Concentration et loi des grands nombres en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de concentration et loi des grands nombres pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
- Inégalité de concentration
- Loi faible des grands nombres (énoncé et interprétation)
- Notion d'estimation ponctuelle
- Intervalle de confiance au niveau de confiance 95%
- Application : estimation d'une proportion
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Cette inégalité donne une probabilité maximale que la variable aléatoire s'éloigne de son espérance. Elle s'écrit : $P(|X - E(X)| \geq a) \leq \frac{V(X)}{a^2}$ où $a > 0$.
Exemple
Si tu lances 100 fois une pièce, cette inégalité te dit qu'il est très peu probable d'obtenir moins de 30 ou plus de 70 faces. Plus tu t'éloignes de 50, plus c'est rare.
À retenir : Plus la variance est petite, plus la variable est concentrée autour de son espérance.
Inégalité de concentration
Pour une moyenne $M_n$ de $n$ variables indépendantes de même loi, on a : $P(|M_n - E(X)| \geq a) \leq \frac{V(X)}{na^2}$. La probabilité de s'éloigner diminue quand $n$ augmente.
Exemple
Si tu calcules ta moyenne de notes sur 2 contrôles, elle peut varier beaucoup. Mais sur 20 contrôles, ta moyenne sera proche de ton vrai niveau.
À retenir : Plus on fait de répétitions, plus la moyenne observée est proche de l'espérance théorique.
Loi faible des grands nombres
Quand le nombre de répétitions $n$ tend vers l'infini, la moyenne $M_n$ converge en probabilité vers l'espérance $E(X)$. Autrement dit, pour tout $\varepsilon > 0$, $P(|M_n - E(X)| \geq \varepsilon)$ tend vers 0.
Exemple
Si tu lances un dé des milliers de fois et calcules la moyenne des résultats, tu vas obtenir un nombre très proche de 3,5 (l'espérance théorique).
À retenir : Sur un très grand nombre d'expériences, la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique.
Estimation ponctuelle d'une proportion
On estime une proportion inconnue $p$ d'une population en calculant la fréquence $f$ observée sur un échantillon. Cette fréquence $f$ est notre estimation ponctuelle de $p$.
Exemple
Pour estimer le pourcentage de lycéens qui ont un smartphone, on interroge 200 élèves : si 180 en ont un, on estime $p \approx \frac{180}{200} = 0,9$ soit 90%.
À retenir : La fréquence observée sur un échantillon est l'estimateur naturel de la proportion dans la population.
Intervalle de confiance au niveau 95%
Pour estimer une proportion $p$ avec un échantillon de taille $n$ et fréquence $f$, l'intervalle de confiance à 95% est : $[f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f + \frac{1}{\sqrt{n}}]$. Il contient $p$ avec une probabilité d'au moins 95%.
Exemple
Dans un sondage de 100 personnes où 60% disent oui, l'intervalle de confiance est $[0,6 - 0,1 ; 0,6 + 0,1] = [0,5 ; 0,7]$. On est sûr à 95% que le vrai pourcentage est entre 50% et 70%.
À retenir : L'intervalle $[f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ contient la vraie proportion avec une confiance de 95%.
Les points clés
- L'inégalité de concentration montre que la moyenne de $n$ variables se concentre autour de l'espérance avec une précision proportionnelle à $\frac{1}{\sqrt{n}}$
- La loi des grands nombres garantit que sur un très grand échantillon, la fréquence observée est très proche de la probabilité théorique
- Un intervalle de confiance à 95% pour une proportion est $[f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ où $f$ est la fréquence observée et $n$ la taille de l'échantillon
L'essentiel
Plus l'échantillon est grand, plus l'estimation d'une proportion est précise : l'amplitude de l'intervalle de confiance diminue en $\frac{1}{\sqrt{n}}$.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un sondage auprès de 400 personnes révèle que 240 sont favorables à une mesure. Déterminer un intervalle de confiance au niveau 95% pour la proportion de personnes favorables dans la population totale.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On lance 900 fois une pièce équilibrée. Soit $M_{900}$ la fréquence d'apparition de Pile. En utilisant l'inégalité de concentration, majorer $P(|M_{900} - 0,5| \geq 0,05)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →