Pythagore et trigonométrie — approfondissement en 3ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de pythagore et trigonométrie — approfondissement pour les élèves de 3ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Théorème de Pythagore : rappel et applications
- Réciproque du théorème de Pythagore : démontrer qu'un triangle est rectangle
- Cosinus, sinus, tangente dans le triangle rectangle (rappel)
- Calcul de longueurs et d'angles avec la trigonométrie
- Applications en géométrie dans l'espace : diagonale d'un pavé
- Calcul de distances et hauteurs dans l'espace
- Problèmes de synthèse combinant Pythagore et trigonométrie
Théorème de Pythagore : rappel
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. C'est une relation mathématique fondamentale pour calculer des longueurs.
Exemple
Un électricien pose une échelle contre un mur : si le mur fait 3 m de haut et le pied de l'échelle est à 4 m du mur, l'échelle mesure 5 m. On vérifie : 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
À retenir : Dans un triangle rectangle : $a^2 + b^2 = c^2$ où c est l'hypoténuse.
Réciproque de Pythagore
Si dans un triangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. C'est l'inverse du théorème : on l'utilise pour prouver qu'un triangle est rectangle.
Exemple
Un menuisier veut vérifier que son cadre est bien rectangulaire. Il mesure les deux côtés (60 cm et 80 cm) et la diagonale (100 cm). Il calcule : 60² + 80² = 3600 + 6400 = 10000 = 100². Le cadre est rectangle !
À retenir : Si $a^2 + b^2 = c^2$, alors le triangle est rectangle.
Cosinus, sinus, tangente : rappel
Ce sont trois rapports trigonométriques qui relient les côtés d'un triangle rectangle à ses angles. Ils permettent de calculer des longueurs ou des angles quand on en connaît d'autres.
Exemple
Un skieur descend une pente : si on connaît l'angle de la pente et la distance parcourue, on peut calculer la hauteur perdue avec le sinus.
À retenir : Dans un triangle rectangle : $\cos(\alpha) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\sin(\alpha) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\tan(\alpha) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
Calcul de longueurs avec trigonométrie
Quand on connaît un angle et une longueur dans un triangle rectangle, on utilise cosinus, sinus ou tangente pour trouver les autres longueurs. On choisit le rapport selon ce qu'on connaît et ce qu'on cherche.
Exemple
Un drone filme un bâtiment : il est à 50 m de distance horizontale et l'angle d'élévation est 35°. On peut calculer la hauteur du bâtiment avec la tangente : hauteur = 50 × tan(35°).
À retenir : Identifier l'angle, le côté connu et le côté cherché, puis choisir cos, sin ou tan.
Calcul d'angles avec trigonométrie
Quand on connaît deux longueurs dans un triangle rectangle, on peut calculer les angles en utilisant les fonctions inverses (arccos, arcsin, arctan). La calculatrice fait ce calcul automatiquement.
Exemple
Un photographe veut connaître l'angle de vue de son appareil photo. Si l'objectif voit 30 cm de largeur à 50 cm de distance, il calcule : angle = arctan(30/50) ≈ 31°.
À retenir : Utiliser arccos, arcsin ou arctan sur la calculatrice pour trouver l'angle à partir des côtés.
Diagonale d'un pavé droit
Un pavé droit est une boîte rectangulaire en 3D. Sa diagonale est la ligne qui traverse l'intérieur de la boîte d'un coin à l'autre. On la calcule en appliquant Pythagore deux fois : d'abord sur la base, puis en hauteur.
Exemple
Une boîte de pizza mesure 30 cm × 40 cm × 5 cm. Pour savoir si une baguette de 50 cm rentre en diagonale : diagonale = √(30² + 40² + 5²) = √(900 + 1600 + 25) = √2525 ≈ 50,2 cm. Juste !
À retenir : Diagonale d'un pavé : $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ où a, b, c sont les trois dimensions.
Calcul de distances et hauteurs en 3D
Dans l'espace, on combine Pythagore et trigonométrie pour calculer des distances inaccessibles (hauteur d'une montagne, distance d'une étoile) ou des longueurs dans des solides complexes.
Exemple
Un alpiniste voit le sommet d'une montagne sous un angle de 30° à 1000 m de distance horizontale. La hauteur = 1000 × tan(30°) ≈ 577 m.
À retenir : Décomposer le problème 3D en triangles rectangles 2D, puis appliquer Pythagore ou trigonométrie.
Problèmes de synthèse
Ces problèmes combinent plusieurs notions : Pythagore pour vérifier des angles droits, trigonométrie pour calculer des longueurs ou des angles, et géométrie 3D pour les solides. Il faut bien lire l'énoncé et identifier quelle méthode utiliser.
Exemple
Une rampe d'accès pour handicapés : elle doit monter 80 cm sur une distance horizontale de 1,5 m. Quelle est sa longueur ? Quel est son angle ? On utilise Pythagore pour la longueur et arctan pour l'angle.
À retenir : Lire l'énoncé, dessiner la situation, identifier les triangles rectangles, puis choisir Pythagore ou trigonométrie.
Les points clés
- Pythagore s'utilise quand on a deux côtés et qu'on cherche le troisième dans un triangle rectangle
- La réciproque de Pythagore sert à prouver qu'un triangle est rectangle
- Trigonométrie (cos, sin, tan) s'utilise quand on a un angle et un côté, ou deux côtés et qu'on cherche un angle
- En 3D, décomposer toujours le problème en triangles rectangles 2D
- Bien identifier quel rapport trigonométrique utiliser : adjacent/opposé/hypoténuse
L'essentiel
Pythagore calcule les longueurs dans un triangle rectangle, trigonométrie calcule les angles et les longueurs quand on connaît un angle.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un triangle ABC a pour côtés AB = 5 cm, AC = 12 cm et BC = 13 cm. Prouve que ce triangle est rectangle et identifie l'angle droit. Ensuite, calcule l'angle ABC (arrondi au degré).
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une boîte rectangulaire mesure 6 cm × 8 cm × 10 cm. Calcule la longueur de sa diagonale. Ensuite, un objet en forme de baguette mesure 12 cm. Peut-il rentrer dans la boîte en diagonale ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →