Compléments sur la dérivation en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de compléments sur la dérivation pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Dérivée d'une composée (règle de la chaîne)
- Dérivée seconde : définition et calcul
- Convexité : définition, lien avec la dérivée seconde
- Concavité et changement de concavité
- Point d'inflexion : définition et caractérisation
- Tangente en un point d'inflexion
- Position de la courbe par rapport à ses tangentes (convexité)
Dérivée d'une composée (règle de la chaîne)
La règle de la chaîne permet de dériver une fonction composée. Si $f(x) = g(h(x))$, alors $f'(x) = g'(h(x)) \times h'(x)$. On dérive la fonction extérieure, puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure.
Exemple
Quand tu règles la température d'une douche, tu tournes le robinet (fonction intérieure) ce qui change le débit d'eau chaude, qui lui-même change la température ressentie (fonction extérieure). L'effet total dépend des deux actions combinées.
À retenir : Pour dériver $f(x) = (3x^2 + 1)^5$, on calcule $f'(x) = 5(3x^2 + 1)^4 \times 6x$.
Dérivée seconde : définition et calcul
La dérivée seconde, notée $f''(x)$ ou $\frac{d^2f}{dx^2}$, est la dérivée de la dérivée première. Elle mesure comment la pente de la courbe change, c'est-à-dire l'accélération de la fonction.
Exemple
En voiture, la vitesse est la dérivée première de la position. L'accélération (à quel point tu appuies sur l'accélérateur) est la dérivée seconde : elle mesure comment la vitesse change.
À retenir : Si $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$, alors $f'(x) = 3x^2 - 4x$ et $f''(x) = 6x - 4$.
Convexité : définition et lien avec dérivée seconde
Une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe est en dessous de toutes ses tangentes. Mathématiquement, $f$ est convexe si $f''(x) \geq 0$ sur cet intervalle. Une fonction convexe a une forme de bol (\cup).
Exemple
Un ballon de basket en l'air suit une trajectoire convexe vers le bas : la courbe reste toujours au-dessus de ses tangentes. C'est comme un bol qui retient l'eau.
À retenir : Si $f''(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est convexe sur cet intervalle.
Concavité et changement de concavité
Une fonction est concave sur un intervalle si sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes. Mathématiquement, $f$ est concave si $f''(x) \leq 0$ sur cet intervalle. Une fonction concave a une forme de toit (\cap). Un changement de concavité se produit quand $f''(x)$ change de signe.
Exemple
Un arc de pont est concave : la courbe reste au-dessus de la corde qui relie ses extrémités. C'est l'inverse du bol.
À retenir : Si $f''(x) < 0$ sur un intervalle, alors $f$ est concave sur cet intervalle.
Point d'inflexion : définition et caractérisation
Un point d'inflexion est un point où la courbe change de concavité. C'est le point où $f''(x) = 0$ et où $f''(x)$ change de signe (la dérivée seconde passe de positive à négative ou inversement).
Exemple
Sur une montagne russe, le point d'inflexion est l'endroit où tu passes de la sensation d'être écrasé vers le bas à la sensation de flotter vers le haut : c'est le moment où la courbure change.
À retenir : Un point d'inflexion existe en $x = a$ si $f''(a) = 0$ et $f''$ change de signe en $a$.
Tangente en un point d'inflexion
La tangente à la courbe en un point d'inflexion traverse la courbe : elle passe d'un côté à l'autre. C'est la seule tangente qui traverse la courbe (contrairement aux tangentes en points convexes ou concaves qui restent d'un seul côté).
Exemple
Imagine une route qui monte (convexe), puis devient plate au sommet (inflexion), puis descend (concave). La ligne de la route au sommet traverse le paysage d'un côté à l'autre.
À retenir : En un point d'inflexion, la tangente traverse la courbe car la concavité change.
Position de la courbe par rapport à ses tangentes
La position relative de la courbe et de ses tangentes dépend de la convexité. Si $f$ est convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes. Si $f$ est concave, la courbe est au-dessous de ses tangentes. Aux points d'inflexion, la tangente traverse la courbe.
Exemple
Un verre d'eau (convexe) : l'eau reste au-dessus du bord. Un dôme (concave) : le toit reste au-dessus de la base. Un pont suspendu : il y a des zones convexes et concaves avec des points d'inflexion entre.
À retenir : Convexe = courbe au-dessus des tangentes ; Concave = courbe au-dessous des tangentes.
Les points clés
- La règle de la chaîne : $[g(h(x))]' = g'(h(x)) \times h'(x)$
- La dérivée seconde mesure l'accélération et détermine la concavité
- Convexe si $f''(x) > 0$ (bol), Concave si $f''(x) < 0$ (toit)
- Point d'inflexion : $f''(x) = 0$ avec changement de signe
- La tangente en un point d'inflexion traverse la courbe
L'essentiel
La dérivée seconde détermine la forme de la courbe : elle indique si la fonction s'accélère (convexe) ou ralentit (concave), et les points d'inflexion marquent les changements de courbure.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit $f(x) = (2x - 3)^4$. Calculez $f'(x)$ et $f''(x)$, puis déterminez les intervalles de convexité et de concavité.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Trouvez les points d'inflexion et déterminez les intervalles de convexité et de concavité.
Corrige cet exercice avec le tuteur →