Théorèmes de comparaison et d'encadrement en Terminale
Théorèmes de comparaison et d'encadrement, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Suites », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Théorèmes de comparaison et d'encadrement : le cours
Comparaison : si, à partir d'un certain rang, $u_n \geq v_n$ et si $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$ ; si, à partir d'un certain rang, $u_n \leq v_n$ et si $\lim v_n = -\infty$, alors $\lim u_n = -\infty$. Encadrement (théorème « des gendarmes ») : si, à partir d'un certain rang, $v_n \leq u_n \leq w_n$ et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.
Exemple
Pour $n \geq 1$, $-1 \leq (-1)^n \leq 1$, donc $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$ ; les deux suites qui encadrent tendent vers 0, donc $\lim \frac{(-1)^n}{n} = 0$. Autre exemple : $n + \sin(n) \geq n - 1$ et $\lim (n - 1) = +\infty$, donc $\lim (n + \sin(n)) = +\infty$.
À retenir
Gendarmes : $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = \ell$ donnent $\lim u_n = \ell$.
S'entraîner sur théorèmes de comparaison et d'encadrement
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{2}$ pour tout $n \geq 0$. a) Montrer par récurrence que $u_n < u_{n+1} < 2$ pour tout $n \geq 0$. b) En déduire que $(u_n)$ converge.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Déterminer la limite de la suite définie pour tout $n \geq 0$ par $u_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Suites (Mathématiques Terminale).