Produit scalaire dans l'espace en Terminale
Produit scalaire dans l'espace, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Orthogonalité et distances dans l'espace », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Produit scalaire dans l'espace : le cours
Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace est un nombre réel. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)$, où $\theta$ est l'angle formé par deux représentants de même origine ; si l'un des deux est nul, le produit scalaire vaut 0.
Exemple
Quand tu pousses une porte, la force que tu appliques et le déplacement de la porte ne sont pas toujours dans la même direction. Le produit scalaire mesure la partie de ta force qui est vraiment utile pour ouvrir la porte.
À retenir
Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}(x; y; z)$ et $\vec{v}(x'; y'; z')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$.
S'entraîner sur produit scalaire dans l'espace
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, soit les points $A(1; 2; 3)$, $B(4; 5; 6)$ et $C(1; 0; 1)$. Montre que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas orthogonaux, puis trouve une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un repère orthonormé, calcule la distance du point $P(2; 3; 4)$ au plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z - 5 = 0$, en déterminant le projeté orthogonal $H$ de $P$ sur $\mathcal{P}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Orthogonalité et distances dans l'espace (Mathématiques Terminale).