Fonction exponentielle et logarithme appliqués en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonction exponentielle et logarithme appliqués pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Fonctions exponentielles $x \mapsto q^x$ : prolongement des suites géométriques
- Variations et représentation graphique de $x \mapsto q^x$
- Propriétés opératoires des fonctions exponentielles
- Fonction logarithme décimal
- Propriétés opératoires du logarithme décimal
- Résoudre $q^x = a$, $\log(x) = a$ et les inéquations associées
- Modéliser des phénomènes d'évolution ; papier semi-logarithmique
Ce que tu vas réviser
- Fonctions exponentielles x ↦ qˣ (q > 0, q ≠ 1) : prolongement des suites géométriques
- Variations et représentation graphique des fonctions x ↦ qˣ
- Propriétés opératoires des fonctions exponentielles de base q
- Fonction logarithme décimal : log(b) solution de 10ˣ = b ; variations, courbe
- Propriétés opératoires du logarithme décimal ; log(10ˣ) = x
- Résoudre qˣ = a, log(x) = a et les inéquations associées
- Modéliser des phénomènes d'évolution (décroissance, taux fixe) ; papier semi-logarithmique
Fonctions exponentielles $x \mapsto q^x$ : prolongement des suites géométriques
Pour un réel $q$ strictement positif et différent de 1, la suite géométrique $u_n = q^n$ n'est définie que pour les entiers $n$. La fonction exponentielle de base $q$, $f(x) = q^x$, prolonge cette suite à tous les nombres réels $x$ : elle prend les mêmes valeurs aux entiers et « comble les trous » entre eux. Elle est définie sur $\mathbb{R}$ et prend toujours des valeurs strictement positives.
Exemple
Une population de bactéries qui double chaque heure est modélisée par $N(t) = 1\,000 \times 2^t$ ($t$ en heures). Aux heures entières, on retrouve la suite géométrique 1 000 ; 2 000 ; 4 000… ; au bout d'une heure et demie, $N(1{,}5) = 1\,000 \times 2^{1{,}5} \approx 2\,828$ bactéries.
À retenir : $f(x) = q^x$ ($q > 0$, $q \neq 1$) prolonge la suite $(q^n)$ ; $q^0 = 1$ et $q^x > 0$ pour tout $x$.
Variations et représentation graphique de $x \mapsto q^x$
La courbe de $f(x) = q^x$ passe toujours par le point $(0 ; 1)$ et reste au-dessus de l'axe des abscisses. Si $q > 1$, la fonction est croissante sur $\mathbb{R}$ et la courbe monte de plus en plus vite. Si $0 < q < 1$, la fonction est décroissante sur $\mathbb{R}$ et la courbe se rapproche de l'axe des abscisses quand $x$ augmente, sans jamais l'atteindre.
Exemple
$x \mapsto 1{,}5^x$ est croissante (car $1{,}5 > 1$) ; $x \mapsto 0{,}8^x$ est décroissante (car $0 < 0{,}8 < 1$). Les courbes de $x \mapsto 2^x$ et $x \mapsto 0{,}5^x$ se coupent au point $(0 ; 1)$.
À retenir : $q > 1$ : croissante ; $0 < q < 1$ : décroissante. La courbe passe par $(0 ; 1)$.
Propriétés opératoires des fonctions exponentielles
Pour $q > 0$ et pour tous réels $a$ et $b$ : $q^{a+b} = q^a \times q^b$ ; $q^{a-b} = \frac{q^a}{q^b}$ ; $q^{-a} = \frac{1}{q^a}$ ; $(q^a)^b = q^{ab}$. Ce sont les mêmes règles que pour les puissances entières.
Exemple
$2^{3{,}5} = 2^3 \times 2^{0{,}5} = 8 \times 2^{0{,}5} \approx 8 \times 1{,}414 \approx 11{,}31$. Pour une grandeur qui augmente de 10 % par an, $1{,}1^{t+1} = 1{,}1^t \times 1{,}1$ : passer d'une année à la suivante revient à multiplier par 1,1.
À retenir : $q^{a+b} = q^a \times q^b$ ; $q^{a-b} = \frac{q^a}{q^b}$ ; $q^{-a} = \frac{1}{q^a}$.
Fonction logarithme décimal
Pour tout réel $b > 0$, l'équation $10^x = b$ a une unique solution, notée $\log(b)$ : c'est le logarithme décimal de $b$. La fonction $x \mapsto \log(x)$ est définie sur $]0 ; +\infty[$ et croissante ; sa courbe passe par $(1 ; 0)$ et par $(10 ; 1)$. On a $\log(x) < 0$ pour $0 < x < 1$ et $\log(x) > 0$ pour $x > 1$.
Exemple
$\log(1\,000) = 3$ car $10^3 = 1\,000$ ; $\log(1) = 0$ car $10^0 = 1$ ; $\log(0{,}01) = -2$ car $10^{-2} = 0{,}01$. La calculatrice donne $\log(2) \approx 0{,}301$ : cela signifie que $10^{0{,}301} \approx 2$.
À retenir : $\log(b)$ est l'exposant à donner à 10 pour obtenir $b$ : $10^x = b \iff x = \log(b)$ (pour $b > 0$).
Propriétés opératoires du logarithme décimal
Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ et tout réel $n$ : $\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)$ ; $\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)$ ; $\log(a^n) = n\log(a)$. De plus, pour tout réel $x$, $\log(10^x) = x$, et pour tout $x > 0$, $10^{\log(x)} = x$.
Exemple
$\log(200) = \log(2 \times 100) = \log(2) + \log(100) \approx 0{,}301 + 2 = 2{,}301$. $\log(5^3) = 3\log(5)$. $\log(10^{4{,}2}) = 4{,}2$.
À retenir : Le logarithme transforme les produits en sommes et les puissances en produits : $\log(ab) = \log a + \log b$, $\log(a^n) = n\log a$.
Résoudre $q^x = a$, $\log(x) = a$ et les inéquations associées
Pour $a > 0$ : $q^x = a \iff \log(q^x) = \log(a) \iff x\log(q) = \log(a) \iff x = \frac{\log(a)}{\log(q)}$. Pour une inéquation $q^x \geq a$, on divise par $\log(q)$ : si $q > 1$, $\log(q) > 0$ et le sens est conservé ; si $0 < q < 1$, $\log(q) < 0$ et le sens de l'inégalité change. Enfin, $\log(x) = a \iff x = 10^a$, et, comme la fonction log est croissante, $\log(x) \leq a \iff 0 < x \leq 10^a$.
Exemple
$2^x = 10 \iff x = \frac{\log(10)}{\log(2)} = \frac{1}{\log(2)} \approx 3{,}32$. $0{,}9^x \leq 0{,}5 \iff x\log(0{,}9) \leq \log(0{,}5) \iff x \geq \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}9)} \approx 6{,}58$ (le sens change car $\log(0{,}9) < 0$). $\log(x) = 2{,}5 \iff x = 10^{2{,}5} \approx 316{,}2$.
À retenir : $q^x = a \iff x = \frac{\log a}{\log q}$ ; attention au changement de sens de l'inégalité quand $0 < q < 1$.
Modéliser des phénomènes d'évolution ; papier semi-logarithmique
Une grandeur qui varie d'un même pourcentage sur des durées égales (évolution à taux fixe) se modélise par $f(t) = f(0) \times q^t$ : $q = 1 + \frac{p}{100}$ pour une hausse de $p$ %, $q = 1 - \frac{p}{100}$ pour une baisse de $p$ % (décroissance, $0 < q < 1$). Exemples : intérêts composés $C(t) = C_0 \times (1 + r)^t$, décroissance radioactive $N(t) = N_0 \times 0{,}5^{t/T}$ où $T$ est la demi-vie. Sur un papier semi-logarithmique (axe des ordonnées gradué selon une échelle logarithmique), une fonction $t \mapsto k \times q^t$ est représentée par une droite, car $\log(k \times q^t) = \log(k) + t\log(q)$ est une fonction affine de $t$. Des points de mesure alignés sur ce papier indiquent donc une évolution à taux fixe.
Exemple
1 000 euros placés à 5 % par an deviennent $1\,000 \times 1{,}05^2 = 1\,102{,}50$ euros au bout de 2 ans. Le carbone 14 a une demi-vie d'environ 5 730 ans : au bout de 11 460 ans, il reste $0{,}5^2 = 0{,}25$, soit le quart des noyaux initiaux.
À retenir : Taux fixe ⇒ modèle exponentiel $k \times q^t$ ; sur papier semi-logarithmique, ce modèle donne une droite.
Les points clés
- $x \mapsto q^x$ ($q > 0$, $q \neq 1$) prolonge la suite géométrique $(q^n)$ ; elle est strictement positive
- Croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$ ; courbe passant par $(0 ; 1)$
- $q^{a+b} = q^a \times q^b$ ; $\log(ab) = \log a + \log b$ ; $\log(a^n) = n \log a$ ; $\log(10^x) = x$
- $\log(b)$ est la solution de $10^x = b$ ; la fonction log est croissante sur $]0 ; +\infty[$
- $q^x = a \iff x = \frac{\log a}{\log q}$ ; le sens d'une inéquation change si $0 < q < 1$
- Évolution à taux fixe = modèle exponentiel ; droite sur papier semi-logarithmique
L'essentiel
Les fonctions $x \mapsto q^x$ modélisent les évolutions à taux fixe, et le logarithme décimal permet de résoudre les équations et inéquations où l'inconnue est en exposant.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
On place 5 000 euros à intérêts composés au taux annuel de 3 %. Le capital après $t$ années est $C(t) = 5\,000 \times 1{,}03^t$. a) Calculer le capital après 10 ans (au centime près). b) Déterminer, à l'aide du logarithme décimal, au bout de combien d'années entières le capital dépasse 7 000 euros.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une substance radioactive a une demi-vie de 8 jours. On en possède 100 g. La masse restante après $t$ jours est $m(t) = 100 \times 0{,}5^{t/8}$. a) Quelle masse reste-t-il après 24 jours ? b) À partir de combien de jours (arrondir au jour supérieur) reste-t-il moins de 1 g ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →