Distance d'un point à un plan en Terminale
Distance d'un point à un plan, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Orthogonalité et distances dans l'espace », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Distance d'un point à un plan : le cours
La distance d'un point $P$ à un plan est la longueur du segment perpendiculaire du point au plan, c'est-à-dire la distance $PH$ où $H$ est le projeté orthogonal de $P$ sur le plan.
Exemple
La distance entre un avion et le sol est mesurée verticalement (perpendiculairement au sol), pas en ligne droite vers l'horizon.
À retenir
Méthode : écrire une représentation paramétrique de la droite passant par $P$ et dirigée par un vecteur normal $\vec{n}$, trouver son point d'intersection $H$ avec le plan, puis calculer $PH$. Pour aller plus loin (hors programme) : pour le plan $ax + by + cz + d = 0$ et $P(x_0; y_0; z_0)$, cette distance vaut aussi $\frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
S'entraîner sur distance d'un point à un plan
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, soit les points $A(1; 2; 3)$, $B(4; 5; 6)$ et $C(1; 0; 1)$. Montre que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas orthogonaux, puis trouve une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un repère orthonormé, calcule la distance du point $P(2; 3; 4)$ au plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z - 5 = 0$, en déterminant le projeté orthogonal $H$ de $P$ sur $\mathcal{P}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Orthogonalité et distances dans l'espace (Mathématiques Terminale).