Primitives et équations différentielles en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de primitives et équations différentielles pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Primitives des fonctions usuelles
- Primitive et constante d'intégration
- Lien primitive-intégrale (théorème fondamental)
- Équations différentielles y' = ay : solutions Ce^(ax)
- Équations différentielles y' = ay + b : solution générale et particulière
- Problème de Cauchy : unicité de la solution par condition initiale
- Modélisation : croissance, décroissance, refroidissement de Newton
Primitives des fonctions usuelles
Une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$. C'est l'opération inverse de la dérivation. Pour chaque fonction usuelle, il existe une formule de primitive à connaître.
Exemple
Si tu connais la vitesse d'une voiture (la dérivée), trouver la distance parcourue revient à chercher une primitive de cette vitesse.
À retenir : À connaître (sur un intervalle où la fonction est définie) : $x^n$ a pour primitive $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ($n \neq -1$ ; sur $]0 ; +\infty[$ ou $]-\infty ; 0[$ si $n$ est négatif), $\frac{1}{x}$ a pour primitive $\ln(x)$ sur $]0 ; +\infty[$, $\frac{1}{\sqrt{x}}$ a pour primitive $2\sqrt{x}$ sur $]0 ; +\infty[$, $e^x$ a pour primitive $e^x$, $\cos x$ a pour primitive $\sin x$ et $\sin x$ a pour primitive $-\cos x$.
Primitive et constante d'intégration
Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $x \mapsto F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle : deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
Exemple
Deux voitures qui roulent à la même vitesse mais partent de positions différentes : elles ont la même vitesse (même dérivée) mais des positions différentes (primitives qui diffèrent par une constante).
À retenir : Sur un intervalle, toute primitive de $f$ s'écrit $F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle.
Lien primitive-intégrale (théorème fondamental)
Si $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$ et $b$ et si $F$ est une primitive de $f$, alors l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ vaut : $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$.
Exemple
Pour calculer la distance parcourue entre 10 h et 14 h par un véhicule qui roule toujours dans le même sens, on utilise l'intégrale de la vitesse sur cet intervalle de temps.
À retenir : $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$, où $F$ est une primitive quelconque de $f$ (fonction continue).
Équations différentielles y' = ay
Une équation différentielle de la forme $y' = ay$ (où $a$ est un réel) modélise une croissance ou décroissance exponentielle. Ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$, où $C$ est une constante réelle.
Exemple
La population d'une bactérie qui double chaque heure suit l'équation $y' = \ln(2) \cdot y$, dont les solutions sont $y(t) = Ce^{\ln(2) t} = C \times 2^t$.
À retenir : Les solutions de $y' = ay$ sont exactement les fonctions $y(x) = Ce^{ax}$.
Équations différentielles y' = ay + b
Une équation différentielle de la forme $y' = ay + b$ combine une croissance/décroissance exponentielle avec un terme constant. Pour $a \neq 0$, la fonction constante $-\frac{b}{a}$ est une solution particulière, et les solutions sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax} - \frac{b}{a}$, $C$ réel.
Exemple
Un café qui refroidit dans une pièce suit $y' = -k(y - T_{\text{pièce}})$, où $T_{\text{pièce}}$ est la température constante de la pièce.
À retenir : Pour $a \neq 0$, les solutions de $y' = ay + b$ sont $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.
Problème de Cauchy et unicité
Un problème de Cauchy (le nom n'est pas exigé au programme) consiste à résoudre une équation différentielle avec une condition initiale donnée (par exemple $y(0) = y_0$). Cette condition initiale détermine la constante C de manière unique, ce qui garantit une solution unique.
Exemple
Si une population de bactéries compte 1 000 individus à $t = 0$ et suit $y' = 0{,}5y$, alors la condition $y(0) = 1000$ détermine complètement l'évolution future.
À retenir : Une condition initiale détermine la constante C et assure l'unicité de la solution.
Modélisation : croissance et décroissance
Les équations différentielles modélisent des phénomènes réels : croissance exponentielle (population, argent placé) avec $y' = ay$ ($a > 0$) ou décroissance exponentielle (radioactivité, élimination d'un médicament) avec $y' = ay$ ($a < 0$).
Exemple
Un placement rémunéré en continu au taux de 3 % par an suit $y' = 0{,}03y$. Un produit radioactif avec demi-vie de 10 ans suit $y' = -\frac{\ln(2)}{10}y$.
À retenir : Pour $y' = ay$ avec $C > 0$ : croissance si $a > 0$, décroissance si $a < 0$.
Refroidissement de Newton
La loi de refroidissement de Newton dit que la vitesse de refroidissement d'un objet est proportionnelle à la différence entre sa température et celle de l'environnement : $y' = -k(y - T_{\text{env}})$, où $k > 0$.
Exemple
Un café à 80 °C dans une pièce à 20 °C refroidit selon $y' = -k(y - 20)$. Plus la différence est grande, plus le refroidissement est rapide.
À retenir : $y' = -k(y - T_{\text{env}})$ modélise le refroidissement, avec solution $y(t) = T_{\text{env}} + Ce^{-kt}$.
Les points clés
- Une primitive F de f vérifie $F'(x) = f(x)$, et deux primitives diffèrent par une constante.
- Le théorème fondamental relie intégrales et primitives : $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$.
- Les solutions de $y' = ay$ sont $y(x) = Ce^{ax}$, celles de $y' = ay + b$ sont $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.
- Une condition initiale détermine la constante C et assure l'unicité de la solution (problème de Cauchy).
- Les équations différentielles modélisent la réalité : croissance, décroissance, refroidissement.
L'essentiel
Les équations différentielles $y' = ay$ et $y' = ay + b$ ont des solutions exponentielles déterminées par une condition initiale, et elles modélisent des phénomènes réels comme la croissance, la décroissance et le refroidissement.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une population de bactéries suit l'équation $y' = 0{,}2y$ ($t$ en heures). À $t = 0$, il y a 500 bactéries. Combien y en aura-t-il à $t = 5$ ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un objet à 90 °C est placé dans une pièce à 20 °C. Sa température $y(t)$, $t$ en minutes, vérifie $y' = -0{,}1(y - 20)$. Quelle est la température après 10 minutes ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →