Limite finie d'une suite : convergence en Terminale
Limite finie d'une suite : convergence, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Suites », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Limite finie d'une suite : convergence : le cours
La suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ ; si elle existe, cette limite est unique. Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
Exemple
$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$. Un ballon lâché de 2 m remonte à chaque rebond à 80 % de sa hauteur précédente : $h_n = 2 \times 0{,}8^n$, et la suite des hauteurs converge vers 0.
À retenir
Convergence vers $\ell$ : à partir d'un certain rang, tous les termes sont aussi proches de $\ell$ qu'on le souhaite.
S'entraîner sur limite finie d'une suite : convergence
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{2}$ pour tout $n \geq 0$. a) Montrer par récurrence que $u_n < u_{n+1} < 2$ pour tout $n \geq 0$. b) En déduire que $(u_n)$ converge.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Déterminer la limite de la suite définie pour tout $n \geq 0$ par $u_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Suites (Mathématiques Terminale).