Calcul littéral et équations en 3ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de calcul littéral et équations pour les élèves de 3ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Développement avec simple et double distributivité
- Factorisation par un facteur commun
- Identités remarquables : (a+b)², (a−b)², (a+b)(a−b)
- Factorisation à l'aide des identités remarquables
- Équations du premier degré à une inconnue
- Équations-produit nul (A×B=0)
- Mise en équation de problèmes
Développement avec simple distributivité
La distributivité permet de transformer un produit en somme. On multiplie le nombre ou lettre devant les parenthèses par chaque terme à l'intérieur.
Exemple
Si tu achètes 3 packs de 2 stylos rouges et 5 stylos bleus, tu as 3 × (2 + 5) = 3 × 2 + 3 × 5 = 6 + 15 = 21 stylos.
À retenir : $k(a + b) = ka + kb$ : on distribue k à chaque terme dans les parenthèses.
Développement avec double distributivité
Quand on a deux parenthèses à multiplier, on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième.
Exemple
Une pièce carrée a pour côté $x$ mètres. Si tu ajoutes 2 m à un côté et 3 m à l'autre, la nouvelle aire est $(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$ m².
À retenir : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ : quatre multiplications à faire.
Factorisation par facteur commun
La factorisation est l'inverse du développement : on cherche ce qui se répète dans tous les termes pour le sortir des parenthèses.
Exemple
Dans un groupe de 12 enfants et 18 adultes, on peut dire 6 × (2 enfants et 3 adultes). Le 6 est le facteur commun.
À retenir : $ka + kb = k(a + b)$ : on identifie k qui apparaît dans tous les termes.
Identité remarquable : (a+b)²
Le carré d'une somme se développe toujours de la même façon. C'est un raccourci pour éviter de faire deux fois la même multiplication.
Exemple
Un carré de côté (5 + 2) cm a une aire de $(5+2)^2 = 5^2 + 2 × 5 × 2 + 2^2 = 25 + 20 + 4 = 49$ cm².
À retenir : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : toujours trois termes, avec 2ab au milieu.
Identité remarquable : (a−b)²
Le carré d'une différence suit aussi une formule fixe, très proche de celle de la somme mais le double produit est négatif.
Exemple
Calcul mental : $99^2 = (100-1)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801$.
À retenir : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : attention au signe moins devant 2ab.
Identité remarquable : (a+b)(a−b)
Le produit d'une somme et d'une différence donne toujours une différence de carrés, c'est la plus simple des trois identités.
Exemple
Calcul mental : $13 × 7 = (10+3)(10-3) = 10^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91$.
À retenir : $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ : seulement deux termes à la fin, aucun terme du milieu.
Factorisation avec identités remarquables
On peut reconnaître les formes $a^2 + 2ab + b^2$, $a^2 - 2ab + b^2$ ou $a^2 - b^2$ pour les transformer en produits.
Exemple
Pour calculer $x^2 + 10x + 25$ quand $x = 95$, on reconnaît $(x+5)^2 = 100^2 = 10\,000$.
À retenir : Apprendre à reconnaître les trois formes pour les factoriser rapidement.
Équations du premier degré
Une équation est une égalité avec une inconnue. Résoudre, c'est trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.
Exemple
Si tu dois 15 euros et après avoir payé une partie il t'en reste 8 à payer, tu écris : $x + 8 = 15$, donc $x = 7$ euros payés.
À retenir : On isole l'inconnue en appliquant les mêmes opérations des deux côtés du signe égal.
Équations-produit nul
Si un produit est égal à zéro, alors au moins l'un de ses facteurs est égal à zéro (et réciproquement). On utilise cela pour résoudre une équation dont un membre est un produit et l'autre est 0.
Exemple
Résoudre $(x - 4)(x + 1) = 0$ : cette équation équivaut à $x - 4 = 0$ ou $x + 1 = 0$, donc $x = 4$ ou $x = -1$. Vérification : $(4 - 4)(4 + 1) = 0 \times 5 = 0$ et $(-1 - 4)(-1 + 1) = -5 \times 0 = 0$.
À retenir : $A × B = 0$ signifie $A = 0$ OU $B = 0$ : on résout deux équations.
Mise en équation de problèmes
Transformer un problème écrit en langage naturel en équation mathématique, la résoudre, puis vérifier que la réponse a du sens.
Exemple
Un téléphone coûte 50 euros de plus qu'une coque. Ensemble ils coûtent 200 euros. Soit $x$ le prix de la coque en euros ; le téléphone coûte $x + 50$ euros. On écrit : $x + (x+50) = 200$, donc $2x + 50 = 200$, $2x = 150$ et $x = 75$. La coque coûte 75 € et le téléphone 125 € (vérification : $75 + 125 = 200$).
À retenir : Lire attentivement, définir l'inconnue clairement, traduire les phrases en calculs, vérifier la réponse.
Les points clés
- Développement simple : $k(a+b) = ka + kb$
- Développement double : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
- Factorisation : chercher le facteur commun à tous les termes
- Identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- Identité $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- Identité $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
- Équation : isoler l'inconnue en appliquant les mêmes opérations des deux côtés
- Équation-produit : $A × B = 0$ donne deux cas à résoudre séparément
- Mise en équation : définir l'inconnue, traduire l'énoncé, résoudre, vérifier
L'essentiel
Le calcul littéral est le langage des mathématiques : maîtriser le développement, la factorisation et les identités permet de résoudre tous les problèmes du quotidien traduits en équations.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.