Fonctions sinus et cosinus en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonctions sinus et cosinus pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Fonctions sinus et cosinus : dérivées
- Variations et courbes représentatives de sin et cos
- Périodicité et parité (rappel de 1re)
- Résoudre une équation cos(x) = a et une inéquation cos(x) ≤ a sur [−π ; π]
- Étudier une fonction simple construite à partir de sin et cos : variations, optimum
- Résolution de problèmes, notamment géométriques
Dérivées de sin et cos
La dérivée de $\sin(x)$ est $\cos(x)$ et la dérivée de $\cos(x)$ est $-\sin(x)$. Ces formules permettent d'étudier la vitesse de variation de ces fonctions.
Exemple
Si la position d'un objet qui oscille est $x(t) = \sin(t)$, sa vitesse instantanée est $x'(t) = \cos(t)$ : elle est maximale en valeur absolue quand l'objet passe par la position $0$.
À retenir : $(\sin(x))' = \cos(x)$ et $(\cos(x))' = -\sin(x)$
Étude de fonctions trigonométriques
Étudier une fonction trigonométrique signifie trouver ses variations (croissante ou décroissante), ses extremums (maxima et minima) en utilisant la dérivée et le tableau de signes.
Exemple
La température d'une ville est modélisée par $f(t) = 15 + 10\cos\left(\frac{2\pi (t - 15)}{24}\right)$, $t$ en heures, sur $[0 ; 24]$. Elle est maximale ($25$ °C) pour $t = 15$ (15 h) et minimale ($5$ °C) pour $t = 3$ (3 h).
À retenir : On étudie le signe de la dérivée pour déterminer les variations et les extremums.
Périodicité et parité des fonctions
Une fonction est périodique si elle se répète identiquement après un intervalle fixe appelé période. Une fonction est paire si $f(-x) = f(x)$ (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) et impaire si $f(-x) = -f(x)$ (courbe symétrique par rapport à l'origine du repère).
Exemple
Les marées se répètent environ toutes les 12 h 25 min (période). La fonction $\cos(x)$ est paire (symétrique) tandis que $\sin(x)$ est impaire.
À retenir : $\sin(x)$ est impaire et $\cos(x)$ est paire, toutes deux de période $2\pi$
Équations trigonométriques simples
Résoudre une équation trigonométrique, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui satisfont l'équation. On utilise le cercle trigonométrique et la périodicité pour exprimer l'ensemble des solutions.
Exemple
Trouver quand un signal sonore atteint son amplitude maximale revient à résoudre $\sin(t) = 1$, ce qui donne $t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
À retenir : Si $\cos(x_0) = a$, les solutions de $\cos(x) = a$ sont $x = x_0 + 2k\pi$ ou $x = -x_0 + 2k\pi$ ; si $\sin(x_0) = a$, celles de $\sin(x) = a$ sont $x = x_0 + 2k\pi$ ou $x = \pi - x_0 + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Fonctions du type a·cos(ωt+φ)
Pour $\omega > 0$, la fonction $t \mapsto a\cos(\omega t + \varphi)$ décrit une oscillation sinusoïdale d'amplitude $|a|$, de pulsation $\omega$ (en rad/s si $t$ est en secondes) et de phase à l'origine $\varphi$ ; sa courbe est celle de $a\cos(\omega t)$ décalée horizontalement de $-\frac{\varphi}{\omega}$. Ce vocabulaire vient de la physique : en mathématiques, on étudie ces fonctions comme des composées (dérivée, variations, période).
Exemple
Un son pur de fréquence 440 Hz peut s'écrire $f(t) = 5\cos(880\pi t + 0{,}1)$ : l'amplitude vaut $5$, la pulsation $\omega = 2\pi \times 440 = 880\pi$ rad/s et la phase à l'origine $0{,}1$ rad.
À retenir : L'amplitude est $|a|$, la période est $T = \frac{2\pi}{\omega}$, et $\varphi$ décale horizontalement la courbe
Applications aux phénomènes périodiques
Les fonctions sinus et cosinus modélisent de nombreux phénomènes périodiques : ondes électromagnétiques, oscillations mécaniques, tension alternative, variations saisonnières.
Exemple
La tension du secteur en France est sinusoïdale de fréquence 50 Hz : elle oscille 50 fois par seconde. Un ressort qui rebondit suit une loi du type $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$.
À retenir : Un phénomène périodique sinusoïdal se modélise par $a\cos(\omega t + \varphi)$, de période $T = \frac{2\pi}{\omega}$ ; tous les phénomènes périodiques ne sont pas sinusoïdaux.
Limite de sin(x)/x en 0
Pour aller plus loin (hors programme en tant que tel, mais conséquence directe du cours) : $\frac{\sin(x)}{x} = \frac{\sin(x) - \sin(0)}{x - 0}$ est un taux d'accroissement de $\sin$ en $0$ ; il tend vers le nombre dérivé $\sin'(0) = \cos(0) = 1$. Donc $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ : près de $0$, $\sin(x)$ se comporte comme $x$.
Exemple
Pour de très petits angles (en radians), $\sin(x) \approx x$. C'est pourquoi en physique, on approxime $\sin(\theta) \approx \theta$ pour les petites oscillations.
À retenir : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ se retrouve avec le nombre dérivé de $\sin$ en $0$.
Les points clés
- Les dérivées de sin et cos sont liées : $(\sin)' = \cos$ et $(\cos)' = -\sin$
- $\sin$ est impaire et $2\pi$-périodique ; $\cos$ est paire et $2\pi$-périodique
- Une fonction $a\cos(\omega t + \varphi)$ a pour amplitude $|a|$, période $\frac{2\pi}{\omega}$, et phase $\varphi$
- Sur $\mathbb{R}$, les solutions de $\cos(x) = a$ ou $\sin(x) = a$ s'écrivent à $2k\pi$ près ($k \in \mathbb{Z}$)
- Pour de petits angles en radians, $\sin(x) \approx x$, car $\frac{\sin(x)}{x} \to 1$ quand $x \to 0$
L'essentiel
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, dérivables sur $\mathbb{R}$, et modélisent les phénomènes oscillants sinusoïdaux ; maîtriser leurs dérivées, variations et équations est indispensable.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit $f(x) = 2\sin(3x - \frac{\pi}{4})$. Déterminez : (1) l'amplitude, (2) la période, (3) la phase à l'origine, (4) $f'(x)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Résolvez l'équation $\cos(x) = \frac{1}{2}$ sur $[0 ; 2\pi]$, puis donnez la solution générale.
Corrige cet exercice avec le tuteur →