Fractions : calculs et comparaisons en 5ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fractions : calculs et comparaisons pour les élèves de 5ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Reconnaître des fractions égales
- Comparer des fractions
- Additionner et soustraire des fractions
- Résoudre des problèmes avec des fractions
- Écriture décimale des fractions simples
- Écrire un même nombre sous plusieurs formes
- Écrire une fraction comme un entier plus une fraction inférieure à 1
- Prendre une fraction simple d'un nombre
Ce que tu vas réviser
- Reconnaître des fractions égales (2/3 = …/15)
- Comparer des fractions
- Additionner et soustraire des fractions de dénominateurs quelconques
- Résoudre des problèmes avec des additions et soustractions de fractions
- Écriture décimale des fractions simples
- Écrire un même nombre sous plusieurs formes (1,2 = 12/10 = 6/5 = 120 %)
- Écrire une fraction comme somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1 (17/5 = 3 + 2/5)
- Prendre une fraction simple d'un nombre (le tiers de 18)
Reconnaître des fractions égales
On obtient une fraction égale en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre entier non nul. Les deux fractions représentent alors la même quantité.
Exemple
Pour compléter $\frac{2}{3} = \frac{\ldots}{15}$ : on passe de 3 à 15 en multipliant par 5, donc on multiplie aussi 2 par 5, ce qui donne $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$. De même, $\frac{4}{7} = \frac{8}{14}$ (on a multiplié par 2 en haut et en bas). Une pizza coupée en 3 parts dont on prend 2 représente autant qu'une pizza coupée en 15 parts dont on prend 10.
À retenir : On multiplie le numérateur ET le dénominateur par le même nombre, jamais un seul des deux.
Comparer des fractions
Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Si elles ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur (les parts sont plus grandes). Sinon, on les écrit avec un même dénominateur, puis on compare les numérateurs. On peut aussi comparer à 1 : une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur est plus grande que 1.
Exemple
$\frac{2}{7} < \frac{5}{7}$ car 2 < 5. $\frac{8}{21} < \frac{8}{12}$ car des vingt-et-unièmes sont plus petits que des douzièmes. Pour $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{5}$ : $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$ et $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$, donc $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$. Enfin $\frac{8}{3} > 1$ et $\frac{6}{7} < 1$, donc $\frac{8}{3} > \frac{6}{7}$.
À retenir : Avant de comparer les numérateurs, on vérifie que les dénominateurs sont les mêmes.
Additionner et soustraire des fractions
Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur, on additionne ou on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur. Si les dénominateurs sont différents, on commence par écrire les deux fractions avec un même dénominateur, qui est un multiple commun des deux dénominateurs.
Exemple
$\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$. Pour $\frac{1}{3} - \frac{2}{21}$ : 21 est un multiple de 3, et $\frac{1}{3} = \frac{7}{21}$, donc $\frac{7}{21} - \frac{2}{21} = \frac{5}{21}$. Pour $\frac{3}{4} + \frac{2}{5}$ : 20 est un multiple de 4 et de 5, $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$ et $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$, donc la somme vaut $\frac{23}{20}$.
À retenir : On n'additionne jamais les dénominateurs : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ne vaut pas $\frac{2}{5}$, il vaut $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
Résoudre des problèmes avec des fractions
Dans un problème, une fraction désigne souvent une part d'un tout. Le tout entier correspond à la fraction 1, que l'on peut écrire avec n'importe quel dénominateur : $1 = \frac{15}{15}$. Pour trouver la part restante, on soustrait de 1 les parts déjà utilisées.
Exemple
Léa lit $\frac{1}{3}$ d'un livre lundi et $\frac{2}{5}$ mardi. Avec le dénominateur 15 : $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ et $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$. Elle a lu $\frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15}$ du livre. Il lui reste $\frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}$ du livre.
À retenir : Le tout vaut 1 : la part restante s'obtient en soustrayant de 1 les parts connues.
Écriture décimale des fractions simples
Une fraction est le quotient de son numérateur par son dénominateur. Certaines fractions simples ont une écriture décimale à connaître par cœur. D'autres, comme $\frac{1}{3}$, n'ont pas d'écriture décimale exacte : la division ne s'arrête jamais (0,333…).
Exemple
$\frac{1}{2}$ = 0,5 ; $\frac{1}{4}$ = 0,25 ; $\frac{3}{4}$ = 0,75 ; $\frac{3}{2}$ = 1,5 ; $\frac{5}{2}$ = 2,5 ; $\frac{7}{10}$ = 0,7 ; $\frac{4}{100}$ = 0,04.
À retenir : Pour trouver l'écriture décimale d'une fraction, on divise le numérateur par le dénominateur.
Écrire un même nombre sous plusieurs formes
Un même nombre peut s'écrire en écriture décimale, sous forme de fraction, comme la somme d'un entier et d'une fraction, ou en pourcentage. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : 120 % signifie $\frac{120}{100}$.
Exemple
1,2 = $\frac{12}{10}$ = $\frac{6}{5}$ = $1 + \frac{1}{5}$ = $\frac{120}{100}$ = 120 %. On a bien $\frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ car 6 × 2 = 12 et 5 × 2 = 10, et $\frac{1}{5}$ = 0,2. De même, 0,75 = $\frac{75}{100}$ = $\frac{3}{4}$ = 75 %.
À retenir : Pour passer d'un décimal à un pourcentage, on écrit la fraction de dénominateur 100 : 0,75 = $\frac{75}{100}$ = 75 %.
Écrire une fraction comme un entier plus une fraction inférieure à 1
Quand le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est plus grande que 1. On peut alors l'écrire comme un nombre entier plus une fraction inférieure à 1, à l'aide de la division euclidienne du numérateur par le dénominateur : le quotient donne l'entier, le reste donne le nouveau numérateur.
Exemple
17 = 3 × 5 + 2, donc $\frac{17}{5} = 3 + \frac{2}{5}$. De même, 23 = 5 × 4 + 3, donc $\frac{23}{4} = 5 + \frac{3}{4}$.
À retenir : Le reste de la division est toujours plus petit que le dénominateur : la fraction qui reste est bien inférieure à 1.
Prendre une fraction simple d'un nombre
Prendre le tiers d'un nombre, c'est le diviser par 3 ; prendre le quart, c'est le diviser par 4. Pour prendre $\frac{2}{3}$ d'un nombre, on prend son tiers, puis on multiplie par 2.
Exemple
Le tiers de 18 est 18 ÷ 3 = 6. Le quart de 12 est 12 ÷ 4 = 3. Les $\frac{2}{3}$ de 18 valent 6 × 2 = 12. Les $\frac{3}{4}$ de 20 euros valent (20 ÷ 4) × 3 = 5 × 3 = 15 euros.
À retenir : Pour prendre une fraction d'un nombre, on divise par le dénominateur puis on multiplie par le numérateur.
Les points clés
- On obtient une fraction égale en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
- Pour comparer, additionner ou soustraire deux fractions, on les écrit d'abord avec un même dénominateur.
- On additionne les numérateurs et on garde le dénominateur ; on n'additionne jamais les dénominateurs.
- Le tout vaut 1 ; la part restante s'obtient en soustrayant de 1.
- $\frac{1}{2}$ = 0,5 ; $\frac{1}{4}$ = 0,25 ; $\frac{3}{4}$ = 0,75 ; un pourcentage est une fraction de dénominateur 100.
- $\frac{17}{5} = 3 + \frac{2}{5}$ grâce à la division euclidienne 17 = 3 × 5 + 2.
- Le tiers de 18, c'est 18 ÷ 3 = 6.
L'essentiel
Une fraction est un nombre qui peut s'écrire de plusieurs façons : fractions égales, écriture décimale, pourcentage, entier plus fraction. Pour comparer, additionner ou soustraire des fractions, on les met au même dénominateur, puis on travaille sur les numérateurs.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
a) Compare $\frac{5}{6}$ et $\frac{7}{9}$. b) Calcule $\frac{5}{6} - \frac{7}{9}$. c) Calcule $\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$, puis écris le résultat comme un entier plus une fraction inférieure à 1.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un jardin a une aire de 400 m². Les $\frac{2}{5}$ du jardin sont un potager, $\frac{1}{4}$ est planté de fleurs et le reste est une pelouse. a) Quelle fraction du jardin occupe la pelouse ? b) Calcule l'aire du potager, celle des fleurs et celle de la pelouse. c) Écris la fraction occupée par la pelouse en écriture décimale et en pourcentage.
Corrige cet exercice avec le tuteur →