Problème de Cauchy et unicité en Terminale
Problème de Cauchy et unicité, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Primitives et équations différentielles », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Problème de Cauchy et unicité : le cours
Un problème de Cauchy (le nom n'est pas exigé au programme) consiste à résoudre une équation différentielle avec une condition initiale donnée (par exemple $y(0) = y_0$). Cette condition initiale détermine la constante C de manière unique, ce qui garantit une solution unique.
Exemple
Si une population de bactéries compte 1 000 individus à $t = 0$ et suit $y' = 0{,}5y$, alors la condition $y(0) = 1000$ détermine complètement l'évolution future.
À retenir
Une condition initiale détermine la constante C et assure l'unicité de la solution.
S'entraîner sur problème de cauchy et unicité
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Une population de bactéries suit l'équation $y' = 0{,}2y$ ($t$ en heures). À $t = 0$, il y a 500 bactéries. Combien y en aura-t-il à $t = 5$ ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un objet à 90 °C est placé dans une pièce à 20 °C. Sa température $y(t)$, $t$ en minutes, vérifie $y' = -0{,}1(y - 20)$. Quelle est la température après 10 minutes ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Primitives et équations différentielles (Mathématiques Terminale).