Calcul littéral avancé et factorisation en 3ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de calcul littéral avancé et factorisation pour les élèves de 3ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Développement avec simple et double distributivité
- Factorisation par un facteur commun
- Identités remarquables : (a+b)², (a−b)², (a+b)(a−b)
- Factorisation à l'aide des identités remarquables
- Équations du premier degré à une inconnue
- Équations-produit nul (A×B=0)
- Mise en équation de problèmes
Double distributivité et développement
La double distributivité permet de développer un produit de deux parenthèses. On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième.
Exemple
Calculer le prix total d'une commande : (5 euros + 3 euros de frais) × (2 articles + 1 article gratuit). On multiplie chaque prix par chaque quantité.
À retenir : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ : multiplier chaque terme de la première par chaque terme de la deuxième.
Factorisation par facteur commun
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. On cherche le facteur qui apparaît dans tous les termes et on le met en avant.
Exemple
Dans un magasin, 3 clients achètent 5 euros de produits chacun, plus 3 clients achètent 2 euros de frais chacun. On peut écrire : 3 × 5 + 3 × 2 = 3 × (5 + 2).
À retenir : $ka + kb = k(a + b)$ : le facteur commun $k$ se met devant les parenthèses.
Identité remarquable : carré d'une somme
$(a + b)^2$ est le carré d'une somme. On peut le développer rapidement sans faire la double distributivité à chaque fois.
Exemple
Un carré de côté (3 + 2) cm a une aire de $(3 + 2)^2 = 25$ cm². On peut aussi calculer : $3^2 + 2 × 3 × 2 + 2^2 = 9 + 12 + 4 = 25$.
À retenir : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : carré du premier, plus le double produit, plus carré du second.
Identité remarquable : carré d'une différence
$(a - b)^2$ est le carré d'une différence. Elle se développe presque comme la somme, mais avec un signe moins au milieu.
Exemple
Un prix réduit de 5 euros sur un article à 10 euros : $(10 - 5)^2 = 100 - 100 + 25 = 25$.
À retenir : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : attention au signe moins devant le double produit.
Identité remarquable : différence de carrés
$(a + b)(a - b)$ est un produit particulier qui donne toujours une différence de carrés. C'est très utile pour factoriser rapidement.
Exemple
Un terrain rectangulaire de dimensions (100 + 5) m par (100 - 5) m a une aire de $100^2 - 5^2 = 10000 - 25 = 9975$ m².
À retenir : $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ : produit d'une somme et d'une différence égale différence de carrés.
Factorisation avec identités remarquables
On reconnaît une identité remarquable dans une expression et on la factorise. Par exemple, si on voit $a^2 - b^2$, on sait que c'est $(a + b)(a - b)$.
Exemple
L'expression $x^2 - 9$ se reconnaît comme $x^2 - 3^2$, donc elle se factorise en $(x + 3)(x - 3)$.
À retenir : Reconnaître les formes $a^2 + 2ab + b^2$, $a^2 - 2ab + b^2$ et $a^2 - b^2$ pour les factoriser immédiatement.
Simplification de fractions algébriques
Une fraction algébrique contient des lettres. On la simplifie en factorisant le numérateur et le dénominateur, puis en supprimant les facteurs communs.
Exemple
La fraction $\frac{6x + 9}{3}$ se simplifie : on factorise le numérateur en $3(2x + 3)$, puis $\frac{3(2x + 3)}{3} = 2x + 3$.
À retenir : Toujours factoriser avant de simplifier une fraction algébrique.
Opérations sur fractions algébriques
On additionne, soustrait, multiplie ou divise les fractions algébriques comme les fractions numériques : même dénominateur pour ajouter, produit en croix pour multiplier, etc.
Exemple
$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = \frac{5x}{6}$ : on met au même dénominateur avant d'ajouter.
À retenir : Les règles des fractions numériques s'appliquent aussi aux fractions algébriques.
Résolution d'équations avec fractions
Pour résoudre une équation contenant des fractions, on multiplie tous les termes par le dénominateur commun pour éliminer les fractions, puis on résout normalement.
Exemple
$\frac{x}{2} + 1 = 5$ : on multiplie par 2 : $x + 2 = 10$, donc $x = 8$.
À retenir : Multiplier par le dénominateur commun pour éliminer les fractions avant de résoudre.
Équations-produit et factorisation
Une équation-produit est de la forme $(a)(b) = 0$. Elle est résolue quand au moins un facteur est zéro. On factorise d'abord l'équation pour la mettre sous cette forme.
Exemple
$x^2 - 9 = 0$ se factorise en $(x + 3)(x - 3) = 0$, donc $x = -3$ ou $x = 3$.
À retenir : Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul : $(a)(b) = 0 \Rightarrow a = 0$ ou $b = 0$.
Les points clés
- La double distributivité : multiplier chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième
- Les trois identités remarquables : $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ et $(a+b)(a-b)$ doivent être reconnues et utilisées automatiquement
- Factoriser c'est transformer une somme en produit, toujours chercher un facteur commun ou une identité remarquable
- Pour les fractions algébriques, factoriser avant de simplifier
- Une équation-produit se résout en utilisant : si $(a)(b) = 0$ alors $a = 0$ ou $b = 0$
L'essentiel
Le calcul littéral repose sur trois compétences : développer avec la double distributivité, factoriser en cherchant un facteur commun ou une identité remarquable, et résoudre des équations en utilisant la factorisation.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Développer et réduire les expressions suivantes : 1) (2x + 3)(x - 1) 2) (4y - 2)² 3) (a + 5)(a - 5)
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Factoriser les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables si possible : 1) 9x² - 16 2) 25t² + 10t + 1 3) 4m² - 12m + 9
Corrige cet exercice avec le tuteur →