Concentration et loi des grands nombres en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de concentration et loi des grands nombres pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
- Inégalité de concentration
- Loi faible des grands nombres (énoncé et interprétation)
- Notion d'estimation ponctuelle
- Application : estimation d'une proportion
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
C'est une règle mathématique qui nous dit : peu importe la loi de probabilité, on peut toujours garantir qu'une variable aléatoire ne s'éloigne pas trop de sa moyenne. Elle donne une borne (une limite supérieure) à la probabilité de s'écarter de la moyenne.
Exemple
Le poids $X$ (en kg) d'un élève choisi au hasard dans un lycée a pour espérance 65 kg et pour écart-type 5 kg, donc pour variance 25. L'inégalité donne $P(|X - 65| \geq 10) \leq \frac{25}{10^2} = 0{,}25$ : la probabilité qu'un élève pèse 10 kg ou plus d'écart avec 65 kg est au plus 0,25. Sans connaître la variance, on ne pourrait rien conclure.
À retenir : Pour tout $k > 0$ : $P(|X - E(X)| \geq k) \leq \frac{V(X)}{k^2}$
Inégalité de concentration
L'inégalité de concentration s'applique à la moyenne $M_n$ d'un échantillon de $n$ variables aléatoires indépendantes de même loi, d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Pour tout $\delta > 0$ : $P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \frac{V}{n\delta^2}$. C'est une majoration (une borne), pas une probabilité exacte.
Exemple
Un joueur a des scores d'espérance 1000 points et d'écart-type 100 (variance 10 000). Sur 100 parties indépendantes, la moyenne $M_{100}$ des scores vérifie $P(|M_{100} - 1000| \geq 50) \leq \frac{10\,000}{100 \times 50^2} = 0{,}04$ : la moyenne des 100 scores est strictement comprise entre 950 et 1050 avec une probabilité d'au moins 96 %.
À retenir : Plus l'échantillon est grand, plus la moyenne se concentre autour de l'espérance : la borne $\frac{V}{n\delta^2}$ diminue quand $n$ augmente.
Loi faible des grands nombres
Soit $X_1, \dots, X_n$ des variables aléatoires indépendantes de même loi, d'espérance $\mu$ et de variance $V$, et $M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ leur moyenne. Énoncé : pour tout réel $\delta > 0$, $\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - \mu| \geq \delta) = 0$. Il se déduit de l'inégalité de concentration : $0 \leq P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \frac{V}{n\delta^2}$, et $\frac{V}{n\delta^2}$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$ (théorème des gendarmes). Interprétation : quel que soit l'écart $\delta$ choisi, la probabilité que la moyenne de l'échantillon s'écarte de l'espérance d'au moins $\delta$ tend vers 0 quand la taille de l'échantillon augmente. La moyenne se rapproche de l'espérance avec une probabilité de plus en plus grande, mais ce n'est jamais une certitude pour un échantillon donné.
Exemple
Un lancer de dé équilibré a pour espérance 3,5 et pour variance $\frac{35}{12}$. Sur 10 lancers, la moyenne peut être assez loin de 3,5. Sur 100 000 lancers, l'inégalité de concentration donne $P(|M_{100\,000} - 3{,}5| \geq 0{,}05) \leq \frac{35/12}{100\,000 \times 0{,}05^2} = \frac{35}{3\,000} \approx 0{,}012$ : la moyenne est strictement comprise entre 3,45 et 3,55 avec une probabilité d'au moins 0,988.
À retenir : Loi faible des grands nombres : pour tout $\delta > 0$, $\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - \mu| \geq \delta) = 0$. Plus l'échantillon est grand, plus il est probable que sa moyenne soit proche de l'espérance.
Notion d'estimation ponctuelle
C'est le fait d'utiliser les données réelles observées (un échantillon) pour deviner quelle est la vraie valeur d'un paramètre dans toute la population. On donne une seule réponse : « le paramètre vaut à peu près ceci ».
Exemple
Un sondage auprès de 1 000 personnes dit : « 63 % des Français approuvent cette politique ». Ce 63 % est une estimation ponctuelle de la vraie proportion dans toute la France.
À retenir : Une estimation ponctuelle est une valeur unique calculée à partir d'un échantillon pour approcher le vrai paramètre de la population.
Application : estimation d'une proportion
C'est l'utilisation des lois de probabilité pour estimer quelle fraction (proportion) d'une population possède une certaine caractéristique. On observe un échantillon, on compte combien de personnes ont cette caractéristique, et on généralise à toute la population.
Exemple
Une marque de téléphones teste 500 appareils et trouve que 2 % sont défectueux. Elle estime donc que parmi tous ses téléphones, environ 2 % seront défectueux. Plus le nombre de téléphones testés est grand, plus cette estimation est fiable.
À retenir : La proportion estimée dans l'échantillon $ \hat{p} = \frac{\text{nombre de succès}}{n} $ est notre meilleure estimation de la vraie proportion $p$ dans la population.
Les points clés
- Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P(|X - E(X)| \geq k) \leq \frac{V(X)}{k^2}$ — elle fonctionne pour toute variable aléatoire
- Loi faible des grands nombres : pour tout $\delta > 0$, $\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - \mu| \geq \delta) = 0$ ; la probabilité que la moyenne s'écarte de l'espérance d'au moins $\delta$ tend vers 0
- Estimation ponctuelle d'une proportion : $\hat{p} = \frac{\text{nombre de succès observés}}{\text{taille de l'échantillon}}$
- Plus l'échantillon est grand, plus l'estimation est fiable (variance diminue)
- Inégalité de concentration : $P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \frac{V(X)}{n\delta^2}$ pour la moyenne $M_n$ de $n$ variables indépendantes de même loi que $X$
L'essentiel
La loi des grands nombres garantit que plus on observe d'expériences, plus la probabilité que la moyenne observée soit proche de la moyenne théorique (l'espérance) est grande : c'est le fondement des sondages et des estimations.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une usine fabrique des ampoules. On teste un échantillon de 400 ampoules et on trouve que 20 sont défectueuses. Estime la proportion de défauts dans toute la production. En supposant que la vraie proportion de défauts est 5 %, utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour minorer la probabilité que la proportion observée sur un échantillon de 400 ampoules soit strictement comprise entre 3 % et 7 %.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un sondage interroge 1 000 personnes sur l'intention de vote pour le candidat A. Parmi elles, 520 votent pour A. Estime la proportion d'électeurs qui voteront pour A dans toute la population. Que dit la loi des grands nombres sur la fiabilité de cette estimation si on interrogeait 10 000 personnes ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →