Vecteurs, droites et plans de l'espace en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de vecteurs, droites et plans de l'espace pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Combinaisons linéaires de vecteurs, colinéarité, coplanarité
- Caractérisation d'une droite (point + vecteur directeur)
- Caractérisation d'un plan (point + deux vecteurs non colinéaires)
- Bases, repères de l'espace, coordonnées
- Représentation paramétrique d'une droite
Combinaisons linéaires de vecteurs
Une combinaison linéaire de vecteurs est une somme de ces vecteurs multipliés par des nombres réels. Par exemple, $2\vec{u} + 3\vec{v} - \vec{w}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$.
Exemple
Imagine que tu dois te déplacer en skateboard : tu peux combiner un mouvement vers l'avant (vecteur $\vec{u}$) et un mouvement vers la droite (vecteur $\vec{v}$). Ton déplacement final est une combinaison linéaire de ces deux mouvements.
À retenir : Une combinaison linéaire est toujours une somme de vecteurs multipliés par des coefficients réels.
Colinéarité de vecteurs
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils sont parallèles, c'est-à-dire si l'un est un multiple de l'autre. Mathématiquement, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si $\vec{u} = k\vec{v}$ pour un réel $k$.
Exemple
Sur une route droite, si deux voitures roulent dans la même direction (ou directions opposées), leurs vecteurs vitesse sont colinéaires. Elles suivent le même chemin.
À retenir : Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l'un est un multiple scalaire de l'autre.
Coplanarité de vecteurs
Trois vecteurs sont coplanaires s'ils peuvent être représentés dans un même plan. Cela signifie qu'un des trois vecteurs peut s'exprimer comme combinaison linéaire des deux autres : $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.
Exemple
Imagine une feuille de papier (un plan). Tous les vecteurs que tu peux dessiner sur cette feuille sont coplanaires. Dès que tu sors de la feuille en 3D, tu n'es plus coplanaire.
À retenir : Trois vecteurs sont coplanaires si l'un peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres.
Caractérisation d'une droite
Une droite dans l'espace est entièrement déterminée par un point et un vecteur directeur. Le vecteur directeur indique la direction de la droite, et le point indique par où elle passe.
Exemple
Une route peut être décrite par un carrefour (le point) et la direction qu'elle prend (le vecteur directeur). Cela suffit pour savoir où va la route.
À retenir : Une droite est définie par un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}$ non nul.
Caractérisation d'un plan
Un plan dans l'espace est déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires. Ces deux vecteurs donnent les deux directions principales du plan, et le point indique où le plan est situé.
Exemple
Une table est un plan : tu as besoin d'un coin (le point) et de deux directions différentes (les deux bords qui se rencontrent au coin) pour décrire complètement la table.
À retenir : Un plan est défini par un point $A$ et deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Bases et repères de l'espace
Une base de l'espace est un ensemble de trois vecteurs non coplanaires. Un repère est une base associée à un point origine. Tout vecteur de l'espace peut s'exprimer uniquement comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.
Exemple
Dans ta chambre, tu peux choisir un coin (l'origine) et trois directions : vers la droite, vers l'avant et vers le haut. Ces trois directions forment une base, et tu peux localiser n'importe quel objet avec ces trois directions.
À retenir : Une base de l'espace contient exactement trois vecteurs non coplanaires, et tout vecteur s'y exprime de manière unique.
Coordonnées dans l'espace
Les coordonnées d'un point ou d'un vecteur sont les coefficients qui expriment ce point ou ce vecteur dans une base donnée. Si $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, alors $(x, y, z)$ sont les coordonnées de $\vec{v}$.
Exemple
Sur un GPS, ta position est donnée par trois nombres : latitude, longitude et altitude. Ce sont tes coordonnées dans l'espace terrestre.
À retenir : Les coordonnées $(x, y, z)$ d'un vecteur expriment comment le construire à partir des vecteurs de base.
Représentation paramétrique d'une droite
La représentation paramétrique d'une droite passant par le point $A(x_0, y_0, z_0)$ avec vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ est : $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$ où $t$ est un paramètre réel.
Exemple
Un avion décollant d'un aéroport suit une trajectoire rectiligne. Sa position à chaque instant $t$ (en heures) peut être décrite par ces trois équations : position horizontale, position latérale et altitude.
À retenir : La représentation paramétrique d'une droite utilise un paramètre $t$ pour décrire tous les points de la droite.
Les points clés
- Une combinaison linéaire de vecteurs est une somme pondérée : $k_1\vec{u_1} + k_2\vec{u_2} + ... + k_n\vec{u_n}$
- Deux vecteurs colinéaires sont parallèles : $\vec{u} = k\vec{v}$ pour un réel $k \neq 0$
- Trois vecteurs coplanaires peuvent être représentés dans un même plan : $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$
- Une droite est définie par un point et un vecteur directeur non nul
- Un plan est défini par un point et deux vecteurs non colinéaires
- Une base de l'espace contient trois vecteurs non coplanaires
- Les coordonnées permettent de localiser précisément un point ou un vecteur
- La représentation paramétrique d'une droite utilise un paramètre $t$ pour générer tous ses points
L'essentiel
L'espace 3D est complètement décrit par un repère (point origine + trois vecteurs non coplanaires), et tout objet géométrique (droite, plan, point) peut être localisé avec des coordonnées ou des équations paramétriques.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit les points $A(1, 2, 3)$, $B(2, 4, 5)$ et $C(3, 6, 7)$. Montre que ces trois points sont alignés (colinéaires) et écris la représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit les vecteurs $\vec{u}(1, 0, 1)$, $\vec{v}(0, 1, 1)$ et $\vec{w}(1, 1, 2)$. Montre que $\vec{w}$ est une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, puis déduis-en que ces trois vecteurs sont coplanaires.
Corrige cet exercice avec le tuteur →