Intégration en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de intégration pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Primitives des fonctions de référence
- Intégrale d'une fonction continue sur un segment
- Théorème fondamental : lien entre primitive et intégrale
- Propriétés de l'intégrale : linéarité et relation de Chasles
- Positivité de l'intégrale et comparaison
- Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
- Aire entre une courbe et l'axe des abscisses
- Aire entre deux courbes
Ce que tu vas réviser
- Primitives des fonctions de référence
- Intégrale d'une fonction continue sur [a,b]
- Théorème fondamental : lien primitive-intégrale
- Propriétés de l'intégrale : linéarité, relation de Chasles
- Positivité de l'intégrale et comparaison
- Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
- Calcul d'aire entre une courbe et l'axe des abscisses
- Calcul d'aire entre deux courbes
Primitives des fonctions de référence
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$ : c'est l'opération inverse de la dérivation. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, et deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.
Exemple
Si tu connais la vitesse $v(t)$ d'une voiture à chaque instant, sa position $x(t)$ sur la route est une primitive de la vitesse, car $x'(t) = v(t)$.
À retenir : À connaître : $x^n$ ($n$ entier relatif, $n \neq -1$) a pour primitive $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (sur un intervalle ne contenant pas 0 si $n < 0$) ; $\frac{1}{x}$ a pour primitive $\ln(x)$ sur $]0;+\infty[$ ; $e^x$ a pour primitive $e^x$ ; $\sin(x)$ a pour primitive $-\cos(x)$ ; $\cos(x)$ a pour primitive $\sin(x)$ ; $u' e^u$ a pour primitive $e^u$.
Intégrale d'une fonction continue sur un segment
Si $f$ est continue et positive sur $[a, b]$, l'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$. Pour $f$ continue de signe quelconque, on pose $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, où $F$ est une primitive de $f$.
Exemple
Si $P(t)$ est la puissance électrique consommée (en watts) à l'instant $t$ (en heures), $\int_0^{24} P(t)\,dt$ est l'énergie consommée sur la journée, en wattheures.
À retenir : $\int_a^b f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)$, quelle que soit la primitive $F$ de $f$ choisie.
Théorème fondamental : lien entre primitive et intégrale
Si $f$ est continue et positive sur $[a, b]$, la fonction $F_a$ définie sur $[a, b]$ par $F_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$. On en déduit que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Exemple
Pour $f(t) = 2t$ sur $[0, 3]$ : $F_0(x) = \int_0^x 2t\,dt$ est l'aire d'un triangle de base $x$ et de hauteur $2x$, donc $F_0(x) = x^2$. On vérifie que $(x^2)' = 2x$ et que $F_0(0) = 0$.
À retenir : $F_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ vérifie $F_a' = f$ et $F_a(a) = 0$ : calculer une intégrale revient à trouver une primitive.
Propriétés de l'intégrale : linéarité et relation de Chasles
Pour $f$ et $g$ continues et $k$ réel : $\int_a^b (f(x) + g(x))\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$ et $\int_a^b k f(x)\,dx = k \int_a^b f(x)\,dx$. Relation de Chasles : $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$ pour tous réels $a$, $b$, $c$ d'un intervalle où $f$ est continue.
Exemple
Pour calculer la distance totale parcourue en trois heures, tu peux additionner les distances de chaque heure séparément.
À retenir : L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales, on peut sortir les constantes multiplicatives, et on peut découper une intégrale en un point intermédiaire.
Positivité de l'intégrale et comparaison
Si $a \leq b$ et $f \geq 0$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$. Si $a \leq b$ et $f \leq g$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$ : on peut intégrer une inégalité.
Exemple
Sur $[0, 1]$, on a $x^2 \leq x$, donc $\int_0^1 x^2\,dx \leq \int_0^1 x\,dx$, c'est-à-dire $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2}$.
À retenir : On intègre une inégalité seulement si les bornes sont dans le bon ordre ($a \leq b$) ; cela permet de majorer ou de minorer une intégrale.
Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
La valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur $[a, b]$ (avec $a < b$) est le nombre $\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$. Si $f$ est positive, c'est la hauteur du rectangle de base $[a, b]$ qui a la même aire que le domaine sous la courbe.
Exemple
Si la température (en °C) entre 0 h et 12 h est $T(t) = 10 + t$, la température moyenne est $\frac{1}{12}\int_0^{12} (10 + t)\,dt = \frac{1}{12}(120 + 72) = 16$ °C.
À retenir : $\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$.
Aire entre une courbe et l'axe des abscisses
Si $f$ est continue et positive sur $[a, b]$, l'aire entre sa courbe et l'axe des abscisses vaut $\int_a^b f(x)\,dx$ unités d'aire. Si $f$ est négative sur $[a, b]$, l'intégrale est négative et l'aire vaut $-\int_a^b f(x)\,dx$. Si $f$ change de signe, on découpe l'intervalle avec la relation de Chasles.
Exemple
Sur $[-1, 1]$, $\int_{-1}^{1} x\,dx = 0$, alors que l'aire entre la droite d'équation $y = x$ et l'axe des abscisses vaut $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ unité d'aire.
À retenir : Une intégrale est une aire « algébrique » : les parties au-dessus de l'axe comptent positivement, celles en dessous négativement.
Aire entre deux courbes
Si $f$ et $g$ sont continues et $f \geq g$ sur $[a, b]$, l'aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ vaut $\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ unités d'aire.
Exemple
Entre les courbes d'équations $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0, 1]$ (où $x \geq x^2$) : $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ unité d'aire.
À retenir : Aire entre deux courbes = intégrale de (fonction du dessus − fonction du dessous), après avoir étudié la position relative des courbes.
Les points clés
- Une primitive $F$ de $f$ vérifie $F' = f$ ; sur un intervalle, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante
- Le théorème fondamental : $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ où $F$ est une primitive de $f$
- La linéarité et la relation de Chasles permettent de découper et de simplifier les calculs d'intégrales
- Si $a \leq b$ et $f \leq g$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$
- La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$
- L'intégrale représente une aire algébrique ; l'aire entre deux courbes est l'intégrale de la différence (dessus − dessous)
L'essentiel
Pour calculer $\int_a^b f(x)\,dx$, on cherche une primitive $F$ de $f$ (la primitivation est l'opération inverse de la dérivation), puis on calcule $F(b) - F(a)$ ; pour une fonction positive, l'intégrale est une aire.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.