Équations différentielles y' = ay en Terminale
Équations différentielles y' = ay, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Primitives et équations différentielles », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Équations différentielles y' = ay : le cours
Une équation différentielle de la forme $y' = ay$ (où $a$ est un réel) modélise une croissance ou décroissance exponentielle. Ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$, où $C$ est une constante réelle.
Exemple
La population d'une bactérie qui double chaque heure suit l'équation $y' = \ln(2) \cdot y$, dont les solutions sont $y(t) = Ce^{\ln(2) t} = C \times 2^t$.
À retenir
Les solutions de $y' = ay$ sont exactement les fonctions $y(x) = Ce^{ax}$.
S'entraîner sur équations différentielles y' = ay
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Une population de bactéries suit l'équation $y' = 0{,}2y$ ($t$ en heures). À $t = 0$, il y a 500 bactéries. Combien y en aura-t-il à $t = 5$ ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un objet à 90 °C est placé dans une pièce à 20 °C. Sa température $y(t)$, $t$ en minutes, vérifie $y' = -0{,}1(y - 20)$. Quelle est la température après 10 minutes ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Primitives et équations différentielles (Mathématiques Terminale).