Fonction logarithme et exponentielle en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonction logarithme et exponentielle pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Fonction logarithme népérien : définition comme réciproque de exp
- Propriétés algébriques de ln : ln(ab), ln(a/b), ln(a^n)
- Dérivée de ln(u)
- Limites et variations de la fonction logarithme
- Croissances comparées exp/polynôme et ln/polynôme
- Équations et inéquations avec ln
- Composées : fonctions du type ln(u(x))
Fonction exponentielle : définition et propriétés
La fonction exponentielle, notée $e^x$ ou $\exp(x)$, est la fonction qui croît très rapidement. Elle est définie pour tous les nombres réels et sa base est le nombre $e \approx 2,718$.
Exemple
La propagation d'un virus ou la croissance d'une population de bactéries suit une courbe exponentielle : ça commence lentement puis explose très vite.
À retenir : La fonction exponentielle est toujours positive : $e^x > 0$ pour tout $x$ réel.
Propriétés algébriques de l'exponentielle
L'exponentielle transforme les additions en multiplications : $e^{a+b} = e^a \times e^b$. C'est la propriété fondamentale qui rend cette fonction si utile.
Exemple
Si une population double chaque année, après 2 ans elle a été multipliée par $2^2 = 4$. C'est le même principe : les exposants s'ajoutent.
À retenir : Les trois règles clés : $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, $e^{na} = (e^a)^n$.
Dérivée de la fonction exponentielle
La dérivée de $e^x$ est elle-même : $(e^x)' = e^x$. C'est l'unique fonction qui égale sa propre dérivée.
Exemple
Si vous tracez la courbe de $e^x$, la pente de la tangente à chaque point est exactement la hauteur de ce point. C'est unique et remarquable.
À retenir : $(e^x)' = e^x$ et plus généralement $(e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$.
Limites de la fonction exponentielle
Quand $x$ tend vers $+\infty$, $e^x$ tend vers $+\infty$ (croissance très rapide). Quand $x$ tend vers $-\infty$, $e^x$ tend vers $0$.
Exemple
Un gâteau qui refroidit : sa température suit une exponentielle décroissante qui se rapproche de la température ambiante (limite 0 en quelque sorte).
À retenir : $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.
Fonction logarithme népérien : définition
Le logarithme népérien, noté $\ln(x)$, est la fonction réciproque de l'exponentielle. Si $e^y = x$, alors $y = \ln(x)$. Elle n'existe que pour $x > 0$.
Exemple
Si vous avez une population qui a été multipliée par 10, le logarithme vous dit par quel exposant vous avez multiplié $e$ : $\ln(10) \approx 2,3$ signifie $e^{2,3} \approx 10$.
À retenir : $\ln(x)$ et $e^x$ sont réciproques : $e^{\ln(x)} = x$ et $\ln(e^x) = x$.
Propriétés algébriques du logarithme
Le logarithme transforme les multiplications en additions : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$. C'est l'inverse des propriétés de l'exponentielle.
Exemple
En acoustique, les décibels utilisent le logarithme pour compresser les très grandes différences d'intensité sonore en nombres gérables.
À retenir : Les trois règles : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$, $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$, $\ln(a^n) = n\ln(a)$.
Dérivée du logarithme népérien
La dérivée de $\ln(x)$ est $\frac{1}{x}$. Pour une fonction composée $\ln(u(x))$, on utilise la chaîne : $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.
Exemple
Si vous mesurez comment change le logarithme d'une quantité, la vitesse de changement est inversement proportionnelle à la quantité elle-même.
À retenir : $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ et $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
Croissances comparées : exponentielle vs polynôme
L'exponentielle croît beaucoup plus vite que n'importe quel polynôme. Peu importe la puissance du polynôme, $e^x$ finit toujours par le dépasser.
Exemple
Un polynôme $x^{100}$ croît très vite, mais $e^x$ le rattrape et le dépasse définitivement. C'est comme une tortue contre un lièvre : le lièvre exponentiel gagne toujours.
À retenir : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n$ : l'exponentielle gagne toujours.
Croissances comparées : logarithme vs polynôme
Le logarithme croît beaucoup plus lentement que n'importe quel polynôme. Un polynôme $x^n$ finit toujours par dépasser $\ln(x)$.
Exemple
Même si vous attendez très longtemps, $\ln(x)$ augmente lentement (comme $\ln(1000000) \approx 13,8$), tandis que $x^2$ explose.
À retenir : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$ : le polynôme gagne toujours.
Équations avec exponentielle et logarithme
Pour résoudre $e^x = a$, on prend le logarithme des deux côtés : $x = \ln(a)$. Pour résoudre $\ln(x) = b$, on utilise l'exponentielle : $x = e^b$.
Exemple
Si vous cherchez après combien de temps une population aura doublé avec une croissance exponentielle, vous utilisez le logarithme pour isoler le temps.
À retenir : $e^x = a \Leftrightarrow x = \ln(a)$ et $\ln(x) = b \Leftrightarrow x = e^b$.
Inéquations avec exponentielle et logarithme
Comme $e^x$ et $\ln(x)$ sont strictement croissantes, les inégalités se conservent : si $e^a < e^b$ alors $a < b$, et si $\ln(a) < \ln(b)$ alors $a < b$ (avec $a, b > 0$).
Exemple
Si vous savez qu'une population exponentielle dépasse 1000 individus, vous pouvez comparer les exposants pour trouver le moment exact.
À retenir : Les deux fonctions sont croissantes : $e^a < e^b \Leftrightarrow a < b$ et $\ln(a) < \ln(b) \Leftrightarrow 0 < a < b$.
Composées : fonction du type $e^{u(x)}$
Quand l'exponentielle contient une fonction complexe $u(x)$, on dérive avec la chaîne : $(e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$.
Exemple
Si la température d'un objet suit $T(t) = 20 + 80e^{-0,1t}$, sa vitesse de refroidissement est $T'(t) = -8e^{-0,1t}$.
À retenir : $(e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$ : on multiplie par la dérivée de l'exposant.
Composées : fonction du type $\ln(u(x))$
Quand le logarithme contient une fonction complexe $u(x)$, on dérive avec la chaîne : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
Exemple
Si vous mesurez $\ln(\text{population}(t))$, la dérivée est la vitesse de croissance divisée par la population elle-même.
À retenir : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ : on divise la dérivée de $u$ par $u$ elle-même.
Les points clés
- L'exponentielle et le logarithme sont réciproques : $e^{\ln(x)} = x$ et $\ln(e^x) = x$
- L'exponentielle transforme les additions en multiplications, le logarithme fait l'inverse
- L'exponentielle croît plus vite que tout polynôme, le logarithme croît plus lentement
- Les deux fonctions sont strictement croissantes : les inégalités se conservent
- Pour les dérivées composées : $(e^{u})' = u' \cdot e^{u}$ et $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$
L'essentiel
L'exponentielle et le logarithme sont les deux faces d'une même pièce : elles transforment les opérations (multiplications en additions) et se neutralisent mutuellement.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Résolvez l'équation $e^{2x-1} = 5$ et l'inéquation $\ln(3x + 2) > 1$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Calculez la dérivée de $f(x) = e^{x^2} + \ln(2x + 1)$ sur son domaine de définition.
Corrige cet exercice avec le tuteur →