Géométrie du plan — propriétés et transformations en 5ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de géométrie du plan — propriétés et transformations pour les élèves de 5ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Symétrie centrale
- Translation dans le plan
- Homothétie et agrandissement/réduction
- Angles alternes-internes et correspondants
- Somme des angles d'un triangle (180°)
- Inégalité triangulaire
- Triangles semblables et cas de similitude
- Médiatrices et cercle circonscrit
- Hauteurs d'un triangle
- Médianes d'un triangle
Symétrie centrale
La symétrie centrale consiste à faire tourner une figure de 180° autour d'un point appelé centre de symétrie. La figure obtenue est identique mais retournée.
Exemple
Le logo Adidas avec ses trois bandes : si tu le fais tourner de 180° autour de son centre, tu obtiens exactement la même forme.
À retenir : Dans une symétrie centrale, chaque point et son image sont à égale distance du centre de symétrie.
Translation dans le plan
Une translation est un déplacement d'une figure dans une direction donnée, sur une certaine distance. La figure ne tourne pas, elle glisse simplement.
Exemple
Un ascenseur qui monte : la cabine se déplace verticalement sans tourner, c'est une translation.
À retenir : Une translation conserve la forme et la taille de la figure, seule la position change.
Homothétie et agrandissement/réduction
L'homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d'un point fixe appelé centre. Le rapport d'homothétie indique si on agrandit ou on réduit.
Exemple
Quand tu zoomes sur Google Maps, tu agrandis la carte : c'est une homothétie de rapport supérieur à 1.
À retenir : Un rapport d'homothétie de 2 agrandit la figure 2 fois, un rapport de 0,5 la réduit de moitié.
Angles alternes-internes et correspondants
Quand deux droites parallèles sont coupées par une droite sécante, les angles alternes-internes sont égaux, et les angles correspondants sont aussi égaux.
Exemple
Les rails d'une voie ferrée sont parallèles : les angles formés avec une route qui les traverse sont égaux de chaque côté.
À retenir : Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes et correspondants sont égaux.
Somme des angles d'un triangle
La somme de tous les angles d'un triangle est toujours égale à 180°, peu importe la forme du triangle.
Exemple
Dans un triangle rectangle, un angle mesure 90°. Si un autre mesure 60°, le troisième mesure forcément 30° car 90 + 60 + 30 = 180.
À retenir : La somme des trois angles d'un triangle vaut toujours $180°$.
Inégalité triangulaire
Pour former un triangle, la somme de deux côtés doit toujours être plus grande que le troisième côté. Sinon, les trois points sont alignés et il n'y a pas de triangle.
Exemple
Si tu as des bâtons de 3 cm, 4 cm et 10 cm, tu ne peux pas former un triangle car 3 + 4 = 7 qui est inférieur à 10.
À retenir : Pour un triangle avec côtés a, b, c : on doit avoir $a + b > c$, $a + c > b$ et $b + c > a$.
Triangles semblables et cas de similitude
Deux triangles sont semblables s'ils ont la même forme mais pas forcément la même taille. Leurs angles sont égaux et leurs côtés sont proportionnels.
Exemple
Une photo et son agrandissement sur un poster : les deux triangles dessinés dessus sont semblables.
À retenir : Deux triangles sont semblables si leurs trois angles sont égaux ou si leurs côtés sont proportionnels.
Médiatrices et cercle circonscrit
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire qui passe par le milieu du segment. Les trois médiatrices d'un triangle se rencontrent en un point appelé centre du cercle circonscrit.
Exemple
Le cercle circonscrit d'un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle, comme un ballon qui toucherait les trois coins d'une table triangulaire.
À retenir : Le centre du cercle circonscrit est le point où se rencontrent les trois médiatrices du triangle.
Hauteurs d'un triangle
Une hauteur d'un triangle est une droite qui part d'un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Chaque triangle a trois hauteurs.
Exemple
Si tu veux mesurer la profondeur d'une piscine triangulaire, tu traces une ligne perpendiculaire du bord jusqu'au fond : c'est une hauteur.
À retenir : Une hauteur est toujours perpendiculaire au côté sur lequel elle s'appuie.
Médianes d'un triangle
Une médiane d'un triangle est un segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé. Les trois médianes se rencontrent en un point appelé centre de gravité.
Exemple
Si tu veux équilibrer un triangle en carton sur la pointe d'un crayon, tu dois le placer au centre de gravité où se croisent les trois médianes.
À retenir : Les trois médianes d'un triangle se croisent toujours en un même point appelé centre de gravité.
Les points clés
- La symétrie centrale tourne une figure de 180° autour d'un point
- La translation déplace une figure sans la tourner ni la déformer
- L'homothétie agrandit ou réduit une figure à partir d'un centre
- La somme des angles d'un triangle est toujours 180°
- L'inégalité triangulaire : la somme de deux côtés doit être plus grande que le troisième
- Les trois médiatrices se croisent au centre du cercle circonscrit
- Les trois hauteurs sont perpendiculaires aux côtés du triangle
- Les trois médianes se croisent au centre de gravité
L'essentiel
Les transformations géométriques (symétrie, translation, homothétie) conservent certaines propriétés, et les triangles obéissent à des règles précises : somme des angles 180°, inégalité triangulaire, et trois droites remarquables (médiatrices, hauteurs, médianes).
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit un triangle ABC tel que AB = 5 cm, BC = 7 cm et AC = 9 cm. Vérifier si ces longueurs peuvent former un triangle.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Construire le point B', symétrique du point B par rapport au point O. Construire le point C', symétrique du point C par rapport au point O. Que peut-on dire des droites (BC) et (B'C') ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →