Orthogonalité et distances dans l'espace en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de orthogonalité et distances dans l'espace pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Produit scalaire dans l'espace, bilinéarité
- Norme d'un vecteur, orthogonalité
- Vecteur normal à un plan, équation cartésienne d'un plan
- Projeté orthogonal et distance d'un point à un plan
Produit scalaire dans l'espace
Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace est un nombre réel. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)$, où $\theta$ est l'angle formé par deux représentants de même origine ; si l'un des deux est nul, le produit scalaire vaut 0.
Exemple
Quand tu pousses une porte, la force que tu appliques et le déplacement de la porte ne sont pas toujours dans la même direction. Le produit scalaire mesure la partie de ta force qui est vraiment utile pour ouvrir la porte.
À retenir : Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}(x; y; z)$ et $\vec{v}(x'; y'; z')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$.
Bilinéarité du produit scalaire
La bilinéarité signifie que le produit scalaire est linéaire dans chaque argument : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ pour tout réel $k$ (et de même pour le second vecteur). Le produit scalaire est aussi symétrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$.
Exemple
Si tu combines deux forces avant de calculer leur effet, c'est pareil que de calculer l'effet de chaque force séparément puis les additionner.
À retenir : Le produit scalaire est symétrique et se distribue sur l'addition des vecteurs ; les coefficients réels peuvent être sortis.
Norme d'un vecteur
La norme d'un vecteur $\vec{u}$ est sa longueur, notée $\|\vec{u}\|$. Elle vérifie $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$ ; dans un repère orthonormé, si $\vec{u}(x; y; z)$, alors $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Exemple
La norme d'un vecteur déplacement est la distance réelle parcourue en ligne droite, comme la distance à vol d'oiseau entre deux villes.
À retenir : $\|\vec{u}\|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$. Dans un repère orthonormé : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
Orthogonalité de deux vecteurs
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
Exemple
Dans une pièce, l'arête verticale d'un coin et une arête du sol partant de ce coin sont perpendiculaires : des vecteurs qui les dirigent ont un produit scalaire nul.
À retenir : $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
Vecteur normal à un plan
Un vecteur normal à un plan $\mathcal{P}$ est un vecteur non nul orthogonal à tous les vecteurs du plan. Il suffit qu'il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $\mathcal{P}$ : on trouve ses coordonnées en résolvant les deux équations « produit scalaire nul ».
Exemple
Le vecteur normal à un sol horizontal pointe vers le haut (direction de la gravité inverse). Tous les vecteurs sur le sol sont perpendiculaires à ce vecteur normal.
À retenir : Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$.
Équation cartésienne d'un plan
Dans un repère orthonormé, un plan de vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$. Réciproquement, si $(a; b; c) \neq (0; 0; 0)$, l'ensemble des points $M(x; y; z)$ tels que $ax + by + cz + d = 0$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$.
Exemple
Le sol d'une maison au niveau de la mer a pour équation $z = 0$, ce qui signifie que tous les points du sol ont une altitude nulle. Un vecteur normal est $\vec{n}(0; 0; 1)$ (vers le haut).
À retenir : Dans $ax + by + cz + d = 0$ (repère orthonormé), les coefficients $a$, $b$, $c$ sont les coordonnées d'un vecteur normal au plan.
Projeté orthogonal d'un point
Le projeté orthogonal d'un point $P$ sur un plan est le point $H$ du plan le plus proche de $P$. C'est le point où la perpendiculaire au plan passant par $P$ rencontre le plan.
Exemple
Si tu lâches une balle au-dessus d'une table, elle tombe perpendiculairement à la table. Le point où elle touche la table est le projeté orthogonal du point de départ.
À retenir : Le projeté orthogonal $H$ de $P$ est l'unique point du plan tel que $\overrightarrow{PH}$ soit colinéaire à un vecteur normal du plan ; c'est le point du plan le plus proche de $P$.
Distance d'un point à un plan
La distance d'un point $P$ à un plan est la longueur du segment perpendiculaire du point au plan, c'est-à-dire la distance $PH$ où $H$ est le projeté orthogonal de $P$ sur le plan.
Exemple
La distance entre un avion et le sol est mesurée verticalement (perpendiculairement au sol), pas en ligne droite vers l'horizon.
À retenir : Méthode : écrire une représentation paramétrique de la droite passant par $P$ et dirigée par un vecteur normal $\vec{n}$, trouver son point d'intersection $H$ avec le plan, puis calculer $PH$. Pour aller plus loin (hors programme) : pour le plan $ax + by + cz + d = 0$ et $P(x_0; y_0; z_0)$, cette distance vaut aussi $\frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
Les points clés
- Le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement s'ils sont orthogonaux.
- Un plan est complètement déterminé par un point et un vecteur normal, ce qui donne son équation cartésienne.
- La distance d'un point à un plan est la distance entre ce point et son projeté orthogonal sur le plan.
L'essentiel
L'orthogonalité dans l'espace repose sur le produit scalaire : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, ce qui permet de trouver des vecteurs normaux, des équations de plans, des projetés orthogonaux et des distances.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, soit les points $A(1; 2; 3)$, $B(4; 5; 6)$ et $C(1; 0; 1)$. Montre que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas orthogonaux, puis trouve une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un repère orthonormé, calcule la distance du point $P(2; 3; 4)$ au plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z - 5 = 0$, en déterminant le projeté orthogonal $H$ de $P$ sur $\mathcal{P}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →