Primitives et équations différentielles en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de primitives et équations différentielles pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Primitives des fonctions usuelles
- Primitive et constante d'intégration
- Lien primitive-intégrale (théorème fondamental)
- Équations différentielles y' = ay : solutions Ce^(ax)
- Équations différentielles y' = ay + b : solution générale et particulière
- Problème de Cauchy : unicité de la solution par condition initiale
- Modélisation : croissance, décroissance, refroidissement de Newton
Primitives des fonctions usuelles
Une primitive d'une fonction f est une fonction F dont la dérivée est f. C'est l'opération inverse de la dérivation. Pour chaque fonction usuelle, il existe une formule de primitive à connaître.
Exemple
Si tu connais la vitesse d'une voiture (la dérivée), trouver la distance parcourue revient à chercher une primitive de cette vitesse.
À retenir : Les primitives des fonctions usuelles ($x^n$, $e^x$, $\cos x$, $\sin x$, $\frac{1}{x}$) doivent être mémorisées.
Primitive et constante d'intégration
Si F est une primitive de f, alors toute fonction de la forme $F(x) + C$ (où C est une constante quelconque) est aussi une primitive de f. La constante C représente l'infinité de primitives possibles.
Exemple
Deux voitures qui roulent à la même vitesse mais partent de positions différentes : elles ont la même vitesse (même dérivée) mais des positions différentes (primitives qui diffèrent par une constante).
À retenir : Toute primitive s'écrit $F(x) + C$ où C est une constante arbitraire.
Lien primitive-intégrale (théorème fondamental)
Le théorème fondamental du calcul dit que l'intégrale définie d'une fonction entre deux bornes a et b égale la différence des valeurs d'une primitive aux bornes : $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$.
Exemple
Pour calculer la distance totale parcourue entre 10h et 14h, on utilise l'intégrale de la vitesse sur cet intervalle de temps.
À retenir : $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ où F est une primitive quelconque de f.
Équations différentielles y' = ay
Une équation différentielle de la forme $y' = ay$ (où a est une constante) modélise une croissance ou décroissance exponentielle. Les solutions sont de la forme $y(x) = Ce^{ax}$ où C est une constante.
Exemple
La population d'une bactérie qui double chaque heure suit l'équation $y' = \ln(2) \cdot y$, avec solution $y(t) = Ce^{\ln(2)t}$.
À retenir : Les solutions de $y' = ay$ sont exactement les fonctions $y(x) = Ce^{ax}$.
Équations différentielles y' = ay + b
Une équation différentielle de la forme $y' = ay + b$ combine une croissance/décroissance exponentielle avec un terme constant. La solution générale est $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ (pour $a \neq 0$).
Exemple
Un café qui refroidit dans une pièce suit $y' = -k(y - T_{\text{pièce}})$ où T_pièce est la température constante de la pièce.
À retenir : La solution générale de $y' = ay + b$ est $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.
Problème de Cauchy et unicité
Un problème de Cauchy consiste à résoudre une équation différentielle avec une condition initiale donnée (par exemple $y(0) = y_0$). Cette condition initiale détermine la constante C de manière unique, ce qui garantit une solution unique.
Exemple
Si on sait qu'une bactérie part avec 1000 individus à t=0 et suit $y' = 0.5y$, alors la condition $y(0) = 1000$ détermine complètement l'évolution future.
À retenir : Une condition initiale détermine la constante C et assure l'unicité de la solution.
Modélisation : croissance et décroissance
Les équations différentielles modélisent des phénomènes réels : croissance exponentielle (population, argent placé) avec $y' = ay$ ($a > 0$) ou décroissance exponentielle (radioactivité, oubli) avec $y' = ay$ ($a < 0$).
Exemple
Un placement bancaire à 3% par an suit $y' = 0.03y$. Un produit radioactif avec demi-vie de 10 ans suit $y' = -\frac{\ln(2)}{10}y$.
À retenir : Croissance si $a > 0$, décroissance si $a < 0$ dans l'équation $y' = ay$.
Refroidissement de Newton
La loi de refroidissement de Newton dit que la vitesse de refroidissement d'un objet est proportionnelle à la différence entre sa température et celle de l'environnement : $y' = -k(y - T_{\text{env}})$ où k > 0.
Exemple
Un café à 80°C dans une pièce à 20°C refroidit selon $y' = -k(y - 20)$. Plus la différence est grande, plus le refroidissement est rapide.
À retenir : $y' = -k(y - T_{\text{env}})$ modélise le refroidissement, avec solution $y(t) = T_{\text{env}} + Ce^{-kt}$.
Les points clés
- Une primitive F de f vérifie $F'(x) = f(x)$, et deux primitives diffèrent par une constante.
- Le théorème fondamental relie intégrales et primitives : $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$.
- Les solutions de $y' = ay$ sont $y(x) = Ce^{ax}$, celles de $y' = ay + b$ sont $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.
- Une condition initiale détermine la constante C et assure l'unicité de la solution (problème de Cauchy).
- Les équations différentielles modélisent la réalité : croissance, décroissance, refroidissement.
L'essentiel
Les équations différentielles $y' = ay$ et $y' = ay + b$ ont des solutions exponentielles déterminées par une condition initiale, et elles modélisent des phénomènes réels comme la croissance, la décroissance et le refroidissement.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une population de bactéries suit l'équation $y' = 0.2y$. À t = 0, il y a 500 bactéries. Combien y en aura-t-il à t = 5 ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un objet à 90°C est placé dans une pièce à 20°C. La loi de refroidissement donne $y' = -0.1(y - 20)$. Quelle est la température après 10 minutes ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →