Fonction logarithme décimal en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonction logarithme décimal pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Définition et propriétés du logarithme décimal
- Équations et inéquations avec logarithmes
- Applications aux décibels et pH
- Échelles logarithmiques
- Lien avec la fonction exponentielle
Définition du logarithme décimal
Pour $b > 0$, le logarithme décimal de $b$, noté $\log(b)$, est l'unique solution de l'équation $10^x = b$ : c'est l'exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir $b$. La fonction $\log$ est définie sur $]0 \,; +\infty[$ ; c'est la fonction réciproque de la fonction $x \mapsto 10^x$.
Exemple
$\log(1\,000) = 3$ car $10^3 = 1\,000$. Le logarithme décimal donne l'ordre de grandeur d'un nombre : $\log(8 \times 10^9) \approx 9{,}9$, donc $10^9 < 8 \times 10^9 < 10^{10}$ et le nombre d'habitants sur Terre (8 milliards) s'écrit avec 10 chiffres (partie entière du logarithme plus 1).
À retenir : Pour $b > 0$ : $\log(b) = y$ signifie exactement $10^y = b$.
Propriétés algébriques du logarithme
Le logarithme transforme les multiplications en additions, les divisions en soustractions, et les puissances en multiplications. Ces propriétés facilitent les calculs avec de très grands ou très petits nombres.
Exemple
$\log(2) \approx 0{,}301$ ; on en déduit $\log(20) = \log(2) + \log(10) \approx 1{,}301$ et $\log(8) = 3\log(2) \approx 0{,}903$. En acoustique, quand l'intensité sonore est multipliée par 2 (deux haut-parleurs identiques au lieu d'un), le niveau sonore augmente de $10\log(2) \approx 3$ dB seulement.
À retenir : $\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)$ ; $\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)$ ; $\log(a^n) = n \times \log(a)$ ; $\log(1) = 0$ et $\log(10) = 1$ (pour $a > 0$, $b > 0$).
Équations avec logarithmes décimaux
Le logarithme décimal sert à trouver un exposant inconnu. Pour résoudre $a^x = b$ (avec $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$), on applique $\log$ aux deux membres : $x \log(a) = \log(b)$, donc $x = \frac{\log(b)}{\log(a)}$. Pour résoudre $\log(x) = c$, on repasse à la puissance de 10 : $x = 10^c$.
Exemple
Si $\log(N) = 6$, alors $N = 10^6 = 1\,000\,000$. Un capital placé à 4 % par an double quand $1{,}04^x = 2$, soit $x = \frac{\log(2)}{\log(1{,}04)} \approx 17{,}7$ : il faut 18 années entières.
À retenir : $a^x = b \iff x = \frac{\log(b)}{\log(a)}$ ; $\log(x) = c \iff x = 10^c$.
Inéquations avec logarithmes décimaux
La fonction $\log$ est strictement croissante sur $]0 \,; +\infty[$ : pour $a, b > 0$, $\log(a) < \log(b)$ équivaut à $a < b$. Pour résoudre $a^n < b$, on applique $\log$ puis on divise par $\log(a)$, en changeant le sens de l'inégalité si $\log(a) < 0$ (c'est-à-dire si $0 < a < 1$).
Exemple
Un chimiste veut que le pH d'une solution reste inférieur à 7 (neutre). Comme $pH = -\log([H^+])$, il faut $\log([H^+]) > -7$, c'est-à-dire $[H^+] > 10^{-7}$ mol/L. Autre exemple : $0{,}8^n < 0{,}1 \iff n \log(0{,}8) < \log(0{,}1) \iff n > \frac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}8)} \approx 10{,}3$ car $\log(0{,}8) < 0$.
À retenir : La fonction $\log$ est croissante : si $\log(a) < \log(b)$ alors $a < b$ (avec $a, b > 0$). Diviser par un logarithme négatif change le sens de l'inégalité.
Application aux décibels
Le décibel mesure l'intensité sonore en utilisant une échelle logarithmique. La formule est $L = 10 \times \log(\frac{I}{I_0})$ où I est l'intensité du son et $I_0$ est une intensité de référence très faible.
Exemple
Un concert de rock produit environ 110 décibels, une conversation normale environ 60 décibels : l'écart de 50 dB correspond à une intensité $10^5 = 100\,000$ fois plus grande. De 0 dB à 130 dB, les intensités sont multipliées par $10^{13}$ : le logarithme ramène cette immense plage à des nombres simples.
À retenir : Les décibels utilisent le logarithme pour compresser une très grande plage d'intensités sonores en nombres faciles à manipuler
Application au pH et chimie
Le pH mesure l'acidité d'une solution avec la formule $pH = -\log([H^+])$ où $[H^+]$ est la concentration en ions hydrogène. C'est une échelle logarithmique de 0 (très acide) à 14 (très basique).
Exemple
Le jus de citron a un pH d'environ 2, l'eau pure un pH de 7. Une différence de 5 unités de pH signifie que la concentration en ions $H^+$ du jus de citron est environ $10^5 = 100\,000$ fois plus grande que celle de l'eau pure.
À retenir : $pH = -\log([H^+])$ : quand le pH diminue d'une unité, la concentration en ions $H^+$ est multipliée par 10.
Échelles logarithmiques
Une échelle logarithmique permet de représenter sur un graphique des données qui varient sur plusieurs ordres de grandeur. Au lieu de placer les nombres directement, on place leur logarithme.
Exemple
Pour comparer la population de petits villages (100 habitants) avec celle de grandes villes (10 millions), on utilise une échelle log en ordonnée. Cela rend le graphique lisible au lieu d'avoir une ligne plate près de zéro. Pour les élèves de STI2D et STL, les repères semi-logarithmiques servent aussi en physique (diagrammes de Bode, courbes de décroissance).
À retenir : Les échelles logarithmiques permettent de visualiser ensemble des nombres très différents (du très petit au très grand)
Lien entre log et exponentielle
Le logarithme décimal et la fonction exponentielle de base 10 sont réciproques l'une de l'autre : si $f(x) = 10^x$ et $g(x) = \log(x)$, alors $f(g(x)) = x$ pour $x > 0$ et $g(f(x)) = x$ pour tout réel $x$.
Exemple
Si tu places 1 000 euros sur un placement qui triple chaque année, après $n$ années tu as $1\,000 \times 3^n$ euros. Pour savoir quand tu dépasseras 1 million : $3^n > 1\,000$, soit $n > \frac{\log(1\,000)}{\log(3)} \approx 6{,}3$, donc au bout de 7 ans.
À retenir : $\log(10^x) = x$ et $10^{\log(x)} = x$ : ce sont des fonctions inverses
Les points clés
- Le logarithme décimal est l'inverse de la puissance de 10 : $\log(x) = y$ équivaut à $10^y = x$
- Les propriétés du log transforment les multiplications en additions : $\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)$
- Les échelles logarithmiques permettent de comparer sur un même axe des valeurs d'ordres de grandeur très différents
- La fonction log est croissante et définie uniquement pour les nombres strictement positifs
- Les décibels et le pH sont des applications concrètes du logarithme en physique et chimie
- Pour trouver un exposant inconnu : $a^x = b \iff x = \frac{\log(b)}{\log(a)}$
L'essentiel
Le logarithme décimal transforme les très grands ou très petits nombres en nombres ordinaires, ce qui rend les calculs et comparaisons possibles dans des domaines comme l'acoustique, la chimie et la sismologie.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Le niveau sonore $L$ (en dB) d'un son d'intensité $I$ (en W/m²) est donné par $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ avec $I_0 = 10^{-12}$ W/m². 1) Calcule le niveau sonore d'un son d'intensité $I = 10^{-5}$ W/m². 2) Quel est le niveau sonore si cette intensité est multipliée par 2 ? (arrondir à l'unité)
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Le pH d'une solution est 3. Calcule la concentration en ions hydrogène $[H^+]$ sachant que $pH = -\log([H^+])$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →