, un côté commun, et sont situés de part et d'autre de ce côté commun. Deux angles opposés par le sommet sont formés par deux droites sécantes : ils ont le même sommet et leurs côtés se prolongent ; ils ont la même mesure. Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme des mesures vaut 180°.
Exemple
Deux droites se coupent en un point O et forment quatre angles : 40°, 140°, 40° et 140°, dans l'ordre en tournant autour de O. Les deux angles de 40° sont opposés par le sommet, les deux angles de 140° aussi. Un angle de 40° et l'angle de 140° qui le suit sont adjacents et supplémentaires : 40° + 140° = 180°.
À retenir : Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure ; deux angles supplémentaires font 180° à eux deux.
Bissectrice d'un angle
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui part du sommet et partage l'angle en deux angles adjacents de même mesure. On peut la tracer au rapporteur, en mesurant la moitié de l'angle. Au compas : on trace un arc de centre le sommet qui coupe les deux côtés en M et N, puis deux arcs de même rayon de centres M et N, qui se coupent en P ; la demi-droite qui part du sommet et passe par P est la bissectrice.
Exemple
La bissectrice d'un angle de 70° le partage en deux angles de 35°. La bissectrice d'un angle droit le partage en deux angles de 45°.
À retenir : La bissectrice coupe l'angle en deux moitiés égales.
Angles alternes-internes et angles correspondants
On considère deux droites (d1) et (d2) coupées par une troisième droite (t), appelée sécante, en A et en B. Imagine (d1) en haut, (d2) en bas et (t) oblique. En A et en B, il y a quatre angles : en haut à gauche, en haut à droite, en bas à gauche, en bas à droite. Deux angles correspondants occupent la même position, l'un en A et l'autre en B. Deux angles alternes-internes sont situés entre les deux droites (d1) et (d2), de part et d'autre de la sécante (t).
Exemple
L'angle en haut à droite en A et l'angle en haut à droite en B sont correspondants. L'angle en bas à droite en A et l'angle en haut à gauche en B sont alternes-internes : ils sont tous les deux entre (d1) et (d2), et de part et d'autre de (t). L'angle en bas à gauche en A et l'angle en haut à droite en B forment l'autre paire d'angles alternes-internes.
À retenir : Correspondants : même position aux deux croisements. Alternes-internes : entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante.
Caractériser le parallélisme par les angles
Propriété : si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes ont la même mesure, et les angles correspondants aussi. Propriété réciproque : si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure (ou deux angles correspondants de même mesure), alors ces deux droites sont parallèles. Ainsi, si deux angles correspondants ont des mesures différentes, les droites ne sont pas parallèles.
Exemple
Deux angles correspondants mesurent tous les deux 65° : les droites (d1) et (d2) sont parallèles. Si l'un mesurait 65° et l'autre 70°, les droites ne seraient pas parallèles : elles finiraient par se couper.
À retenir : Angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, et droites parallèles : l'un entraîne l'autre.
Symétrie centrale (demi-tour)
Le symétrique d'un point M par rapport à un point O est le point M' tel que O soit le milieu du segment [MM']. Le point O est son propre symétrique. Transformer une figure par la symétrie de centre O revient à lui faire faire un demi-tour, c'est-à-dire un tour de 180°, autour de O. Propriétés : le demi-tour conserve les longueurs, les mesures d'angles, les aires et l'alignement ; le symétrique d'une droite est une droite qui lui est parallèle (ou la droite elle-même si elle passe par O) ; le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon.
Exemple
Si OM = 3 cm, alors OM' = 3 cm et MM' = 6 cm. Le symétrique d'un segment de 5 cm est un segment de 5 cm, parallèle au premier. Le symétrique d'un triangle est un triangle qui a les mêmes longueurs et les mêmes angles, retourné tête-bêche.
À retenir : Dans une symétrie centrale, O est le milieu de chaque segment qui relie un point à son image, et la figure garde ses mesures.
Somme des angles d'un triangle
Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut 180°. Pour le démontrer, on trace la parallèle à (BC) qui passe par A : les angles alternes-internes permettent de retrouver les angles B et C au sommet A, où les trois angles forment ensemble un angle plat, donc 180°. Grâce à cette propriété, on calcule le troisième angle quand on connaît les deux autres.
Exemple
Dans un triangle ABC où l'angle en A mesure 50° et l'angle en B mesure 60°, l'angle en C mesure 180° − 50° − 60° = 70°. Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 180° ÷ 3 = 60°. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus font 180° − 90° = 90° à eux deux.
À retenir : Les trois angles d'un triangle font toujours 180° au total.
Les points clés
- Angle nul 0°, aigu entre 0° et 90°, droit 90°, obtus entre 90° et 180°, plat 180°, plein 360°.
- Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure ; deux angles supplémentaires font 180°.
- La bissectrice partage un angle en deux angles de même mesure.
- Correspondants : même position aux deux croisements ; alternes-internes : entre les droites, de part et d'autre de la sécante.
- Droites parallèles et angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure : l'un entraîne l'autre.
- Symétrie centrale : O est le milieu de [MM'] ; longueurs, angles et aires sont conservés.
- La somme des angles d'un triangle vaut 180°.
L'essentiel
Les angles permettent de reconnaître des droites parallèles : quand une sécante coupe deux droites, des angles alternes-internes ou correspondants de même mesure signifient que les droites sont parallèles, et réciproquement. Dans un triangle, les trois angles font toujours 180°, et un demi-tour autour d'un point conserve toutes les mesures de la figure.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Deux droites (d1), en haut, et (d2), en bas, sont coupées par une sécante (t) en A et en B. En A, l'angle en haut à droite mesure 72°. En B, l'angle en haut à droite mesure aussi 72°. a) Comment s'appellent ces deux angles ? b) Les droites (d1) et (d2) sont-elles parallèles ? Justifie. c) Calcule, en B, la mesure de l'angle en haut à gauche et celle de l'angle en bas à gauche.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans le triangle ABC, l'angle en A mesure 38°, l'angle en B est un angle droit et AB = 5 cm. a) Calcule la mesure de l'angle en C. b) On trace la bissectrice de l'angle en C. Quelle est la mesure de chacun des deux angles obtenus ? c) On construit A' et B', symétriques de A et B par rapport au point C. Donne, en justifiant, la longueur A'B' et la mesure de l'angle en A' du triangle A'B'C.
Corrige cet exercice avec le tuteur →