Suites en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de suites pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Raisonnement par récurrence : principe et démonstrations
- Suite majorée, minorée, bornée
- Limite finie d'une suite : convergence
- Limite infinie d'une suite : divergence
- Théorèmes de comparaison et d'encadrement (gendarmes)
- Théorème de la limite monotone (suite croissante majorée converge)
- Opérations sur les limites de suites
- Suites adjacentes
Raisonnement par récurrence
Méthode de démonstration qui prouve qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels. On montre d'abord qu'elle est vraie au rang initial, puis on prouve que si elle est vraie à un rang, elle l'est au suivant.
Exemple
Comme des dominos : si le premier tombe et que chaque domino qui tombe fait tomber le suivant, alors tous les dominos tombent.
À retenir : Récurrence = initialisation + hérédité pour prouver une propriété pour tous les entiers.
Suite majorée, minorée, bornée
Une suite est majorée si tous ses termes restent sous un plafond (un nombre M). Elle est minorée si tous ses termes restent au-dessus d'un plancher (un nombre m). Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Exemple
La température d'une piscine : elle ne descend jamais sous 15°C (minorée) et ne dépasse jamais 30°C (majorée), donc elle est bornée.
À retenir : Majorée = plafond, minorée = plancher, bornée = les deux à la fois.
Limite finie d'une suite : convergence
Une suite converge vers une limite L si ses termes se rapprochent de plus en plus de L. Cela signifie que pour n très grand, $u_n$ est très proche de L.
Exemple
Un ballon qu'on laisse rebondir : la hauteur des rebonds diminue et se rapproche de 0. La suite des hauteurs converge vers 0.
À retenir : Convergence = les termes se rapprochent d'une valeur fixe quand n devient très grand.
Limite infinie d'une suite : divergence
Une suite diverge vers $+\infty$ si ses termes deviennent de plus en plus grands sans limite. Elle diverge vers $-\infty$ si ses termes deviennent de plus en plus petits (négatifs) sans limite.
Exemple
Le nombre de followers sur les réseaux sociaux : il augmente sans jamais s'arrêter, la suite diverge vers $+\infty$.
À retenir : Divergence = les termes s'éloignent indéfiniment, pas de limite finie.
Théorèmes de comparaison et d'encadrement
Si une suite est encadrée par deux autres suites qui convergent vers la même limite, alors la suite du milieu converge aussi vers cette limite (théorème des gendarmes). Si une suite est plus grande qu'une suite divergente, elle diverge aussi.
Exemple
Deux policiers (gendarmes) qui encadrent un suspect : s'ils avancent ensemble vers la porte, le suspect entre eux avance aussi vers la porte.
À retenir : Gendarmes : si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $v_n, w_n \to L$, alors $u_n \to L$.
Théorème de la limite monotone
Si une suite est croissante et majorée, elle converge vers une limite. Si une suite est décroissante et minorée, elle converge aussi. Une suite monotone non bornée diverge.
Exemple
Un compte d'épargne qui augmente chaque mois mais ne peut pas dépasser votre objectif : il finira par se stabiliser à une valeur limite.
À retenir : Suite croissante majorée ou décroissante minorée = elle converge obligatoirement.
Opérations sur les limites de suites
Quand deux suites convergent, on peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser leurs limites pour trouver la limite de la suite résultante. Il existe des cas particuliers appelés formes indéterminées.
Exemple
Si le prix d'un produit tend vers 5 euros et la quantité vendue tend vers 100, le chiffre d'affaires tend vers 500 euros.
À retenir : Limite d'une somme = somme des limites (sauf formes indéterminées comme $\infty - \infty$).
Suites adjacentes
Deux suites sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et leur différence tend vers 0. Elles convergent toujours vers la même limite.
Exemple
Deux escaliers qui se rapprochent : l'un monte, l'autre descend, et ils finissent par se rencontrer au même étage.
À retenir : Suites adjacentes = une monte, une descend, l'écart diminue, elles convergent vers la même limite.
Les points clés
- La récurrence prouve une propriété pour tous les entiers en deux étapes : initialisation et hérédité.
- Une suite bornée n'est pas forcément convergente, mais une suite convergente est toujours bornée.
- Le théorème des gendarmes permet de trouver la limite d'une suite difficile en l'encadrant par deux suites plus simples.
- Une suite croissante majorée converge obligatoirement : c'est le théorème fondamental de ce chapitre.
- Les formes indéterminées ($\infty - \infty$, $0 \times \infty$, etc.) nécessitent une étude plus fine.
L'essentiel
Une suite croissante et majorée converge toujours vers une limite : c'est le théorème clé qui relie monotonie, bornage et convergence.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{2}$ pour tout $n \geq 0$. Montrez par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \geq 0$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Montrez que la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$ converge et trouvez sa limite.
Corrige cet exercice avec le tuteur →