Fonction logarithme décimal en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonction logarithme décimal pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Définition et propriétés du logarithme décimal
- Équations et inéquations avec logarithmes
- Applications aux décibels et pH
- Échelles logarithmiques
- Lien avec la fonction exponentielle
Définition du logarithme décimal
Le logarithme décimal, noté log(x), est l'exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir x. Autrement dit, si $10^y = x$, alors $log(x) = y$. C'est l'inverse de la fonction exponentielle de base 10.
Exemple
Quand tu cherches combien de chiffres a un nombre très grand, tu utilises le logarithme décimal. Par exemple, le nombre d'habitants sur Terre (8 milliards) s'écrit avec environ $log(8 imes 10^9) ≈ 9,9$ chiffres.
À retenir : $log(x) = y$ signifie exactement $10^y = x$
Propriétés algébriques du logarithme
Le logarithme transforme les multiplications en additions, les divisions en soustractions, et les puissances en multiplications. Ces propriétés facilitent les calculs avec de très grands ou très petits nombres.
Exemple
En acoustique, quand deux haut-parleurs jouent ensemble, leurs intensités s'ajoutent en logarithme : $log(a imes b) = log(a) + log(b)$. C'est pourquoi 2 haut-parleurs ne font pas deux fois plus fort, mais seulement un peu plus fort.
À retenir : $log(a imes b) = log(a) + log(b)$ ; $log(a^n) = n imes log(a)$ ; $log(1) = 0$ et $log(10) = 1$
Équations avec logarithmes décimaux
Résoudre une équation avec logarithme signifie isoler l'inconnue en utilisant les propriétés du log et en passant à la forme exponentielle $10^y = x$ quand c'est nécessaire.
Exemple
Un scientifique cherche à quel moment une population de bactéries atteint 1 million. Si $log(N) = 6$, alors $N = 10^6 = 1 000 000$ bactéries.
À retenir : Pour résoudre $log(x) = a$, on passe à la forme exponentielle : $x = 10^a$
Inéquations avec logarithmes décimaux
Résoudre une inéquation avec logarithme fonctionne comme avec les équations, mais il faut faire attention au sens de l'inégalité. Puisque log est croissante, $log(a) < log(b)$ équivaut à $a < b$ (avec $a, b > 0$).
Exemple
Un chimiste veut que le pH d'une solution reste inférieur à 7 (neutre). Si $pH = -log([H^+])$, il doit vérifier que $[H^+] > 10^{-7}$.
À retenir : La fonction log est croissante : si $log(a) < log(b)$ alors $a < b$ (toujours avec des nombres positifs)
Application aux décibels
Le décibel mesure l'intensité sonore en utilisant une échelle logarithmique. La formule est $L = 10 imes log( rac{I}{I_0})$ où I est l'intensité du son et $I_0$ est une intensité de référence très faible.
Exemple
Un concert rock produit environ 110 décibels, tandis qu'une conversation normale produit 60 décibels. Grâce au logarithme, on peut comparer des sons dont les intensités réelles diffèrent d'un milliard de fois sur une échelle de 0 à 130 dB.
À retenir : Les décibels utilisent le logarithme pour compresser une très grande plage d'intensités sonores en nombres faciles à manipuler
Application au pH et chimie
Le pH mesure l'acidité d'une solution avec la formule $pH = -log([H^+])$ où $[H^+]$ est la concentration en ions hydrogène. C'est une échelle logarithmique de 0 (très acide) à 14 (très basique).
Exemple
Le jus de citron a un pH d'environ 2, tandis que l'eau pure a un pH de 7. Une différence de 5 en pH signifie que le jus de citron est 100 000 fois plus acide que l'eau pure, grâce au logarithme.
À retenir : $pH = -log([H^+])$ : chaque unité de pH représente une multiplication par 10 de la concentration en ions
Échelles logarithmiques
Une échelle logarithmique permet de représenter sur un graphique des données qui varient sur plusieurs ordres de grandeur. Au lieu de placer les nombres directement, on place leur logarithme.
Exemple
Pour comparer la population de petits villages (100 habitants) avec celle de grandes villes (10 millions), on utilise une échelle log en ordonnée. Cela rend le graphique lisible au lieu d'avoir une ligne plate près de zéro.
À retenir : Les échelles logarithmiques permettent de visualiser ensemble des nombres très différents (du très petit au très grand)
Lien entre log et exponentielle
Le logarithme décimal et la fonction exponentielle de base 10 sont des fonctions inverses l'une de l'autre. Si $f(x) = 10^x$ et $g(x) = log(x)$, alors $f(g(x)) = x$ et $g(f(x)) = x$.
Exemple
Si tu places 1000 euros sur un compte qui triple chaque année, après n années tu as $1000 imes 3^n$ euros. Pour savoir après combien d'années tu auras 1 million, tu utilises le logarithme : $n = rac{log(1000000/1000)}{log(3)}$.
À retenir : $log(10^x) = x$ et $10^{log(x)} = x$ : ce sont des fonctions inverses
Les points clés
- Le logarithme décimal est l'inverse de la puissance de 10 : $log(x) = y$ équivaut à $10^y = x$
- Les propriétés du log transforment les multiplications en additions : $log(a imes b) = log(a) + log(b)$
- Les échelles logarithmiques (décibels, pH) permettent de comparer des phénomènes avec des valeurs très différentes
- La fonction log est croissante et définie uniquement pour les nombres positifs
- Les décibels et le pH sont des applications concrètes du logarithme en physique et chimie
L'essentiel
Le logarithme décimal transforme les très grands ou très petits nombres en nombres ordinaires, ce qui rend les calculs et comparaisons possibles dans des domaines comme l'acoustique, la chimie et la sismologie.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un séisme a une magnitude de 6 sur l'échelle de Richter. L'amplitude des ondes sismiques est donnée par $log(A) = M + 4,8$ où M est la magnitude et A est l'amplitude en micromètres. Calcule l'amplitude A de ce séisme.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Le pH d'une solution est 3. Calcule la concentration en ions hydrogène $[H^+]$ sachant que $pH = -log([H^+])$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →