Nombres relatifs en 5ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de nombres relatifs pour les élèves de 5ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Nombres relatifs : positifs et négatifs
- Opposé et valeur absolue
- Abscisse sur une droite graduée
- Comparer et ranger des nombres relatifs
- Additionner des nombres relatifs
- Parenthèses indispensables et écriture simplifiée
- Enchaîner additions et soustractions
- Problèmes concrets : température, altitude, temps
- Repère orthogonal du plan
Ce que tu vas réviser
- Nombres relatifs : positif, strictement positif, négatif, strictement négatif
- Opposé et valeur absolue d'un nombre
- Lire l'abscisse d'un point et placer un nombre relatif sur une droite graduée
- Comparer et ranger des nombres décimaux relatifs
- Additionner deux ou plusieurs nombres décimaux relatifs
- Soustraire deux nombres décimaux relatifs
- Parenthèses indispensables et simplification de l'écriture des sommes
- Enchaîner additions et soustractions de relatifs
- Problèmes concrets : température, altitude, temps
- Repère orthogonal : lire et placer un point de coordonnées données
Nombres relatifs : positifs et négatifs
Un nombre relatif est un nombre muni d'un signe + ou −. Un nombre positif est supérieur ou égal à 0 ; un nombre négatif est inférieur ou égal à 0. Un nombre strictement positif est supérieur à 0 ; un nombre strictement négatif est inférieur à 0. Le nombre 0 est à la fois positif et négatif, mais il n'est ni strictement positif ni strictement négatif.
Exemple
La température : 15 °C au-dessus de zéro se note $+15$ (ou $15$), et 5 °C au-dessous de zéro se note $-5$. $+3{,}2$ est strictement positif, $-0{,}7$ est strictement négatif.
À retenir : Les nombres strictement négatifs s'écrivent avec un signe moins devant : $-3$, $-15$, $-100$. Le signe + d'un nombre positif peut être omis : $+7 = 7$.
Opposé et valeur absolue
Deux nombres sont opposés quand ils ne diffèrent que par leur signe : l'opposé de $5$ est $-5$, l'opposé de $-3$ est $3$, l'opposé de $0$ est $0$. La valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro sur la droite graduée : c'est le nombre sans son signe.
Exemple
Sur une droite graduée, $-5$ et $5$ sont à la même distance de 0, de part et d'autre : ils sont opposés et ont la même valeur absolue, 5.
À retenir : La valeur absolue de $-7$ est 7, et celle de $7$ est aussi 7. On note : $|-7| = 7$ et $|7| = 7$. Une valeur absolue est toujours positive.
Abscisse sur une droite graduée
Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif appelé son abscisse. Les nombres positifs sont à droite de l'origine (le point d'abscisse 0), les nombres négatifs à gauche.
Exemple
Sur une droite graduée de 1 en 1, le point A situé 3 graduations à gauche de l'origine a pour abscisse $-3$ ; on note $A(-3)$. Un thermomètre est une droite graduée verticale.
À retenir : Pour placer un point d'abscisse $-2{,}5$, on part de l'origine et on compte 2,5 unités vers la gauche.
Comparer et ranger des nombres relatifs
Sur une droite graduée orientée vers la droite, le plus petit de deux nombres est celui qui est le plus à gauche. On utilise les symboles < (inférieur à) et > (supérieur à).
Exemple
En hiver, $-8$ °C est plus froid que $-2$ °C, donc $-8 < -2$. Attention : $8 > 2$, mais $-8 < -2$ car $-8$ est plus loin de zéro, du côté négatif.
À retenir : Un nombre strictement négatif est plus petit que tout nombre positif. Entre deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande valeur absolue.
Additionner des nombres relatifs
Pour additionner deux nombres de même signe, on additionne leurs valeurs absolues et on garde le signe commun. Pour additionner deux nombres de signes différents, on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, et on prend le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue. Pour additionner plusieurs nombres, on peut regrouper les positifs d'un côté et les négatifs de l'autre.
Exemple
$(-4) + (-6) = -10$ ; $(+50) + (-30) = +20$ ; $(-9) + (+2) = -7$. Plusieurs nombres : $(+3) + (-5) + (+4) + (-1) = (+7) + (-6) = +1$.
À retenir : Deux nombres opposés ont une somme nulle : $(-8) + (+8) = 0$.
Soustraire des nombres relatifs
Soustraire un nombre relatif, c'est ajouter son opposé.
Exemple
$(+5) - (+8) = (+5) + (-8) = -3$. Le matin il fait $-3$ °C, l'après-midi $5$ °C : l'écart est $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$ °C.
À retenir : Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : $7 - (-2) = 7 + 2 = 9$ et $4 - 6 = 4 + (-6) = -2$.
Parenthèses indispensables et écriture simplifiée
Deux signes d'opération et de nombre ne peuvent pas se suivre : dans $5 - (-3)$, les parenthèses sont indispensables. Pour simplifier l'écriture d'une somme, on transforme les soustractions en additions, puis on supprime les signes + d'addition et les parenthèses : chaque nombre garde son signe.
Exemple
$(+5) + (-3) - (+2) - (-4) = (+5) + (-3) + (-2) + (+4)$, qui s'écrit simplement $5 - 3 - 2 + 4$.
À retenir : Dans une écriture simplifiée, chaque signe placé devant un nombre est le signe de ce nombre : $5 - 3 - 2 + 4$ est la somme de $5$, $-3$, $-2$ et $4$.
Enchaîner additions et soustractions
Pour calculer une suite d'additions et de soustractions de relatifs, on écrit la somme simplifiée, puis on calcule de gauche à droite ou on regroupe les nombres positifs et les nombres négatifs.
Exemple
$A = -7 + 12 - 9 + 3$. Positifs : $12 + 3 = 15$. Négatifs : $-7 - 9 = -16$. Donc $A = 15 - 16 = -1$.
À retenir : Regrouper les positifs et les négatifs évite les erreurs de signe.
Problèmes concrets : température, altitude, temps
Les nombres relatifs servent à représenter des grandeurs qui peuvent être inférieures à zéro : températures, altitudes sous le niveau de la mer, gains et pertes, dates avant un instant de référence. Une variation se calcule par une soustraction : valeur d'arrivée − valeur de départ.
Exemple
Un plongeur est à $-15$ m (15 m sous la surface). Il remonte de 6 m : il est à $-15 + 6 = -9$ m. Un jour, la température minimale est $-4$ °C et la maximale $9$ °C : l'écart est $9 - (-4) = 13$ °C.
À retenir : Écart entre deux valeurs = plus grande valeur − plus petite valeur.
Repère orthogonal du plan
Un repère orthogonal est formé de deux droites graduées perpendiculaires qui se coupent en leur origine O : l'axe des abscisses (horizontal) et l'axe des ordonnées (vertical). Chaque point est repéré par deux nombres relatifs, ses coordonnées : d'abord l'abscisse, puis l'ordonnée.
Exemple
Le point $B(-2 ; 3)$ s'obtient en partant de O, en se déplaçant de 2 unités vers la gauche, puis de 3 unités vers le haut. Le point $C(4 ; -1)$ : 4 unités vers la droite, puis 1 unité vers le bas.
À retenir : Un point se note $M(x ; y)$ : $x$ est l'abscisse (lue sur l'axe horizontal), $y$ l'ordonnée (lue sur l'axe vertical). L'origine est $O(0 ; 0)$.
Les points clés
- 0 est à la fois positif et négatif, mais ni strictement positif ni strictement négatif
- Deux nombres opposés ont la même valeur absolue (distance à zéro)
- Sur une droite graduée, les nombres augmentent vers la droite et diminuent vers la gauche
- Un nombre strictement négatif est toujours plus petit qu'un nombre positif
- Pour additionner des relatifs de signes différents, on soustrait les valeurs absolues et on garde le signe de celui qui a la plus grande
- Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé
- Dans un repère orthogonal, un point se repère par ses coordonnées $(x ; y)$ : abscisse puis ordonnée
L'essentiel
Les nombres relatifs permettent de représenter des quantités en deux directions opposées (positif et négatif), et les règles de calcul changent selon les signes.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Place les nombres suivants sur une droite graduée et range-les du plus petit au plus grand : $-5$ ; $+3$ ; $-1$ ; $0$ ; $+7$ ; $-8$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Calcule : $A = (+15) + (-8)$ et $B = (-6) - (-4)$. Explique chaque étape.
Corrige cet exercice avec le tuteur →