Systèmes d'équations en 3ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de systèmes d'équations pour les élèves de 3ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues
- Méthode de résolution par substitution
- Méthode de résolution par combinaison linéaire (addition)
- Résolution graphique : intersection de deux droites
- Interprétation géométrique : droites sécantes, parallèles, confondues
- Mise en équation de problèmes concrets avec système
- Vérification des solutions d'un système
Qu'est-ce qu'un système d'équations
Un système d'équations est un ensemble de deux (ou plus) équations qu'on doit résoudre en même temps. On cherche les valeurs des inconnues qui satisfont TOUTES les équations à la fois.
Exemple
Au cinéma, tu achètes 2 tickets et 1 pop-corn pour 18€. Ton ami achète 1 ticket et 2 pop-corn pour 15€. Pour trouver le prix de chaque article, tu dois résoudre un système avec deux équations.
À retenir : Un système a une solution quand on trouve une paire de nombres qui vérifie les deux équations.
Méthode de substitution
On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace (substitue) cette expression dans la deuxième équation. Cela permet de résoudre une équation à une seule inconnue.
Exemple
Si tu sais que $x = 2y + 3$, tu peux remplacer $x$ par cette expression dans l'autre équation pour ne plus avoir qu'une inconnue à trouver.
À retenir : Substitution = remplacer une inconnue par son expression pour simplifier le système.
Méthode de combinaison linéaire
On multiplie les équations par des nombres pour que l'une des inconnues ait des coefficients opposés. Ensuite, on ajoute les deux équations pour éliminer cette inconnue.
Exemple
Si tu as $2x + 3y = 10$ et $2x - y = 2$, tu peux soustraire la deuxième de la première pour éliminer les $2x$ et trouver $y$.
À retenir : Combinaison = multiplier et ajouter les équations pour éliminer une inconnue.
Résolution graphique d'un système
Chaque équation du système représente une droite sur un graphique. La solution du système est le point où les deux droites se croisent (leurs coordonnées).
Exemple
Si tu traces les droites $y = 2x + 1$ et $y = -x + 4$ sur un repère, elles se coupent en un point. Les coordonnées de ce point sont la solution du système.
À retenir : Graphiquement, la solution est l'intersection des deux droites.
Interprétation géométrique des solutions
Selon la position des droites, un système peut avoir une solution unique (droites sécantes), aucune solution (droites parallèles) ou une infinité de solutions (droites confondues).
Exemple
Deux routes qui se croisent = une solution. Deux routes parallèles = pas de solution. Deux routes qui sont la même = infinité de solutions.
À retenir : Droites sécantes = 1 solution, parallèles = 0 solution, confondues = infinité de solutions.
Mise en équation de problèmes concrets
On traduit un problème écrit en langage mathématique : on définit les inconnues, on écrit les équations selon les informations données, puis on résout le système.
Exemple
Problème : 'J'ai 5€ de plus que toi, et ensemble on a 25€.' On pose $x$ = ton argent et $y$ = mon argent. On écrit : $y = x + 5$ et $x + y = 25$.
À retenir : Pour résoudre un problème : définir les inconnues, écrire les équations, puis résoudre.
Vérification des solutions
Après avoir trouvé les valeurs des inconnues, on les remplace dans les deux équations originales pour vérifier que les égalités sont vraies.
Exemple
Si tu trouves $x = 3$ et $y = 2$, tu vérifies en remplaçant dans chaque équation : est-ce que ça donne des égalités correctes ?
À retenir : Toujours vérifier sa solution en la remplaçant dans les deux équations du départ.
Les points clés
- Un système a deux équations et deux inconnues à résoudre ensemble
- Trois méthodes de résolution : substitution, combinaison linéaire, et graphique
- Graphiquement, la solution est le point d'intersection des deux droites
- Vérifier sa solution en la remplaçant dans les deux équations
L'essentiel
Un système d'équations se résout en trouvant les valeurs des inconnues qui satisfont TOUTES les équations à la fois.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Résous le système par substitution : $x + y = 7$ et $2x - y = 5$
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Résous le système par combinaison linéaire : $3x + 2y = 11$ et $x - 2y = -3$
Corrige cet exercice avec le tuteur →