Loi binomiale et schéma de Bernoulli en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de loi binomiale et schéma de bernoulli pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Succession d'épreuves indépendantes (schéma de Bernoulli)
- Épreuve de Bernoulli : succès, échec, paramètre p
- Loi binomiale B(n,p) : définition et paramètres
- Espérance et variance de la loi binomiale
- Calcul de P(X=k) avec le coefficient binomial
- Représentation graphique de la loi binomiale
Épreuve de Bernoulli et ses paramètres
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire avec exactement deux résultats possibles : le succès ou l'échec. Le paramètre p représente la probabilité du succès.
Exemple
Tu lances une pièce de monnaie : face = succès (p = 0,5), pile = échec (1-p = 0,5). Ou tu tires au but au football : but = succès, pas de but = échec.
À retenir : Une épreuve de Bernoulli a deux issues, succès avec probabilité p, échec avec probabilité 1-p.
Succession d'épreuves indépendantes
C'est répéter plusieurs fois une épreuve de Bernoulli dans les mêmes conditions, où chaque résultat ne dépend pas des résultats précédents.
Exemple
Tu lances un dé 10 fois de suite pour obtenir un 6 : chaque lancer est indépendant du précédent. Ou tu fais 5 tentatives à un jeu vidéo où tu as 30 % de chance de gagner chaque partie.
À retenir : Les épreuves sont indépendantes si le résultat d'une n'influence pas les autres.
Loi binomiale B(n,p) : définition
La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus après n répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p. On la note B(n,p).
Exemple
Tu envoies 8 SMS à des amis avec 70 % de chance d'avoir une réponse par SMS. Le nombre de réponses suit une loi binomiale B(8 ; 0,7).
À retenir : La loi binomiale B(n,p) compte le nombre de succès en n essais indépendants.
Coefficient binomial et calcul de P(X=k)
Pour calculer la probabilité d'obtenir exactement k succès en n épreuves, on utilise la formule avec le coefficient binomial : $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ où $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Exemple
Au basket, tu as 60 % de réussite aux tirs libres. La probabilité de réussir exactement 3 tirs sur 5 tentatives est : $P(X=3) = \binom{5}{3} (0{,}6)^3 (0{,}4)^2 = 10 × 0{,}216 × 0{,}16 = 0{,}3456$
À retenir : Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ compte les façons de choisir les positions des k succès parmi les n essais (nombre de chemins de l'arbre comportant k succès).
Espérance et variance de la loi binomiale
L'espérance (moyenne) d'une loi binomiale B(n,p) est $E(X) = n × p$. La variance mesure la dispersion et vaut $V(X) = n × p × (1-p)$. L'écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{n × p × (1-p)}$
Exemple
Tu joues 100 fois à un jeu où tu gagnes avec 25 % de chance. En moyenne, tu gagneras $E(X) = 100 × 0{,}25 = 25$ fois. La variance est $V(X) = 100 × 0{,}25 × 0{,}75 = 18{,}75$ et l'écart-type $\sigma = \sqrt{18{,}75} ≈ 4{,}33$.
À retenir : Pour B(n,p) : espérance = $np$, variance = $np(1-p)$, écart-type = $\sqrt{np(1-p)}$.
Représentation graphique de la loi binomiale
On représente une loi binomiale par un diagramme en bâtons où l'axe horizontal montre le nombre de succès k et l'axe vertical la probabilité P(X=k). La forme change selon les paramètres n et p.
Exemple
Pour B(5 ; 0,5), tu traces les probabilités pour k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Le diagramme est symétrique car p = 0,5. Pour B(5 ; 0,3), le diagramme penche vers la gauche car les succès sont moins probables.
À retenir : Le diagramme en bâtons de la loi binomiale aide à visualiser où se concentrent les succès les plus probables.
Les points clés
- Une épreuve de Bernoulli a exactement 2 résultats : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1-p)
- La loi binomiale B(n,p) compte le nombre de succès en n répétitions indépendantes
- La probabilité d'obtenir k succès est : $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
- L'espérance est $E(X) = np$ et la variance est $V(X) = np(1-p)$
- Le coefficient binomial $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ compte les combinaisons, c'est-à-dire les parties à k éléments d'un ensemble à n éléments (ou les chemins de l'arbre comportant k succès)
L'essentiel
La loi binomiale B(n,p) modélise le nombre de succès en n épreuves indépendantes avec probabilité p chacune, et permet de calculer toute probabilité avec la formule $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une boutique de vêtements accueille 20 clients par jour. Chaque client a 35 % de chance d'acheter un article. On suppose que les clients décident indépendamment les uns des autres. Soit X le nombre de clients qui font un achat. 1) Justifie que X suit une loi binomiale B(n,p) et donne ses paramètres. 2) Calcule P(X=7). 3) Calcule E(X) et V(X). Interprète E(X).
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Tu joues à un jeu en ligne où tu dois réussir 4 défis. Ta probabilité de réussite à chaque défi est 80 %. Les résultats des défis sont indépendants les uns des autres. Soit Y le nombre de défis réussis. 1) Identifie les paramètres de la loi binomiale suivie par Y. 2) Calcule la probabilité de réussir tous les défis : P(Y=4). 3) Calcule la probabilité de réussir au moins 3 défis : P(Y≥3).
Corrige cet exercice avec le tuteur →