Compléments sur la dérivation en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de compléments sur la dérivation pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Dérivée d'une composée (règle de la chaîne)
- Dérivée seconde : définition et calcul
- Convexité : définition et lien avec la dérivée seconde
- Concavité et changement de concavité
- Point d'inflexion : définition et caractérisation
- Tangente en un point d'inflexion
- Position de la courbe par rapport à ses tangentes
Ce que tu vas réviser
- Dérivée d'une composée (règle de la chaîne)
- Dérivée seconde : définition et calcul
- Convexité : définition, lien avec la dérivée seconde
- Concavité et changement de concavité
- Point d'inflexion : définition et caractérisation
- Tangente en un point d'inflexion
- Position de la courbe par rapport à ses tangentes (convexité)
Dérivée d'une composée (règle de la chaîne)
La règle de la chaîne permet de dériver une fonction composée. Si $f(x) = g(h(x))$, alors $f'(x) = g'(h(x)) \times h'(x)$. On dérive la fonction extérieure, puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure.
Exemple
Quand tu règles la température d'une douche, tu tournes le robinet (fonction intérieure) ce qui change le débit d'eau chaude, qui lui-même change la température ressentie (fonction extérieure). L'effet total dépend des deux actions combinées.
À retenir : Pour dériver $f(x) = (3x^2 + 1)^5$, on calcule $f'(x) = 5(3x^2 + 1)^4 \times 6x$.
Dérivée seconde : définition et calcul
La dérivée seconde, notée $f''$, est la dérivée de la dérivée $f'$. Elle mesure comment la pente de la courbe (le coefficient directeur des tangentes) évolue.
Exemple
En voiture, la vitesse est la dérivée première de la position. L'accélération est la dérivée seconde de la position : elle mesure comment la vitesse change.
À retenir : Si $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$, alors $f'(x) = 3x^2 - 4x$ et $f''(x) = 6x - 4$.
Convexité : définition et lien avec la dérivée seconde
Une fonction $f$ est convexe sur un intervalle si, sur cet intervalle, sa courbe est située en dessous de chacune de ses sécantes (entre les deux points d'intersection). Pour une fonction deux fois dérivable, c'est équivalent (admis) à : la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes, ou $f'$ est croissante, ou $f''(x) \geq 0$ sur l'intervalle. La courbe d'une fonction convexe a une forme de bol.
Exemple
La fonction carré $x \mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ : sa dérivée seconde vaut $2 > 0$, et sa parabole, en forme de bol, reste au-dessus de toutes ses tangentes.
À retenir : Si $f''(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est convexe sur cet intervalle.
Concavité et changement de concavité
Une fonction $f$ est concave sur un intervalle si $-f$ est convexe : sa courbe est au-dessus de ses sécantes et, pour une fonction deux fois dérivable, en dessous de toutes ses tangentes, ce qui équivaut à $f''(x) \leq 0$. La courbe a une forme de toit. Un changement de concavité se produit quand $f''(x)$ change de signe.
Exemple
La trajectoire d'un ballon lancé est concave : la courbe reste au-dessus de la corde qui relie deux de ses points. C'est l'inverse du bol.
À retenir : Si $f''(x) < 0$ sur un intervalle, alors $f$ est concave sur cet intervalle.
Point d'inflexion : définition et caractérisation
Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : la fonction change de convexité (convexe d'un côté, concave de l'autre). Pour une fonction deux fois dérivable, on le repère là où $f''$ s'annule en changeant de signe.
Exemple
La fonction cube $x \mapsto x^3$ a pour dérivée seconde $6x$, qui change de signe en $0$ : l'origine est un point d'inflexion de sa courbe.
À retenir : Un point d'inflexion existe en $x = a$ si $f''(a) = 0$ et $f''$ change de signe en $a$.
Tangente en un point d'inflexion
En un point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente : elle est au-dessus d'un côté du point et en dessous de l'autre. Sur un intervalle où la fonction est convexe (ou concave), la courbe reste au contraire d'un seul côté de chacune de ses tangentes.
Exemple
La tangente à la courbe de $x \mapsto x^3$ en l'origine est l'axe des abscisses $y = 0$ : la courbe est en dessous pour $x < 0$ et au-dessus pour $x > 0$.
À retenir : En un point d'inflexion, la tangente traverse la courbe car la concavité change.
Position de la courbe par rapport à ses tangentes
La position relative de la courbe et de ses tangentes dépend de la convexité. Si $f$ est convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes. Si $f$ est concave, la courbe est en dessous de ses tangentes. Aux points d'inflexion, la tangente traverse la courbe.
Exemple
La fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$ ; sa tangente en $0$ a pour équation $y = x + 1$, donc $e^x \geq x + 1$ pour tout réel $x$. C'est ainsi que la convexité permet de démontrer des inégalités.
À retenir : Convexe = courbe au-dessus de ses tangentes ; concave = courbe en dessous de ses tangentes.
Les points clés
- La règle de la chaîne : $[g(h(x))]' = g'(h(x)) \times h'(x)$
- Le signe de la dérivée seconde détermine la convexité ou la concavité
- Convexe si $f''(x) \geq 0$ sur l'intervalle (bol), concave si $f''(x) \leq 0$ (toit)
- Point d'inflexion : $f''$ s'annule en changeant de signe
- La tangente en un point d'inflexion traverse la courbe
L'essentiel
La dérivée seconde détermine la forme de la courbe : si $f'' \geq 0$, $f'$ est croissante et $f$ est convexe ; si $f'' \leq 0$, $f$ est concave ; les points d'inflexion marquent les changements de convexité.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit $f(x) = (2x - 3)^4$. Calculez $f'(x)$ et $f''(x)$, puis déterminez les intervalles de convexité et de concavité.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Trouvez les points d'inflexion et déterminez les intervalles de convexité et de concavité.
Corrige cet exercice avec le tuteur →