Intégration en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de intégration pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Primitives des fonctions de référence
- Intégrale d'une fonction continue sur [a,b]
- Théorème fondamental : lien primitive-intégrale
- Propriétés de l'intégrale : linéarité, relation de Chasles
- Positivité de l'intégrale et comparaison
- Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
- Calcul d'aire entre une courbe et l'axe des abscisses
- Calcul d'aire entre deux courbes
Primitives des fonctions de référence
Une primitive d'une fonction f est une fonction F dont la dérivée est f. C'est l'opération inverse de la dérivation. Chaque fonction a une infinité de primitives qui diffèrent d'une constante.
Exemple
Si tu connais la vitesse d'une voiture à chaque instant (fonction f), trouver la distance parcourue revient à chercher une primitive de cette vitesse.
À retenir : Les primitives des fonctions de référence doivent être mémorisées : $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ pour $x^n$, $F(x) = e^x$ pour $e^x$, $F(x) = \ln|x|$ pour $\frac{1}{x}$.
Intégrale d'une fonction sur un intervalle
L'intégrale d'une fonction f entre deux bornes a et b mesure l'aire algébrique entre la courbe et l'axe des abscisses. Elle se note $\int_a^b f(x) dx$ et se calcule avec une primitive : $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.
Exemple
Pour calculer la consommation totale d'électricité sur une journée, on intègre la fonction puissance (en watts) sur l'intervalle de 24 heures.
À retenir : Pour calculer une intégrale, trouve une primitive F de f, puis applique la formule : $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.
Propriétés de linéarité des intégrales
L'intégrale respecte l'addition et la multiplication par une constante : $\int_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$ et $\int_a^b k \cdot f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$.
Exemple
Si tu dois calculer l'aire sous la courbe d'une somme de deux fonctions, tu peux calculer chaque aire séparément puis les additionner.
À retenir : L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales, et on peut sortir les constantes multiplicatives.
Relation de Chasles pour les intégrales
Cette propriété permet de découper une intégrale en plusieurs morceaux : $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ pour tout c entre a et b.
Exemple
Pour calculer la distance totale parcourue en trois heures, tu peux additionner les distances de chaque heure séparément.
À retenir : On peut toujours découper une intégrale à un point intermédiaire et additionner les deux parties.
Interprétation géométrique de l'intégrale
L'intégrale $\int_a^b f(x) dx$ représente l'aire entre la courbe de f et l'axe des x sur l'intervalle [a, b]. Si f est négative, l'aire est comptée négativement.
Exemple
Sur un graphique montrant les profits et pertes d'une entreprise, l'intégrale mesure le bénéfice net total sur une période.
À retenir : L'intégrale mesure une aire algébrique : positive au-dessus de l'axe, négative en dessous.
Les points clés
- Une primitive F de f satisfait F'(x) = f(x) et n'est définie qu'à une constante près
- Le théorème fondamental : $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ où F est une primitive de f
- Les propriétés de linéarité permettent de simplifier les calculs d'intégrales complexes
- La relation de Chasles permet de découper une intégrale en plusieurs parties
- L'intégrale représente une aire algébrique (positive ou négative selon le signe de f)
L'essentiel
L'intégrale est l'inverse de la dérivation : pour calculer $\int_a^b f(x) dx$, trouve une primitive F de f, puis calcule $F(b) - F(a)$.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.