Fonctions sinus et cosinus en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonctions sinus et cosinus pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Dérivées de sin et cos
- Étude de fonctions trigonométriques : variations, extremums
- Périodicité et parité des fonctions trigonométriques
- Équations trigonométriques simples
- Fonctions du type a·cos(ωt+φ) : amplitude, pulsation, phase
- Applications aux phénomènes périodiques (ondes, oscillations)
- Limites de sin(x)/x en 0
Dérivées de sin et cos
La dérivée de $\sin(x)$ est $\cos(x)$ et la dérivée de $\cos(x)$ est $-\sin(x)$. Ces formules permettent d'étudier la vitesse de variation de ces fonctions.
Exemple
Un pendule oscille selon $\sin(t)$. Sa vitesse instantanée est donnée par la dérivée $\cos(t)$, qui montre quand le pendule se déplace le plus vite.
À retenir : $(\sin(x))' = \cos(x)$ et $(\cos(x))' = -\sin(x)$
Étude de fonctions trigonométriques
Étudier une fonction trigonométrique signifie trouver ses variations (croissante ou décroissante), ses extremums (maxima et minima) en utilisant la dérivée et le tableau de signes.
Exemple
La température d'une ville varie selon $f(t) = 15 + 10\cos(\frac{2\pi t}{24})$ sur 24 heures. On peut trouver quand elle est maximale (15h) et minimale (3h).
À retenir : On étudie le signe de la dérivée pour déterminer les variations et les extremums.
Périodicité et parité des fonctions
Une fonction est périodique si elle se répète identiquement après un intervalle fixe appelé période. Une fonction est paire si $f(-x) = f(x)$ (symétrie par rapport à l'axe y) et impaire si $f(-x) = -f(x)$ (symétrie par rapport à l'origine).
Exemple
Les marées se répètent toutes les 12h25 (période). La fonction $\cos(x)$ est paire (symétrique) tandis que $\sin(x)$ est impaire.
À retenir : $\sin(x)$ est impaire et $\cos(x)$ est paire, toutes deux de période $2\pi$
Équations trigonométriques simples
Résoudre une équation trigonométrique, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui satisfont l'équation. On utilise le cercle trigonométrique et la périodicité pour exprimer l'ensemble des solutions.
Exemple
Trouver quand un signal sonore atteint son amplitude maximale revient à résoudre $\sin(t) = 1$, ce qui donne $t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
À retenir : Les solutions s'expriment toujours avec la périodicité : $x = x_0 + 2k\pi$ ou $x = \pi - x_0 + 2k\pi$ pour $k \in \mathbb{Z}$
Fonctions du type a·cos(ωt+φ)
Cette forme générale décrit une oscillation avec amplitude $|a|$, pulsation $\omega$ (vitesse d'oscillation), et phase $\varphi$ (décalage horizontal). Elle modélise les phénomènes périodiques réels.
Exemple
Une onde sonore s'écrit $f(t) = 5\cos(440 \cdot 2\pi t + 0.1)$ où 5 est l'amplitude, 440 Hz la fréquence, et 0.1 le déphasage.
À retenir : L'amplitude est $|a|$, la période est $T = \frac{2\pi}{\omega}$, et $\varphi$ décale horizontalement la courbe
Applications aux phénomènes périodiques
Les fonctions sinus et cosinus modélisent les phénomènes qui se répètent : ondes électromagnétiques, oscillations mécaniques, signaux électriques, variations saisonnières.
Exemple
La lumière visible oscille environ 500 milliards de fois par seconde. Un ressort qui rebondit suit une loi du type $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$.
À retenir : Tout phénomène périodique peut être décrit par une fonction trigonométrique de la forme $a\cos(\omega t + \varphi)$
Limite de sin(x)/x en 0
La limite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ est une limite fondamentale. Elle montre que près de 0, $\sin(x)$ se comporte comme $x$.
Exemple
Pour de très petits angles (en radians), $\sin(x) \approx x$. C'est pourquoi en physique, on approxime $\sin(\theta) \approx \theta$ pour les petites oscillations.
À retenir : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ est essentielle pour calculer d'autres limites trigonométriques
Les points clés
- Les dérivées de sin et cos sont liées : $(\sin)' = \cos$ et $(\cos)' = -\sin$
- sin(x) est impaire et périodique de période $2\pi$ ; cos(x) est paire et périodique de période $2\pi$
- Une fonction $a\cos(\omega t + \varphi)$ a pour amplitude $|a|$, période $\frac{2\pi}{\omega}$, et phase $\varphi$
- Les solutions des équations trigonométriques incluent toujours la périodicité : $+2k\pi$ ou $+k\pi$
- La limite $\frac{\sin(x)}{x} \to 1$ quand $x \to 0$ permet d'approximer sin(x) par x pour petits angles
L'essentiel
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, dérivables, et modélisent tous les phénomènes oscillants ; maîtriser leurs dérivées, variations et équations est indispensable.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une particule se déplace sur une trajectoire circulaire dans le plan. Ses coordonnées (x(t), y(t)) à l'instant t (en secondes) sont données par : x(t) = 5cos(2πt) et y(t) = 5sin(2πt). On considère que t ≥ 0. 1. Montrer que la distance de la particule à l'origine est constante. 2. Calculer la vitesse instantanée de la particule en t = 0.5 s. On pourra utiliser les dérivées des fonctions cosinus et sinus. 3. Déterminer la période du mouvement.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On étudie la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 3sin(x) - 2cos(x). 1. Calculer f'(x) et f''(x). 2. Montrer que f satisfait l'équation différentielle y'' + y = 0.
Corrige cet exercice avec le tuteur →