Probabilités et loi binomiale en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de probabilités et loi binomiale pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Épreuve de Bernoulli et ses paramètres
- Succession d'épreuves indépendantes
- Loi binomiale B(n,p)
- Calcul de P(X=k) avec coefficient binomial
- Espérance et variance de la loi binomiale
- Représentation graphique de la loi binomiale
- Intervalle de fluctuation asymptotique
- Prise de décision avec intervalle de fluctuation
Ce que tu vas réviser
- Succession d'épreuves indépendantes (schéma de Bernoulli)
- Épreuve de Bernoulli : succès, échec, paramètre p
- Loi binomiale B(n,p) : définition et paramètres
- Espérance et variance de la loi binomiale
- Calcul de P(X=k) avec le coefficient binomial
- Représentation graphique de la loi binomiale
- Intervalle de fluctuation asymptotique
- Prise de décision à l'aide d'un intervalle de fluctuation
Épreuve de Bernoulli et ses paramètres
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux résultats possibles : le succès (probabilité p) ou l'échec (probabilité 1-p). Le paramètre p est la probabilité de succès, toujours compris entre 0 et 1.
Exemple
Lancer une pièce de monnaie : succès = obtenir face (p=0,5), échec = obtenir pile (1-p=0,5). Ou tirer une boule rouge dans une urne : succès = rouge, échec = non rouge.
À retenir : Une épreuve de Bernoulli a exactement deux issues et un seul paramètre p qui définit la probabilité du succès.
Succession d'épreuves indépendantes
Quand on répète plusieurs fois une épreuve de Bernoulli dans les mêmes conditions, et que le résultat d'une épreuve n'influence pas les autres, on parle d'épreuves indépendantes. C'est un schéma de Bernoulli.
Exemple
Lancer 10 fois un dé et compter le nombre de 6 obtenus. Chaque lancer est indépendant des autres : obtenir un 6 au premier lancer ne change pas la probabilité d'obtenir un 6 au deuxième.
À retenir : Dans un schéma de Bernoulli, les épreuves sont répétées n fois de manière indépendante avec la même probabilité p à chaque fois.
Loi binomiale B(n,p) : définition
La loi binomiale B(n,p) décrit le nombre de succès obtenus après n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune ayant une probabilité p de succès. Elle est définie par deux paramètres : n (nombre d'épreuves) et p (probabilité de succès).
Exemple
On teste 20 ampoules électriques, chacune ayant 95% de chance de fonctionner. Le nombre d'ampoules qui fonctionnent suit une loi binomiale B(20 ; 0,95).
À retenir : La loi binomiale B(n,p) compte le nombre de succès dans n épreuves indépendantes de probabilité p.
Calcul de P(X=k) avec coefficient binomial
Pour calculer la probabilité d'obtenir exactement k succès sur n épreuves, on utilise la formule : $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$. Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ compte le nombre de façons d'obtenir k succès parmi n épreuves.
Exemple
Probabilité d'obtenir exactement 3 faces en 5 lancers de pièce : $P(X=3) = \binom{5}{3} \times 0,5^3 \times 0,5^2 = 10 \times 0,03125 = 0,3125$.
À retenir : La formule $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ donne la probabilité d'exactement k succès.
Espérance et variance de la loi binomiale
L'espérance E(X) = np représente le nombre moyen de succès attendus. La variance Var(X) = np(1-p) mesure la dispersion des résultats autour de cette moyenne. L'écart-type est $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$.
Exemple
Pour 100 lancers d'une pièce (p=0,5) : espérance = 100×0,5 = 50 faces attendues, variance = 100×0,5×0,5 = 25, écart-type = 5.
À retenir : E(X) = np et Var(X) = np(1-p) permettent de prévoir le comportement moyen de la loi binomiale.
Représentation graphique de la loi binomiale
On représente la loi binomiale par un diagramme en bâtons où chaque valeur k (de 0 à n) a une hauteur égale à P(X=k). La forme du graphique dépend des paramètres n et p : symétrique si p=0,5, asymétrique sinon.
Exemple
Pour B(10 ; 0,5), le graphique est symétrique autour de k=5. Pour B(10 ; 0,2), le graphique penche vers la gauche car les petites valeurs de k sont plus probables.
À retenir : Le diagramme en bâtons de la loi binomiale visualise comment les probabilités se distribuent selon le nombre de succès.
Intervalle de fluctuation asymptotique
L'intervalle de fluctuation asymptotique est un intervalle qui contient la fréquence observée avec une probabilité d'environ 95%. Pour une proportion p et un échantillon de taille n, il est défini par : $\left[p - 1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} ; p + 1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right]$ (valable si n≥30, np≥5 et n(1-p)≥5).
Exemple
Un sondage politique : si p=0,52 (52% de intentions de vote) et n=1000 électeurs, l'intervalle est environ [0,49 ; 0,55]. On s'attend à ce que la vraie proportion soit dans cet intervalle avec 95% de confiance.
À retenir : L'intervalle de fluctuation asymptotique prédit où se situera la fréquence observée avec 95% de probabilité.
Prise de décision avec intervalle de fluctuation
On utilise l'intervalle de fluctuation pour tester une hypothèse : si la fréquence observée est dans l'intervalle, on accepte l'hypothèse (le résultat est normal). Si elle est en dehors, on rejette l'hypothèse (le résultat est anormal, il y a peut-être une erreur ou une manipulation).
Exemple
Un fabricant affirme que 98% de ses produits sont conformes. On teste 500 produits et en trouve 475 conformes (fréquence = 0,95). L'intervalle de fluctuation à 95% est environ [0,965 ; 0,995]. Comme 0,95 est en dehors, on rejette l'affirmation du fabricant.
À retenir : Si la fréquence observée sort de l'intervalle de fluctuation, on rejette l'hypothèse initiale avec 95% de confiance.
Les points clés
- Une loi binomiale B(n,p) compte les succès dans n épreuves indépendantes de probabilité p
- La formule P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k) calcule la probabilité d'exactement k succès
- L'espérance E(X)=np et la variance Var(X)=np(1-p) décrivent le comportement moyen
- L'intervalle de fluctuation asymptotique prédit où se situera la fréquence observée
- On rejette une hypothèse si la fréquence observée sort de l'intervalle de fluctuation
L'essentiel
La loi binomiale B(n,p) est l'outil fondamental pour modéliser n répétitions indépendantes d'une même expérience aléatoire à deux issues.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un joueur de tennis réussit 80% de ses premiers services. Il en fait 15 lors d'un match. Quelle est la probabilité qu'il en réussisse exactement 12 ? Calculez aussi l'espérance et l'écart-type du nombre de services réussis.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un site de e-commerce affirme que 95% des commandes sont livrées à temps. On vérifie 400 commandes et en trouve 370 livrées à temps. Peut-on accepter l'affirmation du site au seuil de 95% ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →