Vecteurs, droites et plans de l'espace en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de vecteurs, droites et plans de l'espace pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Combinaisons linéaires de vecteurs, colinéarité, coplanarité
- Caractérisation d'une droite (point + vecteur directeur)
- Caractérisation d'un plan (point + deux vecteurs non colinéaires)
- Bases, repères de l'espace, coordonnées
- Représentation paramétrique d'une droite
Combinaisons linéaires de vecteurs
Une combinaison linéaire de vecteurs est une somme de ces vecteurs multipliés par des nombres réels. Par exemple, $2\vec{u} + 3\vec{v} - \vec{w}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$.
Exemple
Imagine que tu dois te déplacer en skateboard : tu peux combiner un mouvement vers l'avant (vecteur $\vec{u}$) et un mouvement vers la droite (vecteur $\vec{v}$). Ton déplacement final est une combinaison linéaire de ces deux mouvements.
À retenir : Une combinaison linéaire est toujours une somme de vecteurs multipliés par des coefficients réels.
Colinéarité de vecteurs
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'ils ont la même direction, c'est-à-dire si l'un est un multiple de l'autre : il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ ou $\vec{v} = k\vec{u}$. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Exemple
Deux voitures qui roulent sur deux voies parallèles d'une route droite, dans le même sens ou en sens contraires, ont des vecteurs vitesse colinéaires.
À retenir : Si $\vec{v} \neq \vec{0}$ : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$.
Coplanarité de vecteurs
Trois vecteurs sont coplanaires s'ils peuvent être représentés dans un même plan. Cela signifie qu'un des trois vecteurs peut s'exprimer comme combinaison linéaire des deux autres : $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.
Exemple
Imagine une feuille de papier (un plan). Tous les vecteurs que tu peux dessiner sur cette feuille sont coplanaires. Un vecteur qui « sort » de la feuille n'est pas coplanaire avec eux.
À retenir : Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires : $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement s'il existe des réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.
Caractérisation d'une droite
Une droite dans l'espace est entièrement déterminée par un point et un vecteur directeur. Le vecteur directeur indique la direction de la droite, et le point indique par où elle passe.
Exemple
Une route peut être décrite par un carrefour (le point) et la direction qu'elle prend (le vecteur directeur). Cela suffit pour savoir où va la route.
À retenir : La droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ (non nul) est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire $\overrightarrow{AM} = t\vec{u}$ avec $t$ réel.
Caractérisation d'un plan
Un plan dans l'espace est déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires. Ces deux vecteurs donnent les deux directions principales du plan, et le point indique où le plan est situé.
Exemple
Le dessus d'une table est une portion de plan : tu as besoin d'un coin (le point) et de deux directions différentes (les deux bords qui se rencontrent au coin) pour décrire complètement la table.
À retenir : Le plan passant par $A$ et dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} = x\vec{u} + y\vec{v}$, avec $x$ et $y$ réels.
Bases et repères de l'espace
Une base de l'espace est un triplet $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de vecteurs non coplanaires. Un repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est formé d'un point origine $O$ et d'une base. Tout vecteur de l'espace s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.
Exemple
Dans ta chambre, tu peux choisir un coin (l'origine) et trois directions : vers la droite, vers l'avant et vers le haut. Ces trois directions forment une base, et tu peux localiser n'importe quel objet avec ces trois directions.
À retenir : Une base de l'espace contient exactement trois vecteurs non coplanaires, et tout vecteur s'y exprime de manière unique.
Coordonnées dans l'espace
Les coordonnées $(x; y; z)$ d'un vecteur $\vec{v}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ sont les réels tels que $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. Les coordonnées d'un point $M$ dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ sont celles du vecteur $\overrightarrow{OM}$. Si $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$, alors $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.
Exemple
Dans ta chambre, prends un coin comme origine et le mètre comme unité sur trois arêtes : un objet situé à 2 m vers la droite, 1 m vers l'avant et 0,5 m de hauteur a pour coordonnées $(2; 1; 0{,}5)$ dans ce repère.
À retenir : Les coordonnées $(x; y; z)$ d'un vecteur indiquent comment le construire à partir des vecteurs de la base ; celles d'un point $M$ sont celles de $\overrightarrow{OM}$.
Représentation paramétrique d'une droite
La représentation paramétrique d'une droite passant par le point $A(x_0; y_0; z_0)$, de vecteur directeur $\vec{u}(a; b; c)$ non nul, est : $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$ où $t$ est un paramètre réel.
Exemple
Un avion décollant d'un aéroport suit une trajectoire rectiligne. Sa position à chaque instant $t$ (en heures) peut être décrite par ces trois équations : position horizontale, position latérale et altitude.
À retenir : La représentation paramétrique d'une droite utilise un paramètre $t$ pour décrire tous les points de la droite.
Les points clés
- Une combinaison linéaire de vecteurs est une somme pondérée : $k_1\vec{u_1} + k_2\vec{u_2} + \dots + k_n\vec{u_n}$
- Si $\vec{v} \neq \vec{0}$, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\vec{u} = k\vec{v}$ pour un réel $k$
- Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$
- Une droite est définie par un point et un vecteur directeur non nul
- Un plan est défini par un point et deux vecteurs non colinéaires
- Une base de l'espace contient trois vecteurs non coplanaires
- Les coordonnées permettent de localiser précisément un point ou un vecteur
- La représentation paramétrique d'une droite utilise un paramètre $t$ pour générer tous ses points
L'essentiel
L'espace 3D est complètement décrit par un repère (point origine + trois vecteurs non coplanaires), et tout objet géométrique (droite, plan, point) peut être localisé avec des coordonnées ou des équations paramétriques.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit les points $A(1; 2; 3)$, $B(2; 4; 5)$ et $C(3; 6; 7)$. Montre que ces trois points sont alignés et écris une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit les vecteurs $\vec{u}(1; 0; 1)$, $\vec{v}(0; 1; 1)$ et $\vec{w}(1; 1; 2)$. Montre que $\vec{w}$ est une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, puis déduis-en que ces trois vecteurs sont coplanaires.
Corrige cet exercice avec le tuteur →