Équations différentielles y' = ay + b en Terminale
Équations différentielles y' = ay + b, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Primitives et équations différentielles », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Équations différentielles y' = ay + b : le cours
Une équation différentielle de la forme $y' = ay + b$ combine une croissance/décroissance exponentielle avec un terme constant. Pour $a \neq 0$, la fonction constante $-\frac{b}{a}$ est une solution particulière, et les solutions sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax} - \frac{b}{a}$, $C$ réel.
Exemple
Un café qui refroidit dans une pièce suit $y' = -k(y - T_{\text{pièce}})$, où $T_{\text{pièce}}$ est la température constante de la pièce.
À retenir
Pour $a \neq 0$, les solutions de $y' = ay + b$ sont $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.
S'entraîner sur équations différentielles y' = ay + b
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Une population de bactéries suit l'équation $y' = 0{,}2y$ ($t$ en heures). À $t = 0$, il y a 500 bactéries. Combien y en aura-t-il à $t = 5$ ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un objet à 90 °C est placé dans une pièce à 20 °C. Sa température $y(t)$, $t$ en minutes, vérifie $y' = -0{,}1(y - 20)$. Quelle est la température après 10 minutes ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Primitives et équations différentielles (Mathématiques Terminale).