Combinatoire et dénombrement en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de combinatoire et dénombrement pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Principe additif : réunion d'ensembles deux à deux disjoints
- Principe multiplicatif : produit cartésien, nombre de k-uplets d'un ensemble à n éléments (nᵏ)
- Nombre de parties d'un ensemble à n éléments (2ⁿ) ; lien avec les mots binaires et les chemins d'un arbre
- k-uplets d'éléments distincts ; factorielle n! et permutations
- Combinaisons : parties à k éléments, coefficient binomial (n k)
- Symétrie, relation et triangle de Pascal
- Choisir une représentation adaptée (ensembles, arbres, tableaux, mots, chemins) pour dénombrer
Principe additif et multiplicatif
Le principe additif compte les cas disjoints en les ajoutant. Le principe multiplicatif compte les choix successifs en les multipliant. Ils permettent de compter sans énumérer tous les cas.
Exemple
Pour aller au cinéma : tu choisis entre 3 films OU 2 séries (additif : 3+2=5 options). Pour commander un menu : tu choisis 1 plat parmi 4 ET 1 dessert parmi 3 (multiplicatif : 4×3=12 menus).
À retenir : Additif = OU (addition), Multiplicatif = ET (multiplication).
k-uplets d'un ensemble à n éléments
Un k-uplet est une liste ordonnée de k éléments choisis dans un ensemble de n éléments, avec répétition possible. Le nombre total de k-uplets est $n^k$.
Exemple
Un code PIN à 4 chiffres : chaque position peut être l'un des 10 chiffres (de 0 à 9), donc il y a $10^4 = 10\,000$ codes possibles.
À retenir : Nombre de k-uplets = $n^k$ (l'ordre compte, répétition autorisée).
Permutations d'un ensemble
Une permutation est un arrangement de tous les éléments d'un ensemble dans un ordre particulier. Le nombre de permutations de n éléments est $n!$ (factorielle $n$). Plus généralement, le nombre de $k$-uplets d'éléments distincts d'un ensemble à $n$ éléments est $n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Exemple
Ranger 5 livres différents sur une étagère : il y a $5! = 120$ façons différentes de les organiser.
À retenir : Nombre de permutations de $n$ éléments : $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$, avec la convention $0! = 1$.
Combinaisons et coefficient binomial
Une combinaison de $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments est une partie (un sous-ensemble) à $k$ éléments de cet ensemble : on choisit sans ordre et sans répétition. Le nombre de ces parties se note $\binom{n}{k}$ (lu « $k$ parmi $n$ ») et vaut $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ pour $0 \leq k \leq n$. La notation $C(n,k)$ (ou $C_n^k$) est ancienne : le programme utilise $\binom{n}{k}$.
Exemple
Choisir 3 joueurs parmi 10 pour une équipe : l'ordre n'importe pas, donc il y a $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ équipes possibles.
À retenir : $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}$ (l'ordre ne compte pas) ; $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{1} = n$, $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.
Triangle de Pascal et propriétés
Le triangle de Pascal est un tableau où chaque nombre (hors des bords, qui valent 1) est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui sur la ligne précédente. Il contient tous les coefficients binomiaux et vérifie des propriétés utiles pour les calculs.
Exemple
La ligne $n = 4$ du triangle (en numérotant les lignes à partir de 0) est : 1, 4, 6, 4, 1, c'est-à-dire $\binom{4}{0}$, $\binom{4}{1}$, $\binom{4}{2}$, $\binom{4}{3}$, $\binom{4}{4}$.
À retenir : Symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$. Relation de Pascal : $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ pour $1 \leq k \leq n-1$. Un ensemble à $n$ éléments a $2^n$ parties : $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.
Pour aller plus loin (hors programme) : formule du binôme de Newton
Cette formule n'est pas au programme de spécialité de terminale. Elle développe $(a+b)^n$ à l'aide des coefficients binomiaux : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
Exemple
$(x+2)^3 = \binom{3}{0}x^3 + \binom{3}{1}x^2 \times 2 + \binom{3}{2}x \times 4 + \binom{3}{3} \times 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.
À retenir : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ : les coefficients sont les nombres du triangle de Pascal.
Les points clés
- Distinguer les situations où l'ordre compte (permutations, k-uplets) de celles où il ne compte pas (combinaisons)
- Maîtriser les formules : $n^k$ pour les k-uplets, $n!$ pour les permutations, $\binom{n}{k}$ pour les combinaisons
- Utiliser la relation de Pascal et la symétrie pour calculer rapidement les coefficients binomiaux
L'essentiel
La combinatoire repose sur deux principes : additionner les cas disjoints et multiplier les choix successifs ; ensuite, choisir la bonne formule selon que l'ordre compte et s'il y a répétition.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un restaurant propose 5 entrées, 8 plats principaux et 4 desserts. Combien de menus différents peut-on composer si on prend une entrée, un plat et un dessert ? Puis, combien de menus sans entrée (juste plat + dessert) ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans une classe de 25 élèves, on choisit un délégué et un suppléant (deux élèves différents). Combien de choix possibles ? Puis, séparément, combien de groupes de 3 élèves peut-on former pour un exposé ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →