Raisonnement par récurrence en Terminale
Raisonnement par récurrence, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Suites », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Raisonnement par récurrence : le cours
Le raisonnement par récurrence prouve qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n \geq n_0$. Initialisation : on vérifie que $P(n_0)$ est vraie. Hérédité : on suppose que $P(n)$ est vraie pour un entier $n \geq n_0$ quelconque (hypothèse de récurrence) et on démontre qu'alors $P(n+1)$ est vraie. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$.
Exemple
Comme des dominos : si le premier tombe et si chaque domino qui tombe fait tomber le suivant, alors tous tombent. Exemple : pour tout $n \geq 1$, $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$. Initialisation : $1 = 1^2$. Hérédité : si $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$, alors en ajoutant le terme suivant $2n + 1$ on obtient $n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$.
À retenir
Initialisation, hérédité, conclusion : les deux premières étapes sont indispensables.
S'entraîner sur raisonnement par récurrence
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{2}$ pour tout $n \geq 0$. a) Montrer par récurrence que $u_n < u_{n+1} < 2$ pour tout $n \geq 0$. b) En déduire que $(u_n)$ converge.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Déterminer la limite de la suite définie pour tout $n \geq 0$ par $u_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Suites (Mathématiques Terminale).