Fonction logarithme et exponentielle en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonction logarithme et exponentielle pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Fonction exponentielle : définition et propriétés
- Propriétés algébriques de l'exponentielle
- Fonction logarithme népérien
- Propriétés algébriques du logarithme
- Dérivée du logarithme népérien
- Limites et variations du logarithme népérien
- Équations avec exponentielle et logarithme
- Inéquations avec exponentielle et logarithme
Ce que tu vas réviser
- Fonction logarithme népérien : définition comme réciproque de exp
- Propriétés algébriques de ln : ln(ab), ln(a/b), ln(a^n)
- Dérivée de ln(u)
- Limites et variations de la fonction logarithme
- Croissances comparées exp/polynôme et ln/polynôme
- Équations et inéquations avec ln
- Composées : fonctions du type ln(u(x))
Fonction exponentielle : définition et propriétés
La fonction exponentielle, notée $\exp$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\exp' = \exp$ et $\exp(0) = 1$. On note $\exp(x) = e^x$, où $e = \exp(1) \approx 2{,}718$.
Exemple
Au début d'une épidémie, ou pour une population de bactéries, l'évolution est souvent modélisée par une exponentielle : ça commence lentement, puis ça augmente très vite.
À retenir : La fonction exponentielle est strictement positive : $e^x > 0$ pour tout réel $x$.
Propriétés algébriques de l'exponentielle
L'exponentielle transforme les additions en multiplications : $e^{a+b} = e^a \times e^b$. C'est la propriété fondamentale qui rend cette fonction si utile.
Exemple
Si une population double chaque année, après 2 ans elle a été multipliée par $2^2 = 4$. C'est le même principe : les exposants s'ajoutent.
À retenir : Les trois règles clés : $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, $e^{na} = (e^a)^n$ pour tout entier relatif $n$.
Dérivée de la fonction exponentielle
La dérivée de $e^x$ est elle-même : $(e^x)' = e^x$. C'est l'unique fonction égale à sa dérivée qui vaut 1 en 0.
Exemple
Si vous tracez la courbe de $e^x$, la pente de la tangente en chaque point est exactement l'ordonnée de ce point.
À retenir : $(e^x)' = e^x$ et plus généralement $(e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$.
Limites de la fonction exponentielle
Quand $x$ tend vers $+\infty$, $e^x$ tend vers $+\infty$ (croissance très rapide). Quand $x$ tend vers $-\infty$, $e^x$ tend vers $0$.
Exemple
Un gâteau qui refroidit : l'écart entre sa température et celle de la pièce est de la forme $C e^{-kt}$ (avec $k > 0$), qui tend vers 0 quand $t$ tend vers $+\infty$ ; la température du gâteau se rapproche donc de celle de la pièce.
À retenir : $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.
Fonction logarithme népérien : définition
Le logarithme népérien, noté $\ln$, est la fonction réciproque de l'exponentielle : pour tout réel $x > 0$, $\ln(x)$ est l'unique réel $y$ tel que $e^y = x$. La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$.
Exemple
Si vous avez une population qui a été multipliée par 10, le logarithme vous dit à quelle puissance il faut élever $e$ pour obtenir 10 : $\ln(10) \approx 2{,}3$ signifie $e^{2{,}3} \approx 10$.
À retenir : $e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$ et $\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$ ; en particulier $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.
Propriétés algébriques du logarithme
Le logarithme transforme les multiplications en additions : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ pour $a > 0$ et $b > 0$. C'est l'inverse des propriétés de l'exponentielle.
Exemple
En acoustique, les décibels utilisent un logarithme (décimal) pour compresser les très grandes différences d'intensité sonore en nombres gérables.
À retenir : Les trois règles : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$, $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$, $\ln(a^n) = n\ln(a)$, pour $a > 0$, $b > 0$ et $n$ entier relatif.
Dérivée du logarithme népérien
La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et sa dérivée est $\frac{1}{x}$. Pour une fonction $u$ dérivable et strictement positive sur un intervalle, la dérivée de $\ln(u)$ est $\frac{u'}{u}$.
Exemple
Quand $x$ double, la pente de la tangente à la courbe de $\ln$ est divisée par 2 : la courbe monte de moins en moins vite.
À retenir : $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$ et $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ si $u > 0$.
Limites et variations du logarithme népérien
La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$, car sa dérivée $\frac{1}{x}$ y est strictement positive. Elle s'annule en 1 : $\ln(x) < 0$ pour $0 < x < 1$ et $\ln(x) > 0$ pour $x > 1$. Sa courbe est la symétrique de celle de l'exponentielle par rapport à la droite d'équation $y = x$.
Exemple
$\ln(0{,}001) \approx -6{,}9$ et $\ln(1\,000) \approx 6{,}9$ : la courbe plonge vers $-\infty$ près de 0 et monte vers $+\infty$, mais très lentement.
À retenir : $\lim_{x \to 0,\, x > 0} \ln(x) = -\infty$ (l'axe des ordonnées est asymptote verticale) et $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$.
Croissances comparées : exponentielle vs polynôme
L'exponentielle croît beaucoup plus vite que n'importe quel polynôme. Peu importe la puissance du polynôme, $e^x$ finit toujours par le dépasser.
Exemple
Pour $x = 10$, $x^{100} = 10^{100}$ alors que $e^{10} \approx 22\,026$. Pourtant, pour $x$ assez grand, $e^x$ dépasse $x^{100}$ et l'écart devient gigantesque.
À retenir : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout entier naturel $n$ : l'exponentielle l'emporte.
Croissances comparées : logarithme vs polynôme
Le logarithme croît beaucoup plus lentement que toute fonction $x \mapsto x^n$ (avec $n \geq 1$) : $x^n$ finit toujours par dépasser $\ln(x)$.
Exemple
Même si vous attendez très longtemps, $\ln(x)$ augmente lentement (comme $\ln(1000000) \approx 13{,}8$), tandis que $x^2$ explose.
À retenir : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ et $\lim_{x \to 0,\, x > 0} x^n \ln(x) = 0$ pour tout entier $n \geq 1$ : la puissance l'emporte.
Équations avec exponentielle et logarithme
Pour $a > 0$, l'équation $e^x = a$ a une unique solution : $x = \ln(a)$ ; si $a \leq 0$, elle n'a pas de solution. Pour résoudre $\ln(x) = b$ (avec $x > 0$), on utilise l'exponentielle : $x = e^b$.
Exemple
Si vous cherchez après combien de temps une population aura doublé avec une croissance exponentielle, vous utilisez le logarithme pour isoler le temps.
À retenir : Pour $a > 0$ : $e^x = a \Leftrightarrow x = \ln(a)$. Pour tout réel $b$ : $\ln(x) = b \Leftrightarrow x = e^b$. Pour $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln(a) = \ln(b) \Leftrightarrow a = b$.
Inéquations avec exponentielle et logarithme
Comme $e^x$ et $\ln(x)$ sont strictement croissantes, les inégalités se conservent : si $e^a < e^b$ alors $a < b$, et si $\ln(a) < \ln(b)$ alors $a < b$ (avec $a, b > 0$).
Exemple
Si vous savez qu'une population exponentielle dépasse 1000 individus, vous pouvez comparer les exposants pour trouver à partir de quel moment cela se produit.
À retenir : Les deux fonctions sont strictement croissantes : $e^a < e^b \Leftrightarrow a < b$ et $\ln(a) < \ln(b) \Leftrightarrow 0 < a < b$.
Composées : fonction du type $e^{u(x)}$
Pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle, on dérive la composée : $(e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$.
Exemple
Si la température d'un objet suit $T(t) = 20 + 80e^{-0{,}1t}$, la vitesse de variation de sa température est $T'(t) = -8e^{-0{,}1t}$ (négative : l'objet refroidit).
À retenir : $(e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$ : on multiplie par la dérivée de l'exposant.
Composées : fonction du type $\ln(u(x))$
Pour une fonction $u$ dérivable et strictement positive sur un intervalle, on dérive la composée : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
Exemple
Si vous mesurez $\ln(\text{population}(t))$, la dérivée est la vitesse de croissance divisée par la population elle-même.
À retenir : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ : on divise la dérivée de $u$ par $u$ elle-même.
Les points clés
- L'exponentielle et le logarithme sont réciproques : $e^{\ln(x)} = x$ et $\ln(e^x) = x$
- L'exponentielle transforme les additions en multiplications, le logarithme fait l'inverse
- L'exponentielle croît plus vite que tout polynôme, le logarithme croît plus lentement
- Les deux fonctions sont strictement croissantes : les inégalités se conservent
- Pour les dérivées composées : $(e^{u})' = u' \cdot e^{u}$ et $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$
L'essentiel
L'exponentielle et le logarithme sont les deux faces d'une même pièce : elles transforment les opérations (multiplications en additions) et se neutralisent mutuellement.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Résolvez l'équation $e^{2x-1} = 5$ et l'inéquation $\ln(3x + 2) > 1$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Calculez la dérivée de $f(x) = e^{x^2} + \ln(2x + 1)$ sur son domaine de définition.
Corrige cet exercice avec le tuteur →