Suites en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de suites pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Raisonnement par récurrence : principe et démonstrations
- Suite majorée, minorée, bornée
- Limite finie d'une suite : convergence
- Limite infinie d'une suite : divergence vers +∞ ou −∞
- Théorèmes de comparaison et d'encadrement (gendarmes)
- Opérations sur les limites de suites
- Comportement de la suite géométrique (qⁿ) ; inégalité de Bernoulli
- Théorème admis : toute suite croissante majorée converge
Raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence prouve qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n \geq n_0$. Initialisation : on vérifie que $P(n_0)$ est vraie. Hérédité : on suppose que $P(n)$ est vraie pour un entier $n \geq n_0$ quelconque (hypothèse de récurrence) et on démontre qu'alors $P(n+1)$ est vraie. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$.
Exemple
Comme des dominos : si le premier tombe et si chaque domino qui tombe fait tomber le suivant, alors tous tombent. Exemple : pour tout $n \geq 1$, $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$. Initialisation : $1 = 1^2$. Hérédité : si $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$, alors en ajoutant le terme suivant $2n + 1$ on obtient $n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$.
À retenir : Initialisation, hérédité, conclusion : les deux premières étapes sont indispensables.
Suite majorée, minorée, bornée
La suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ ; minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$ ; bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Exemple
La suite définie par $u_n = \frac{1}{n + 1}$ vérifie $0 < u_n \leq 1$ pour tout $n$ : elle est minorée par 0 et majorée par 1, donc bornée. La suite $u_n = n^2$ est minorée par 0 mais n'est pas majorée.
À retenir : Majorée par $M$ : $u_n \leq M$ pour tout $n$. Minorée par $m$ : $u_n \geq m$ pour tout $n$. Bornée : les deux.
Limite finie d'une suite : convergence
La suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ ; si elle existe, cette limite est unique. Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
Exemple
$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$. Un ballon lâché de 2 m remonte à chaque rebond à 80 % de sa hauteur précédente : $h_n = 2 \times 0{,}8^n$, et la suite des hauteurs converge vers 0.
À retenir : Convergence vers $\ell$ : à partir d'un certain rang, tous les termes sont aussi proches de $\ell$ qu'on le souhaite.
Limite infinie d'une suite
La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle $[A ; +\infty[$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. Elle tend vers $-\infty$ si tout intervalle $]-\infty ; A]$ contient tous les termes à partir d'un certain rang. Une suite divergente peut tendre vers $+\infty$, vers $-\infty$, ou n'avoir aucune limite.
Exemple
$u_n = n^2$ et $u_n = \sqrt{n}$ tendent vers $+\infty$. La suite $u_n = (-1)^n$ n'a pas de limite : elle prend alternativement les valeurs 1 et $-1$. Attention : une suite croissante ne tend pas forcément vers $+\infty$ ; $u_n = 1 - \frac{1}{n + 1}$ est croissante et converge vers 1.
À retenir : Tendre vers $+\infty$ : les termes finissent par dépasser définitivement n'importe quel seuil $A$.
Théorèmes de comparaison et d'encadrement
Comparaison : si, à partir d'un certain rang, $u_n \geq v_n$ et si $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$ ; si, à partir d'un certain rang, $u_n \leq v_n$ et si $\lim v_n = -\infty$, alors $\lim u_n = -\infty$. Encadrement (théorème « des gendarmes ») : si, à partir d'un certain rang, $v_n \leq u_n \leq w_n$ et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.
Exemple
Pour $n \geq 1$, $-1 \leq (-1)^n \leq 1$, donc $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$ ; les deux suites qui encadrent tendent vers 0, donc $\lim \frac{(-1)^n}{n} = 0$. Autre exemple : $n + \sin(n) \geq n - 1$ et $\lim (n - 1) = +\infty$, donc $\lim (n + \sin(n)) = +\infty$.
À retenir : Gendarmes : $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = \ell$ donnent $\lim u_n = \ell$.
Opérations sur les limites
Si deux suites ont une limite (finie ou infinie), on obtient en général la limite de leur somme, de leur produit ou de leur quotient à partir de leurs limites. Quatre cas ne permettent pas de conclure directement : ce sont les formes indéterminées « $+\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\frac{\infty}{\infty}$ » et « $\frac{0}{0}$ ». On lève alors l'indétermination en transformant l'écriture (factorisation par le terme dominant, par exemple).
Exemple
$\lim (n^2 + 3n) = +\infty$ (somme de deux suites qui tendent vers $+\infty$). Pour $u_n = n^2 - 3n$, on a une forme « $+\infty - \infty$ » ; on factorise : $u_n = n(n - 3)$, produit de deux suites qui tendent vers $+\infty$, donc $\lim u_n = +\infty$.
À retenir : Devant une forme indéterminée, on factorise ou on transforme l'écriture avant de conclure.
Suite géométrique $(q^n)$ et inégalité de Bernoulli
Inégalité de Bernoulli : pour tout réel $a > 0$ et tout entier naturel $n$, $(1 + a)^n \geq 1 + na$. Elle se démontre par récurrence : si $(1 + a)^n \geq 1 + na$, alors, en multipliant par $1 + a > 0$, $(1 + a)^{n+1} \geq (1 + na)(1 + a) = 1 + (n + 1)a + na^2 \geq 1 + (n + 1)a$. On en déduit le comportement de $(q^n)$ : si $q > 1$, on écrit $q = 1 + a$ avec $a > 0$, donc $q^n \geq 1 + na$, qui tend vers $+\infty$ : par comparaison, $\lim q^n = +\infty$. Si $q = 1$, la suite est constante égale à 1. Si $-1 < q < 1$, $\lim q^n = 0$. Si $q \leq -1$, la suite $(q^n)$ n'a pas de limite.
Exemple
$\lim 1{,}05^n = +\infty$ ; $\lim 0{,}8^n = 0$ ; $\lim (-0{,}5)^n = 0$ ; la suite $((-2)^n)$ n'a pas de limite (ses termes changent de signe et leur valeur absolue grandit).
À retenir : $q > 1$ : $q^n \to +\infty$ ; $-1 < q < 1$ : $q^n \to 0$ ; $q = 1$ : suite constante ; $q \leq -1$ : pas de limite.
Théorème admis : suite croissante majorée
Théorème (admis) : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Ce théorème prouve l'existence d'une limite, sans en donner la valeur ; si la suite croissante converge vers $\ell$, alors $u_n \leq \ell$ pour tout $n$. On démontre aussi qu'une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.
Exemple
Un compte d'épargne dont le solde augmente chaque mois sans jamais dépasser 1 000 euros : la suite des soldes converge, vers une limite inférieure ou égale à 1 000. L'exercice 1 applique ce théorème.
À retenir : Croissante et majorée ⇒ convergente (existence de la limite seulement).
Les points clés
- La récurrence se rédige en trois temps : initialisation, hérédité, conclusion
- Convergence vers $\ell$ : tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes à partir d'un certain rang
- Comparaison et gendarmes permettent d'obtenir une limite en comparant à des suites connues
- Formes indéterminées : $+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$
- $\lim q^n = +\infty$ si $q > 1$, $= 0$ si $-1 < q < 1$ ; l'inégalité de Bernoulli $(1 + a)^n \geq 1 + na$ le justifie
- Toute suite croissante majorée converge (théorème admis)
L'essentiel
Pour étudier une suite, on combine la récurrence (pour prouver des propriétés vraies à tout rang), les théorèmes de comparaison et d'opérations (pour calculer des limites) et le théorème des suites monotones bornées (pour prouver qu'une limite existe).
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{2}$ pour tout $n \geq 0$. a) Montrer par récurrence que $u_n < u_{n+1} < 2$ pour tout $n \geq 0$. b) En déduire que $(u_n)$ converge.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Déterminer la limite de la suite définie pour tout $n \geq 0$ par $u_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →