Espérance et variance de la loi binomiale en Terminale
Espérance et variance de la loi binomiale, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Loi binomiale et schéma de Bernoulli », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Espérance et variance de la loi binomiale : le cours
L'espérance (moyenne) d'une loi binomiale B(n,p) est $E(X) = n × p$. La variance mesure la dispersion et vaut $V(X) = n × p × (1-p)$. L'écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{n × p × (1-p)}$
Exemple
Tu joues 100 fois à un jeu où tu gagnes avec 25 % de chance. En moyenne, tu gagneras $E(X) = 100 × 0{,}25 = 25$ fois. La variance est $V(X) = 100 × 0{,}25 × 0{,}75 = 18{,}75$ et l'écart-type $\sigma = \sqrt{18{,}75} ≈ 4{,}33$.
À retenir
Pour B(n,p) : espérance = $np$, variance = $np(1-p)$, écart-type = $\sqrt{np(1-p)}$.
S'entraîner sur espérance et variance de la loi binomiale
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Une boutique de vêtements accueille 20 clients par jour. Chaque client a 35 % de chance d'acheter un article. On suppose que les clients décident indépendamment les uns des autres. Soit X le nombre de clients qui font un achat. 1) Justifie que X suit une loi binomiale B(n,p) et donne ses paramètres. 2) Calcule P(X=7). 3) Calcule E(X) et V(X). Interprète E(X).
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Tu joues à un jeu en ligne où tu dois réussir 4 défis. Ta probabilité de réussite à chaque défi est 80 %. Les résultats des défis sont indépendants les uns des autres. Soit Y le nombre de défis réussis. 1) Identifie les paramètres de la loi binomiale suivie par Y. 2) Calcule la probabilité de réussir tous les défis : P(Y=4). 3) Calcule la probabilité de réussir au moins 3 défis : P(Y≥3).
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Loi binomiale et schéma de Bernoulli (Mathématiques Terminale).