Orthogonalité et distances dans l'espace en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de orthogonalité et distances dans l'espace pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Produit scalaire dans l'espace, bilinéarité
- Norme d'un vecteur, orthogonalité
- Vecteur normal à un plan, équation cartésienne d'un plan
- Projeté orthogonal et distance d'un point à un plan
Produit scalaire dans l'espace
Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un nombre réel qui mesure comment ces vecteurs sont alignés. Il se calcule par $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta)$ où $\theta$ est l'angle entre eux.
Exemple
Quand tu pousses une porte, la force que tu appliques et le déplacement de la porte ne sont pas toujours dans la même direction. Le produit scalaire mesure la partie de ta force qui est vraiment utile pour ouvrir la porte.
À retenir : $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z$ en coordonnées.
Bilinéarité du produit scalaire
La bilinéarité signifie que le produit scalaire est linéaire dans chaque argument : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ pour tout scalaire $k$.
Exemple
Si tu combines deux forces avant de calculer leur effet, c'est pareil que de calculer l'effet de chaque force séparément puis les additionner.
À retenir : Le produit scalaire se distribue sur l'addition et la multiplication par un scalaire.
Norme d'un vecteur
La norme d'un vecteur $\vec{u}$ est sa longueur, notée $|\vec{u}|$ ou $\|\vec{u}\|$. Elle se calcule par $|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}$, ce qui vient du produit scalaire : $|\vec{u}| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$.
Exemple
La norme d'un vecteur déplacement est la distance réelle parcourue en ligne droite, comme la distance à vol d'oiseau entre deux villes.
À retenir : $|\vec{u}|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$ toujours.
Orthogonalité de deux vecteurs
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
Exemple
Les murs d'une pièce sont orthogonaux : le mur du fond et le mur de côté forment un angle droit, donc leurs vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul.
À retenir : $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
Vecteur normal à un plan
Un vecteur normal à un plan est un vecteur perpendiculaire à tous les vecteurs du plan. Si un plan contient deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, alors $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ (produit vectoriel) est normal au plan.
Exemple
Le vecteur normal à un sol horizontal pointe vers le haut (direction de la gravité inverse). Tous les vecteurs sur le sol sont perpendiculaires à ce vecteur normal.
À retenir : Un plan est entièrement déterminé par un point et un vecteur normal.
Équation cartésienne d'un plan
L'équation cartésienne d'un plan est $ax + by + cz + d = 0$ où $(a, b, c)$ est un vecteur normal au plan. Tout point $(x, y, z)$ du plan satisfait cette équation.
Exemple
Le sol d'une maison au niveau de la mer a pour équation $z = 0$, ce qui signifie que tous les points du sol ont une altitude nulle. Le vecteur normal est $(0, 0, 1)$ (vers le haut).
À retenir : Les coefficients $(a, b, c)$ dans $ax + by + cz + d = 0$ forment le vecteur normal du plan.
Projeté orthogonal d'un point
Le projeté orthogonal d'un point $P$ sur un plan est le point $H$ du plan le plus proche de $P$. C'est le point où la perpendiculaire au plan passant par $P$ rencontre le plan.
Exemple
Si tu lâches une balle au-dessus d'une table, elle tombe perpendiculairement à la table. Le point où elle touche la table est le projeté orthogonal du point de départ.
À retenir : Le projeté orthogonal est l'unique point du plan tel que $\vec{PH}$ soit normal au plan.
Distance d'un point à un plan
La distance d'un point $P$ à un plan est la longueur du segment perpendiculaire du point au plan, c'est-à-dire la distance $PH$ où $H$ est le projeté orthogonal de $P$ sur le plan.
Exemple
La distance entre un avion et le sol est mesurée verticalement (perpendiculairement au sol), pas en ligne droite vers l'horizon.
À retenir : Pour un plan $ax + by + cz + d = 0$ et un point $P(x_0, y_0, z_0)$, la distance est $\frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
Les points clés
- Le produit scalaire mesure l'alignement de deux vecteurs et vaut zéro si et seulement si ils sont orthogonaux.
- Un plan est complètement déterminé par un point et un vecteur normal, ce qui donne son équation cartésienne.
- La distance d'un point à un plan se calcule via la formule utilisant le vecteur normal et l'équation du plan.
L'essentiel
L'orthogonalité dans l'espace repose sur le produit scalaire : deux objets sont perpendiculaires si leur produit scalaire est zéro, et cela permet de trouver distances et équations de plans.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit les points $A(1, 2, 3)$, $B(4, 5, 6)$ et $C(1, 0, 1)$. Montre que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas orthogonaux, puis trouve l'équation cartésienne du plan contenant ces trois points.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Calcule la distance du point $P(2, 3, 4)$ au plan d'équation $2x - y + 2z - 5 = 0$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →