Probabilités — approfondissement en 3ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de probabilités — approfondissement pour les élèves de 3ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Effectifs, fréquences (rappel)
- Moyenne pondérée
- Médiane d'une série statistique
- Étendue
- Quartiles (introduction — sans diagramme en boîte)
- Vocabulaire des probabilités : expérience aléatoire, issue, événement
- Probabilité d'un événement
- Événements contraires, événements incompatibles
- Calcul de probabilités dans des situations à une ou deux épreuves (arbre, tableau)
- Lien fréquence / probabilité
Expérience aléatoire et événement
Une expérience aléatoire est une action dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance (comme lancer un dé). Un événement est un résultat possible ou un ensemble de résultats possibles.
Exemple
Lancer une pièce de monnaie : c'est aléatoire. L'événement « obtenir face » est un résultat possible.
À retenir : Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles qu'on ne peut pas prévoir.
Probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement mesure la chance qu'il se produise. Elle est toujours entre 0 et 1 (ou entre 0% et 100%). On la calcule avec : $P(événement) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$
Exemple
Dans un dé à 6 faces, la probabilité d'obtenir un 3 est $\frac{1}{6}$ car il y a 1 cas favorable sur 6 cas possibles.
À retenir : La probabilité = (cas favorables) / (cas possibles), toujours entre 0 et 1.
Événements incompatibles et contraires
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Deux événements sont contraires s'ils sont incompatibles ET si l'un des deux doit obligatoirement se produire. La probabilité de l'événement contraire est : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
Exemple
Au lancer d'une pièce : « obtenir pile » et « obtenir face » sont contraires (incompatibles ET l'un doit arriver). Si P(pile) = 0,5 alors P(face) = 1 - 0,5 = 0,5.
À retenir : Les événements contraires sont opposés et leurs probabilités s'ajoutent à 1.
Arbre pondéré et arbre de probabilité
Un arbre pondéré est un schéma qui montre tous les résultats possibles d'une expérience. Chaque branche a une probabilité écrite dessus (le poids). Pour trouver la probabilité d'un chemin complet, on multiplie les probabilités des branches.
Exemple
Lancer deux fois une pièce : au premier lancer P(pile)=0,5, au deuxième P(pile)=0,5. La probabilité d'obtenir pile puis pile est 0,5 × 0,5 = 0,25.
À retenir : Dans un arbre, on multiplie les probabilités le long d'un chemin.
Tableau de probabilités à deux entrées
Un tableau à deux entrées permet d'organiser les résultats d'une expérience avec deux critères. Les lignes et colonnes montrent les différentes possibilités, et les cases contiennent les probabilités ou les effectifs.
Exemple
Tableau des élèves d'une classe : garçons/filles en lignes, externes/demi-pensionnaires en colonnes. On peut lire combien de garçons externes il y a.
À retenir : Un tableau à deux entrées organise les données selon deux critères.
Fréquence et probabilité
La fréquence est le nombre de fois qu'un événement s'est produit réellement lors d'une expérience répétée. La probabilité théorique est ce qu'on attend mathématiquement. Plus on répète l'expérience, plus la fréquence se rapproche de la probabilité.
Exemple
Lancer un dé 100 fois : on obtient théoriquement 1/6 ≈ 16,7 fois le chiffre 1. En réalité on peut en obtenir 15 ou 18 fois. C'est la fréquence observée.
À retenir : La fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique quand on répète beaucoup.
Simuler une expérience aléatoire
Simuler une expérience aléatoire, c'est reproduire une situation réelle en utilisant un outil (dé, pièce, générateur aléatoire, ordinateur) pour étudier les résultats sans faire l'expérience réelle.
Exemple
Pour savoir si un vaccin fonctionne, on peut simuler avec un ordinateur plutôt que de tester sur des milliers de personnes.
À retenir : Simuler permet d'étudier une expérience rapidement sans la faire réellement.
Les points clés
- La probabilité d'un événement = (cas favorables) / (cas possibles), toujours entre 0 et 1
- Dans un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d'un chemin
- Les probabilités des événements contraires s'ajoutent à 1 : P(A) + P(non A) = 1
- La fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique avec beaucoup de répétitions
- Un tableau à deux entrées organise les données selon deux critères différents
L'essentiel
La probabilité mesure la chance qu'un événement se produise : c'est le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles, et elle est toujours entre 0 et 1.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Dans un sac, il y a 5 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules vertes. On tire une boule au hasard. Calcule la probabilité de tirer une boule rouge, puis la probabilité de ne pas tirer une boule rouge.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On lance deux dés à 6 faces. Dessine un arbre pondéré et calcule la probabilité d'obtenir deux nombres pairs.
Corrige cet exercice avec le tuteur →