Fonctions linéaires et affines en 3ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonctions linéaires et affines pour les élèves de 3ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Notion de fonction : image et antécédent
- Tableau de valeurs
- Représentation graphique
- Fonction linéaire f(x) = ax (proportionnalité)
- Fonction affine f(x) = ax + b
- Coefficient directeur et ordonnée à l'origine
- Lecture graphique d'images, d'antécédents et de solutions
Notion de fonction : image et antécédent
Une fonction est une machine mathématique qui transforme un nombre (appelé antécédent) en un autre nombre (appelé image). À chaque antécédent correspond une seule image.
Exemple
Un distributeur automatique : tu mets de l'argent (antécédent), la machine te donne une boisson (image). Le même argent donne toujours la même boisson.
À retenir : L'antécédent est le nombre qu'on rentre, l'image est le nombre qu'on obtient après transformation.
Tableau de valeurs
Un tableau de valeurs liste les antécédents dans la première ligne et les images correspondantes dans la deuxième ligne. Cela permet de voir rapidement comment la fonction transforme les nombres.
Exemple
Pour une fonction qui double les nombres : si tu mets 2, tu obtiens 4 ; si tu mets 5, tu obtiens 10. Le tableau affiche : x | 2 | 5 et f(x) | 4 | 10.
À retenir : Un tableau de valeurs montre les couples (antécédent, image) d'une fonction.
Représentation graphique d'une fonction
C'est le dessin de la fonction sur un graphique avec des axes. Chaque point du graphique représente un couple (antécédent, image). L'antécédent se lit sur l'axe horizontal (x) et l'image sur l'axe vertical (y).
Exemple
Si tu traces les points d'une fonction sur un papier millimétré, tu peux voir la forme générale : une ligne droite ou courbe qui montre comment les nombres se transforment.
À retenir : Un point sur le graphique a pour coordonnées (antécédent, image).
Fonction linéaire f(x) = ax
Une fonction linéaire transforme un nombre en le multipliant toujours par le même coefficient a. Elle passe toujours par l'origine du repère, le point O de coordonnées (0 ; 0). Elle représente une situation de proportionnalité.
Exemple
Si tu achètes des stylos à 0,50 € l'unité, le prix total est f(x) = 0,5x. Pour 10 stylos, tu paies 5 €. C'est une fonction linéaire.
À retenir : Une fonction linéaire f(x) = ax passe par l'origine et représente la proportionnalité.
Fonction affine f(x) = ax + b
Une fonction affine est comme une fonction linéaire, mais avec un « bonus » ou un « coût fixe » (le b). Elle multiplie par a, puis ajoute ou soustrait b. Son graphique est une droite qui ne passe pas forcément par l'origine.
Exemple
Un taxi : tu paies 2 € de prise en charge (le b) plus 0,50 € par kilomètre (le a). Le prix est f(x) = 0,5x + 2. Pour 10 km, tu paies 7 €.
À retenir : Une fonction affine f(x) = ax + b contient un coefficient directeur a et une ordonnée à l'origine b.
Coefficient directeur et ordonnée à l'origine
Le coefficient directeur a mesure la pente de la droite : comment elle monte ou descend. L'ordonnée à l'origine b est la hauteur où la droite coupe l'axe vertical (quand x = 0).
Exemple
Pour f(x) = 2x + 3 : la pente est 2 (la droite monte vite), et la droite coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 3). Si tu montes un escalier, a c'est la raideur, b c'est la hauteur de départ.
À retenir : a est la pente ; b est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées, c'est-à-dire du point de coordonnées (0 ; b).
Lecture graphique : images et antécédents
Lire une image sur un graphique : tu te places sur l'antécédent, sur l'axe des abscisses (axe x), tu rejoins verticalement la courbe, puis horizontalement l'axe des ordonnées (axe y), où tu lis l'image. Lire un antécédent : tu te places sur l'image, sur l'axe des ordonnées, tu rejoins horizontalement la courbe, puis verticalement l'axe des abscisses, où tu lis l'antécédent.
Exemple
Sur le graphique d'une fonction, si tu veux l'image de 3, tu places ton doigt sur 3 de l'axe x, tu rejoins verticalement la courbe, puis horizontalement l'axe y, où tu lis le nombre.
À retenir : Pour lire une image : x d'abord, puis y. Pour lire un antécédent : y d'abord, puis x.
Lecture graphique : solutions d'équations
Résoudre f(x) = k graphiquement, c'est trouver les antécédents qui donnent l'image k. Sur le graphique, tu traces une ligne horizontale à la hauteur k, tu vois où elle coupe la courbe, puis tu lis les antécédents sur l'axe des abscisses.
Exemple
Si tu veux résoudre f(x) = 5, tu traces une ligne horizontale à la hauteur 5 sur le graphique, tu vois les points d'intersection avec la courbe, et tu lis les valeurs de x sur l'axe des abscisses.
À retenir : Résoudre f(x) = k graphiquement : trace une ligne horizontale en y = k et lis les antécédents.
Les points clés
- Image = le résultat de la fonction ; Antécédent = le nombre qu'on rentre
- Fonction linéaire : f(x) = ax (passe par l'origine, proportionnalité)
- Fonction affine : f(x) = ax + b (a = pente, b = ordonnée à l'origine)
- Un tableau de valeurs et un graphique montrent la même information de deux façons différentes
- Lecture graphique : pour une image, on part de l'axe des abscisses, on rejoint verticalement la courbe puis horizontalement l'axe des ordonnées ; pour un antécédent, on fait le chemin inverse
L'essentiel
Une fonction transforme un antécédent en une image unique ; les fonctions linéaires et affines ont pour graphiques des droites.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
On considère la fonction f(x) = 3x - 2. 1) Calcule f(0), f(2) et f(-1). 2) Est-ce une fonction linéaire ou affine ? Justifie. 3) Donne le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On considère la fonction g définie par g(x) = −2x + 4. 1) Dans un repère, trace la droite qui représente g. 2) Lis sur ton graphique l'image de 1, puis vérifie par le calcul. 3) Trouve graphiquement l'antécédent de 0, puis vérifie par le calcul. 4) Résous graphiquement g(x) = 2.
Corrige cet exercice avec le tuteur →