Fonction exponentielle et logarithme appliqués en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonction exponentielle et logarithme appliqués pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Fonction exponentielle : propriétés et courbe
- Fonction logarithme décimal
- Modélisation d'une décroissance (radioactivité, refroidissement)
- Intérêts composés et placements financiers
- Résolution d'équations exponentielles simples
Fonction exponentielle : définition et propriétés
La fonction exponentielle $f(x) = e^x$ est une fonction qui croît très rapidement. Elle est définie pour tous les nombres réels et ses valeurs sont toujours positives. C'est l'inverse de la fonction logarithme.
Exemple
La croissance d'une population de bactéries en laboratoire suit une courbe exponentielle : elles se multiplient de façon accélérée.
À retenir : $e^0 = 1$, $e^x > 0$ pour tout $x$, et $e^{a+b} = e^a \times e^b$
Courbe de la fonction exponentielle
La courbe de $f(x) = e^x$ passe par le point $(0, 1)$, monte toujours vers la droite, et s'approche de 0 en allant vers la gauche. Elle n'a pas de maximum et croît plus vite que n'importe quelle fonction polynôme.
Exemple
Sur un graphique, la courbe ressemble à une rampe qui s'accélère : elle est presque plate à gauche, puis monte de plus en plus vite à droite.
À retenir : La courbe passe par $(0, 1)$ et croît sans limite vers $+\infty$
Fonction logarithme décimal
Le logarithme décimal $\log(x)$ est l'inverse de la puissance de 10. Si $10^y = x$, alors $\log(x) = y$. On l'utilise pour résoudre des équations avec des puissances de 10.
Exemple
Pour mesurer l'intensité d'un tremblement de terre, on utilise l'échelle de Richter qui est basée sur le logarithme décimal.
À retenir : $\log(10^x) = x$ et $10^{\log(x)} = x$ pour $x > 0$
Modélisation d'une décroissance radioactive
La radioactivité suit une décroissance exponentielle : la quantité de matière radioactive diminue de façon régulière selon la formule $N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}$, où $N_0$ est la quantité initiale et $\lambda$ est la constante de décroissance.
Exemple
Le carbone 14 utilisé pour dater les fossiles perd la moitié de sa masse tous les 5730 ans. Les archéologues utilisent cette propriété pour connaître l'âge des objets anciens.
À retenir : Dans une décroissance exponentielle, la quantité diminue toujours de la même proportion pendant des intervalles de temps égaux
Modélisation du refroidissement (loi de Newton)
La température d'un objet qui refroidit suit une décroissance exponentielle : $T(t) = T_{\text{ambiant}} + (T_0 - T_{\text{ambiant}}) \times e^{-kt}$, où $T_0$ est la température initiale et $k$ est une constante positive.
Exemple
Un café chaud versé dans une tasse refroidit rapidement au début, puis de plus en plus lentement jusqu'à atteindre la température de la pièce.
À retenir : L'objet refroidit vite au début, puis de plus en plus lentement jusqu'à la température ambiante
Intérêts composés et placements financiers
Quand on place de l'argent à la banque avec intérêts composés, le capital augmente selon la formule $C(t) = C_0 \times (1 + r)^t$, où $C_0$ est le capital initial, $r$ est le taux d'intérêt et $t$ est le temps en années.
Exemple
Si tu places 1000 euros à 5% par an, après 1 an tu as 1050 euros. Après 2 ans, tu as 1102,50 euros car les intérêts de la première année rapportent aussi des intérêts.
À retenir : Avec les intérêts composés, ton argent croît exponentiellement : tu gagnes des intérêts sur tes intérêts
Résolution d'équations exponentielles simples
Pour résoudre une équation comme $e^x = 5$ ou $10^x = 100$, on utilise le logarithme pour isoler $x$. Si $a^x = b$, alors $x = \log_a(b)$.
Exemple
Pour trouver quand une population de 1000 bactéries atteindra 10000 avec un doublement chaque heure, on résout $1000 \times 2^t = 10000$, ce qui donne $t = \log_2(10)$.
À retenir : Pour résoudre $a^x = b$, on prend le logarithme des deux côtés : $x = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$
Les points clés
- La fonction exponentielle $e^x$ croît toujours et très rapidement, ses propriétés permettent de simplifier les calculs
- Le logarithme est l'inverse de l'exponentielle : il permet de résoudre les équations exponentielles
- Les phénomènes naturels (radioactivité, refroidissement, croissance) suivent souvent des modèles exponentiels
- Les intérêts composés en finance créent une croissance exponentielle de l'argent placé
- Pour résoudre une équation exponentielle, on utilise toujours le logarithme pour isoler l'inconnue
L'essentiel
L'exponentielle et le logarithme sont des outils puissants pour modéliser et résoudre les problèmes de croissance ou décroissance rapide dans la nature et en finance
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un phénomène physique est décrit par la fonction $y(t) = 100 \cdot 10^{-0.05t}$, où $t$ est le temps en secondes. Montrer que cette fonction peut être réécrite sous la forme $y(t) = A \cdot e^{kt}$ pour des constantes $A$ et $k$. Déterminer $A$ et $k$. Que représente la constante $A$ dans ce contexte ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3e^{2x} - 5$. Calculer $f(0)$ et $f(\ln(2))$. Exprimer $f(x+1)$ en fonction de $f(x)$ et de constantes.
Corrige cet exercice avec le tuteur →