Fonctions sinus et cosinus en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonctions sinus et cosinus pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Fonctions sinus et cosinus : dérivées
- Variations et courbes représentatives de sin et cos
- Périodicité et parité (rappel de 1re)
- Résoudre une équation cos(x) = a et une inéquation cos(x) ≤ a sur [−π ; π]
- Étudier une fonction simple construite à partir de sin et cos : variations, optimum
- Résolution de problèmes, notamment géométriques
Dérivées des fonctions sinus et cosinus
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$, avec $\sin' = \cos$ et $\cos' = -\sin$. Avec la dérivée d'une composée, pour des réels $a$ et $b$ : la dérivée de $x \mapsto \sin(ax + b)$ est $x \mapsto a\cos(ax + b)$ et celle de $x \mapsto \cos(ax + b)$ est $x \mapsto -a\sin(ax + b)$.
Exemple
Si $f(x) = 3\sin(x) + \cos(x)$, alors $f'(x) = 3\cos(x) - \sin(x)$. Si $g(x) = \cos(2x)$, alors $g'(x) = -2\sin(2x)$.
À retenir : $(\sin x)' = \cos x$ ; $(\cos x)' = -\sin x$ ; $(\cos(ax + b))' = -a\sin(ax + b)$.
Variations et courbes représentatives
On étudie les variations sur $[-\pi ; \pi]$ grâce au signe des dérivées. Sur $[0 ; \pi]$, $\sin x \geq 0$, donc $\cos' = -\sin \leq 0$ : cosinus est décroissante de 1 à $-1$ ; sur $[-\pi ; 0]$, elle est croissante de $-1$ à 1. Sur $\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$, $\cos x \geq 0$, donc sinus est croissante de $-1$ à 1 ; elle est décroissante sur $\left[-\pi ; -\frac{\pi}{2}\right]$ (de 0 à $-1$) et sur $\left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right]$ (de 1 à 0). Les courbes sont des sinusoïdes, comprises entre les droites d'équations $y = -1$ et $y = 1$.
Exemple
Valeurs utiles : $\cos 0 = 1$, $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{2} = 0$, $\cos \pi = -1$ ; $\sin 0 = 0$, $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi}{2} = 1$. La courbe du cosinus passe par $(0 ; 1)$, celle du sinus par l'origine ; la courbe du cosinus se déduit de celle du sinus par une translation de $\frac{\pi}{2}$ vers la gauche, car $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.
À retenir : Sur $[0 ; \pi]$ : cos décroît de 1 à $-1$. Sur $\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ : sin croît de $-1$ à 1.
Périodicité et parité (rappel de 1re)
Pour tout réel $x$ : $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ : les deux fonctions sont périodiques de période $2\pi$. De plus $\cos(-x) = \cos x$ (cosinus est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) et $\sin(-x) = -\sin x$ (sinus est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine).
Exemple
Grâce à la périodicité, il suffit d'étudier ces fonctions sur un intervalle de longueur $2\pi$, comme $[-\pi ; \pi]$ ; grâce à la parité, il suffit même d'étudier sur $[0 ; \pi]$ puis de compléter par symétrie. Par exemple $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ et $\sin\left(\frac{13\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6} + 2\pi\right) = \frac{1}{2}$.
À retenir : Période $2\pi$ ; cos paire, sin impaire.
Résoudre $\cos x = a$ et $\cos x \leq a$ sur $[-\pi ; \pi]$
Sur $[-\pi ; \pi]$, pour $-1 < a < 1$, l'équation $\cos x = a$ a exactement deux solutions opposées $x_0$ et $-x_0$, où $x_0$ est l'unique solution dans $]0 ; \pi[$ (cosinus est strictement décroissante sur $[0 ; \pi]$). Pour $a = 1$, la seule solution est 0 ; pour $a = -1$, les solutions sont $-\pi$ et $\pi$. Pour l'inéquation, on lit le cercle trigonométrique ou la courbe : $\cos x \leq a$ correspond aux points dont l'abscisse est inférieure ou égale à $a$.
Exemple
$\cos x = \frac{1}{2}$ sur $[-\pi ; \pi]$ : $x = -\frac{\pi}{3}$ ou $x = \frac{\pi}{3}$. $\cos x \leq \frac{1}{2}$ sur $[-\pi ; \pi]$ : $x \in \left[-\pi ; -\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3} ; \pi\right]$. $\cos x > \frac{1}{2}$ : $x \in \left]-\frac{\pi}{3} ; \frac{\pi}{3}\right[$.
À retenir : Une solution $x_0$ dans $[0 ; \pi]$ donne l'autre, $-x_0$, par parité ; l'inéquation se lit sur le cercle ou la courbe.
Étudier une fonction construite à partir de sin et cos
Pour étudier une fonction comme $f(x) = x - 2\sin x$ ou $g(x) = \cos(2x)$ : 1) calculer la dérivée ; 2) étudier son signe, souvent en se ramenant à une inéquation du type $\cos x \leq a$ ; 3) dresser le tableau de variations ; 4) en déduire les extremums (optimum).
Exemple
$g(x) = \cos(2x)$ sur $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ : $g'(x) = -2\sin(2x)$. Pour $x \in \left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$, $2x \in [0 ; \pi]$ donc $\sin(2x) \geq 0$ et $g'(x) \leq 0$ : $g$ est décroissante, de $g(0) = 1$ à $g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos \pi = -1$.
À retenir : Dérivée, signe (inéquation trigonométrique), tableau de variations, extremums.
Résolution de problèmes, notamment géométriques
Dans un problème géométrique, on choisit souvent un angle $\theta$ comme variable : les longueurs s'expriment alors avec $\cos \theta$ et $\sin \theta$, et la grandeur à optimiser (aire, périmètre, longueur) devient une fonction de $\theta$ que l'on étudie sur l'intervalle imposé par la figure.
Exemple
Un triangle isocèle a deux côtés de longueur 1 qui forment un angle $\theta \in ]0 ; \pi[$. Sa hauteur relative à l'un de ces côtés vaut $\sin \theta$, donc son aire est $A(\theta) = \frac{1}{2}\sin \theta$. $A'(\theta) = \frac{1}{2}\cos \theta$ est positive sur $\left]0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ et négative sur $\left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right[$ : l'aire est maximale pour $\theta = \frac{\pi}{2}$ (triangle rectangle), et vaut alors $\frac{1}{2}$.
À retenir : Exprimer les longueurs en fonction d'un angle, puis étudier la fonction obtenue sur le bon intervalle.
Les points clés
- $(\sin x)' = \cos x$ et $(\cos x)' = -\sin x$ ; $(\cos(ax + b))' = -a\sin(ax + b)$
- Sur $[0 ; \pi]$, cos décroît de 1 à $-1$ ; sur $\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$, sin croît de $-1$ à 1
- sin et cos sont $2\pi$-périodiques ; cos est paire, sin est impaire
- Sur $[-\pi ; \pi]$, $\cos x = a$ ($-1 < a < 1$) a deux solutions opposées ; $\cos x \leq a$ se lit sur le cercle trigonométrique
- Étudier une fonction trigonométrique : dérivée, signe, tableau de variations, optimum
L'essentiel
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables, $2\pi$-périodiques et bornées par $-1$ et 1. Leurs dérivées, leurs variations sur $[-\pi ; \pi]$ et la résolution de $\cos x = a$ ou $\cos x \leq a$ permettent d'étudier des fonctions et de résoudre des problèmes d'optimisation.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
On considère $f(x) = x - 2\sin x$ sur $[-\pi ; \pi]$. a) Résoudre sur $[-\pi ; \pi]$ l'inéquation $\cos x \leq \frac{1}{2}$. b) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations de $f$ et donner ses extremums locaux (valeurs exactes puis approchées au centième).
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un rectangle est inscrit dans un demi-disque de rayon 1 : un côté est posé sur le diamètre, et les deux autres sommets sont sur le demi-cercle, aux points de coordonnées $(\cos \theta ; \sin \theta)$ et $(-\cos \theta ; \sin \theta)$ dans un repère orthonormé centré au milieu du diamètre, avec $\theta \in \left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$. a) Montrer que l'aire du rectangle est $A(\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$. b) Montrer que $A'(\theta) = 2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$. c) En déduire la valeur de $\theta$ pour laquelle l'aire est maximale, et cette aire maximale.
Corrige cet exercice avec le tuteur →