Dérivation et applications professionnelles en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de dérivation et applications professionnelles pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Fonction cube : dérivée, variations, représentation graphique
- Dérivée d'une fonction polynôme de degré ≤ 3 (formules et règles de dérivation)
- Tableau de variations à partir du signe de la dérivée
- Nombre de solutions de l'équation f(x) = c à l'aide du tableau de variations
- Extremums locaux ; une dérivée nulle ne suffit pas (exemple de x ↦ x³)
- Valeur approchée d'une solution par balayage
Fonction cube
La fonction cube est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$. Sa dérivée est $f'(x) = 3x^2$, qui est positive ou nulle pour tout $x$ (et nulle seulement en 0) : la fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$. Sa courbe passe par l'origine, elle est symétrique par rapport à l'origine du repère, et sa tangente en l'origine est horizontale (l'axe des abscisses).
Exemple
Quelques valeurs : $(-2)^3 = -8$, $(-1)^3 = -1$, $0^3 = 0$, $1^3 = 1$, $2^3 = 8$. Le volume d'un cube d'arête $x$ cm est $x^3$ cm³ : doubler l'arête multiplie le volume par 8.
À retenir : $(x^3)' = 3x^2$ ; la fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$.
Dérivée d'une fonction polynôme de degré au plus 3
On utilise les dérivées usuelles : la dérivée d'une constante est 0, celle de $x$ est 1, celle de $x^2$ est $2x$, celle de $x^3$ est $3x^2$. Règles : la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et la dérivée de $k \times u$ ($k$ constante) est $k \times u'$.
Exemple
$f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 7$ a pour dérivée $f'(x) = 2 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 4 = 6x^2 - 10x + 4$. $C(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 200$ a pour dérivée $C'(x) = x + 10$.
À retenir : $(ax^3 + bx^2 + cx + d)' = 3ax^2 + 2bx + c$.
Tableau de variations à partir du signe de la dérivée
Sur un intervalle : si $f'(x) > 0$ (sauf éventuellement en des points isolés où elle s'annule), $f$ est croissante ; si $f'(x) < 0$, $f$ est décroissante. On étudie donc le signe de $f'(x)$ (affine : signe de $ax + b$ ; second degré : à l'aide d'une forme factorisée, par exemple), puis on dresse le tableau de variations en indiquant les valeurs de $f$ aux bornes et aux points où $f'$ change de signe.
Exemple
$f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2 ; 3]$ : $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$. $f'(x) > 0$ sur $[-2 ; -1[$ et sur $]1 ; 3]$, $f'(x) < 0$ sur $]-1 ; 1[$. Donc $f$ est croissante sur $[-2 ; -1]$, décroissante sur $[-1 ; 1]$, croissante sur $[1 ; 3]$, avec $f(-2) = -2$, $f(-1) = 2$, $f(1) = -2$, $f(3) = 18$.
À retenir : Signe de $f'$ ⇒ sens de variation de $f$ ; on complète le tableau avec les valeurs de $f$.
Nombre de solutions d'une équation $f(x) = c$
Le tableau de variations permet de déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = c$ : sur chaque intervalle où $f$ est strictement monotone, on regarde si $c$ est compris entre les valeurs de $f$ aux extrémités de l'intervalle. Si oui, l'équation a une seule solution sur cet intervalle ; sinon, elle n'en a pas.
Exemple
Avec $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2 ; 3]$ : pour $c = 1$, on a $-2 \leq 1 \leq 2$ sur $[-2 ; -1]$, $-2 \leq 1 \leq 2$ sur $[-1 ; 1]$ et $-2 \leq 1 \leq 18$ sur $[1 ; 3]$ : l'équation $f(x) = 1$ a 3 solutions. Pour $c = 5$, seul l'intervalle $[1 ; 3]$ convient (car $5 > 2$) : une seule solution.
À retenir : Une solution par intervalle de monotonie stricte sur lequel $c$ est atteint.
Extremums locaux ; une dérivée nulle ne suffit pas
Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, $f$ admet un extremum local en $a$ : un maximum si $f'$ passe de positive à négative, un minimum si elle passe de négative à positive. En revanche, $f'(a) = 0$ ne suffit pas : pour la fonction cube, $f'(0) = 0$ mais $f'$ ne change pas de signe ($3x^2 \geq 0$), et $f$ n'a pas d'extremum en 0.
Exemple
Pour $f(x) = x^3 - 3x$, $f'$ s'annule en $-1$ en passant de positive à négative : maximum local $f(-1) = 2$. Elle s'annule en 1 en passant de négative à positive : minimum local $f(1) = -2$. En contexte, on cherche ainsi une production qui rend un bénéfice maximal ou un coût minimal.
À retenir : Extremum local en $a$ ⇔ $f'$ s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE en $a$ ; contre-exemple : $x \mapsto x^3$ en 0.
Valeur approchée d'une solution par balayage
Quand on sait qu'une équation $f(x) = c$ a une seule solution $\alpha$ sur un intervalle où $f$ est croissante (ou décroissante), on l'encadre par balayage : on calcule $f$ pour des valeurs de $x$ régulièrement espacées (pas de 1, puis 0,1, puis 0,01…), avec la calculatrice ou un tableur, et on repère entre quelles valeurs $f(x) - c$ change de signe.
Exemple
$f(x) = x^3 - 3x$ et $f(x) = 5$ sur $[1 ; 3]$ ($f$ croissante). Pas de 1 : $f(2) = 2$ et $f(3) = 18$, donc $2 < \alpha < 3$. Pas de 0,1 : $f(2{,}2) = 4{,}048$ et $f(2{,}3) = 5{,}267$, donc $2{,}2 < \alpha < 2{,}3$. Pas de 0,01 : $f(2{,}27) \approx 4{,}887$ et $f(2{,}28) \approx 5{,}012$, donc $2{,}27 < \alpha < 2{,}28$.
À retenir : Balayage : on resserre l'encadrement en diminuant le pas jusqu'à la précision voulue.
Les points clés
- $(x^3)' = 3x^2$ : la fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$
- $(ax^3 + bx^2 + cx + d)' = 3ax^2 + 2bx + c$
- Le signe de $f'$ donne les variations de $f$ et permet de dresser le tableau de variations
- Le tableau de variations donne le nombre de solutions de $f(x) = c$
- Un extremum local correspond à un changement de signe de $f'$ ; $f'(a) = 0$ seul ne suffit pas (exemple : $x^3$ en 0)
- Le balayage encadre une solution avec la précision voulue
L'essentiel
La dérivée d'un polynôme de degré au plus 3 permet de dresser le tableau de variations d'une fonction, d'en déduire ses extremums et le nombre de solutions d'une équation $f(x) = c$, puis d'approcher ces solutions par balayage.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
On considère $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2 ; 3]$. a) Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$. b) Dresser le tableau de variations de $f$. c) Combien l'équation $f(x) = 5$ a-t-elle de solutions sur $[-2 ; 3]$ ? d) Donner un encadrement de cette solution d'amplitude 0,1 par balayage.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On découpe quatre carrés de côté $x$ cm aux coins d'une plaque carrée de 30 cm de côté, puis on replie les bords pour former une boîte sans couvercle. Son volume est $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$ pour $x \in [0 ; 15]$. a) Calculer $V'(x)$ et vérifier que $V'(x) = 12(x - 5)(x - 15)$. b) Étudier le signe de $V'(x)$ sur $[0 ; 15]$ et dresser le tableau de variations. c) Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ? Quel est ce volume ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →