Bilinéarité du produit scalaire en Terminale
Bilinéarité du produit scalaire, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Orthogonalité et distances dans l'espace », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Bilinéarité du produit scalaire : le cours
La bilinéarité signifie que le produit scalaire est linéaire dans chaque argument : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ pour tout réel $k$ (et de même pour le second vecteur). Le produit scalaire est aussi symétrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$.
Exemple
Si tu combines deux forces avant de calculer leur effet, c'est pareil que de calculer l'effet de chaque force séparément puis les additionner.
À retenir
Le produit scalaire est symétrique et se distribue sur l'addition des vecteurs ; les coefficients réels peuvent être sortis.
S'entraîner sur bilinéarité du produit scalaire
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, soit les points $A(1; 2; 3)$, $B(4; 5; 6)$ et $C(1; 0; 1)$. Montre que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas orthogonaux, puis trouve une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un repère orthonormé, calcule la distance du point $P(2; 3; 4)$ au plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z - 5 = 0$, en déterminant le projeté orthogonal $H$ de $P$ sur $\mathcal{P}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Orthogonalité et distances dans l'espace (Mathématiques Terminale).