Équation cartésienne d'un plan en Terminale
Équation cartésienne d'un plan, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Orthogonalité et distances dans l'espace », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Équation cartésienne d'un plan : le cours
Dans un repère orthonormé, un plan de vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$. Réciproquement, si $(a; b; c) \neq (0; 0; 0)$, l'ensemble des points $M(x; y; z)$ tels que $ax + by + cz + d = 0$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$.
Exemple
Le sol d'une maison au niveau de la mer a pour équation $z = 0$, ce qui signifie que tous les points du sol ont une altitude nulle. Un vecteur normal est $\vec{n}(0; 0; 1)$ (vers le haut).
À retenir
Dans $ax + by + cz + d = 0$ (repère orthonormé), les coefficients $a$, $b$, $c$ sont les coordonnées d'un vecteur normal au plan.
S'entraîner sur équation cartésienne d'un plan
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, soit les points $A(1; 2; 3)$, $B(4; 5; 6)$ et $C(1; 0; 1)$. Montre que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas orthogonaux, puis trouve une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un repère orthonormé, calcule la distance du point $P(2; 3; 4)$ au plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z - 5 = 0$, en déterminant le projeté orthogonal $H$ de $P$ sur $\mathcal{P}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Orthogonalité et distances dans l'espace (Mathématiques Terminale).