Combinatoire et dénombrement en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de combinatoire et dénombrement pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Principe additif et principe multiplicatif
- k-uplets d'un ensemble à n éléments (n^k)
- Permutations d'un ensemble (n!)
- Combinaisons : nombre de parties à k éléments
- Coefficient binomial et notation C(n,k)
- Triangle de Pascal et propriétés du coefficient binomial
- Formule du binôme de Newton
Principe additif et multiplicatif
Le principe additif compte les cas disjoints en les ajoutant. Le principe multiplicatif compte les choix successifs en les multipliant. Ils permettent de compter sans énumérer tous les cas.
Exemple
Pour aller au cinéma : tu choisis entre 3 films OU 2 séries (additif : 3+2=5 options). Pour commander un menu : tu choisis 1 plat parmi 4 ET 1 dessert parmi 3 (multiplicatif : 4×3=12 menus).
À retenir : Additif = OU (addition), Multiplicatif = ET (multiplication).
k-uplets d'un ensemble à n éléments
Un k-uplet est une liste ordonnée de k éléments choisis dans un ensemble de n éléments, avec répétition possible. Le nombre total de k-uplets est $n^k$.
Exemple
Un code PIN à 4 chiffres : chaque position peut être l'un des 10 chiffres (0-9), donc il y a $10^4 = 10000$ codes possibles.
À retenir : Nombre de k-uplets = $n^k$ (l'ordre compte, répétition autorisée).
Permutations d'un ensemble
Une permutation est un arrangement de tous les éléments d'un ensemble dans un ordre particulier. Le nombre de permutations de n éléments est $n!$ (factorielle n).
Exemple
Ranger 5 livres différents sur une étagère : il y a $5! = 120$ façons différentes de les organiser.
À retenir : Nombre de permutations de n éléments = $n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1$.
Combinaisons et coefficient binomial
Une combinaison est un choix de k éléments parmi n, sans ordre et sans répétition. Le nombre de combinaisons se note $C(n,k)$ ou $\binom{n}{k}$ et vaut $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Exemple
Choisir 3 joueurs parmi 10 pour une équipe : l'ordre n'importe pas, donc il y a $C(10,3) = \frac{10!}{3!×7!} = 120$ équipes possibles.
À retenir : Combinaisons : $C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (l'ordre ne compte pas).
Triangle de Pascal et propriétés
Le triangle de Pascal est un tableau où chaque nombre est la somme des deux nombres au-dessus. Il contient tous les coefficients binomiaux et vérifie des propriétés utiles pour les calculs.
Exemple
La ligne 4 du triangle est : 1, 4, 6, 4, 1, qui correspond à $C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3), C(4,4)$.
À retenir : Propriétés clés : $C(n,k) = C(n,n-k)$ et $C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)$.
Formule du binôme de Newton
La formule du binôme de Newton développe $(a+b)^n$ en somme de termes contenant des coefficients binomiaux. Elle s'écrit : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n,k) × a^{n-k} × b^k$.
Exemple
$(x+2)^3 = C(3,0)x^3 + C(3,1)x^2×2 + C(3,2)x×4 + C(3,3)×8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.
À retenir : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ : les coefficients sont les nombres du triangle de Pascal.
Les points clés
- Distinguer les situations où l'ordre compte (permutations, k-uplets) de celles où il ne compte pas (combinaisons)
- Maîtriser les formules : $n^k$ pour les k-uplets, $n!$ pour les permutations, $\binom{n}{k}$ pour les combinaisons
- Utiliser le triangle de Pascal pour calculer rapidement les coefficients binomiaux et appliquer la formule du binôme
L'essentiel
La combinatoire repose sur deux principes : additionner les cas disjoints et multiplier les choix successifs ; ensuite, choisir la bonne formule selon que l'ordre compte et s'il y a répétition.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un restaurant propose 5 entrées, 8 plats principaux et 4 desserts. Combien de menus différents peut-on composer si on prend une entrée, un plat et un dessert ? Puis, combien de menus sans entrée (juste plat + dessert) ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Développer $(2x - 1)^4$ en utilisant la formule du binôme de Newton.
Corrige cet exercice avec le tuteur →