Dérivation et applications professionnelles en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de dérivation et applications professionnelles pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Taux de variation et nombre dérivé
- Dérivées de fonctions polynômes
- Variations d'une fonction et extremums
- Optimisation dans un contexte professionnel
- Interprétation graphique et résolution de problèmes
Taux de variation et nombre dérivé
Le taux de variation mesure comment une fonction change entre deux points. Le nombre dérivé est la limite de ce taux quand les deux points se rapprochent : c'est la pente instantanée de la courbe en un point.
Exemple
Un cycliste qui accélère : le taux de variation mesure son changement de vitesse entre deux instants. Le nombre dérivé à un instant précis, c'est sa vitesse exacte à ce moment-là.
À retenir : Le nombre dérivé en un point est la limite du taux de variation $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.
Dérivées de fonctions polynômes
La dérivée d'une fonction polynôme se calcule en appliquant des règles simples : chaque terme $x^n$ devient $n \cdot x^{n-1}$, et les constantes disparaissent.
Exemple
Un entrepreneur calcule le coût de production : si le coût est $C(x) = 2x^2 + 5x + 100$, la dérivée $C'(x) = 4x + 5$ représente le coût supplémentaire pour produire une unité de plus.
À retenir : Pour $f(x) = ax^n$, on a $f'(x) = n \cdot a \cdot x^{n-1}$. La dérivée d'une constante est 0.
Variations d'une fonction et extremums
En étudiant le signe de la dérivée, on détermine où la fonction augmente ou diminue. Les extremums (maximum ou minimum) se trouvent où la dérivée s'annule.
Exemple
Un restaurateur veut maximiser son profit : il calcule la dérivée de sa fonction profit, trouve où elle vaut 0, et détermine le nombre de clients qui donne le meilleur résultat.
À retenir : Si $f'(x) > 0$, la fonction augmente. Si $f'(x) < 0$, elle diminue. Les extremums sont aux points où $f'(x) = 0$.
Optimisation dans un contexte professionnel
L'optimisation consiste à trouver la meilleure solution (maximum de profit, minimum de coût, etc.) en utilisant la dérivée pour localiser les extremums d'une fonction.
Exemple
Un artisan fabrique des meubles : il modélise son profit par une fonction, calcule sa dérivée, trouve le nombre de meubles à produire pour gagner le plus d'argent possible.
À retenir : Pour optimiser : écrire la fonction objectif, calculer sa dérivée, résoudre $f'(x) = 0$, vérifier qu'il s'agit d'un maximum ou minimum.
Interprétation graphique et résolution de problèmes
La dérivée se visualise comme la pente de la tangente à la courbe. Graphiquement, on voit où la fonction monte, descend, et où elle atteint ses extremums.
Exemple
Un chauffeur de taxi observe le graphique de sa consommation d'essence : la pente de la courbe lui montre à quel moment il consomme le plus, et il peut optimiser son trajet.
À retenir : La dérivée est la pente de la tangente à la courbe. Un extremum correspond à une tangente horizontale ($f'(x) = 0$).
Les points clés
- La dérivée mesure la vitesse de variation d'une fonction à un instant précis
- Pour les polynômes, appliquer la règle : $x^n$ devient $n \cdot x^{n-1}$
- Étudier le signe de la dérivée permet de trouver les variations et les extremums
- L'optimisation professionnelle repose sur la recherche des extremums d'une fonction
- Graphiquement, la dérivée est la pente de la tangente à la courbe
L'essentiel
La dérivée est l'outil fondamental pour comprendre comment une fonction varie et pour résoudre des problèmes d'optimisation en contexte professionnel.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une usine de production de batteries électriques modélise son coût de production C(x) = 0,5x² - 20x + 500. Déterminer la quantité de batteries minimisant le coût total.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Rédiger un rapport expliquant comment la dérivation permet d'optimiser un processus industriel de fabrication.
Corrige cet exercice avec le tuteur →