Puissances, notation scientifique, arithmétique et racines carrées en 3ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de puissances, notation scientifique, arithmétique et racines carrées pour les élèves de 3ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Puissances d'exposant entier positif et négatif
- Puissances de 10 et notation scientifique
- Ordre de grandeur
- Division euclidienne
- Multiples et diviseurs
- Décomposition en produit de facteurs premiers
- Fractions irréductibles
- Racine carrée d'un nombre positif
- Encadrer une racine carrée par deux entiers consécutifs
Ce que tu vas réviser
- Puissances d'exposant entier (positif et négatif)
- Règles de calcul sur les puissances
- Puissances de 10 et notation scientifique
- Ordre de grandeur
- Division euclidienne ; multiples et diviseurs
- Nombres premiers ; décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers
- Fractions irréductibles
- Racine carrée d'un nombre positif
- Encadrer la racine carrée d'un entier par deux entiers consécutifs
Puissances d'exposant entier positif et négatif
Pour un nombre $a$ et un entier $n \geq 1$, $a^n = a \times a \times ... \times a$ ($n$ facteurs égaux à $a$). Pour $a \neq 0$, on pose $a^0 = 1$ et $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Exemple
Une feuille pliée en deux, puis encore en deux, puis encore en deux forme $2^3 = 8$ épaisseurs. Et $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = 0{,}001$ : un millimètre vaut $10^{-3}$ mètre.
À retenir : $a^n$ : $n$ facteurs égaux à $a$ ; $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ et $a^0 = 1$ (avec $a \neq 0$).
Règles de calcul sur les puissances
Pour des puissances d'un même nombre $a$ : $a^m \times a^n = a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ et $(a^m)^n = a^{m \times n}$.
Exemple
$10^2 \times 10^3 = 100 \times 1\,000 = 100\,000 = 10^{2+3} = 10^5$. Attention, pour une somme il n'y a pas de règle : $10^2 + 10^3 = 100 + 1\,000 = 1\,100$.
À retenir : On additionne les exposants quand on multiplie des puissances du même nombre ; on ne peut pas le faire pour une addition.
Puissances de 10 et notation scientifique
La notation scientifique permet d'écrire les très grands ou très petits nombres de façon compacte : un nombre compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu), multiplié par une puissance de 10. Par exemple, $45\,000 = 4{,}5 \times 10^4$.
Exemple
La distance entre la Terre et le Soleil est d'environ 150 millions de km, soit $1{,}5 \times 10^8$ km. Un millimètre vaut 0,001 m, soit $1 \times 10^{-3}$ m.
À retenir : La notation scientifique s'écrit $a \times 10^n$ où $1 \leq a < 10$ et $n$ est un entier relatif.
Ordre de grandeur
Donner un ordre de grandeur, c'est remplacer un nombre par une valeur simple et proche (souvent une puissance de 10) pour avoir une idée de sa taille ou contrôler un résultat.
Exemple
Pour estimer $49 \times 21$, on calcule $50 \times 20 = 1\,000$ : le résultat exact, 1 029, est bien proche. Une ville de 200 000 habitants ($2 \times 10^5$) a pour ordre de grandeur $10^5$ habitants.
À retenir : L'ordre de grandeur sert à vérifier qu'un résultat est vraisemblable.
Division euclidienne
Faire la division euclidienne d'un entier $a$ par un entier $b$ non nul, c'est écrire $a = b \times q + r$ avec $0 \leq r < b$. $q$ est le quotient et $r$ le reste.
Exemple
17 bonbons à répartir dans 5 sacs : $17 = 5 \times 3 + 2$. Chaque sac reçoit 3 bonbons et il en reste 2.
À retenir : Dans la division euclidienne, le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur.
Multiples et diviseurs
Si $a = b \times k$ avec $k$ entier, on dit que $a$ est un multiple de $b$ et que $b$ est un diviseur de $a$ : le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul.
Exemple
$36 = 4 \times 9$ : 36 est un multiple de 4 et de 9, et 4 et 9 sont des diviseurs de 36. Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.
À retenir : $b$ divise $a$ lorsque le reste de la division de $a$ par $b$ est 0.
Nombres premiers
Un nombre premier est un entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Le nombre 1 n'est donc pas premier (il n'a qu'un diviseur).
Exemple
Les nombres premiers inférieurs à 20 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19. On ne peut ranger 13 billes en rangées égales que de deux façons (1 rangée de 13 ou 13 rangées de 1), car 13 est premier ; 12 billes peuvent former 2 rangées de 6, 3 rangées de 4, etc.
À retenir : 2 est le seul nombre premier pair. Tout entier supérieur à 1 se décompose en produit de nombres premiers, par exemple $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.
Décomposition en produit de facteurs premiers
Tout entier supérieur ou égal à 2 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique (à l'ordre des facteurs près). Pour l'obtenir, on divise successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11… tant que la division tombe juste, jusqu'à obtenir le quotient 1.
Exemple
$84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 7$, donc $84 = 2^2 \times 3 \times 7$. De même, $126 = 2 \times 63 = 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 3 \times 3 \times 7$, donc $126 = 2 \times 3^2 \times 7$. Les facteurs premiers communs à 84 et 126 sont 2, 3 et 7.
À retenir : On divise par 2 tant que c'est possible, puis par 3, puis par 5, 7…, et on regroupe les facteurs égaux sous forme de puissances : par exemple $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.
Fractions irréductibles
Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun que 1. Pour rendre une fraction irréductible, on décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on simplifie par tous les facteurs premiers communs.
Exemple
$\frac{84}{126} = \frac{2 \times 2 \times 3 \times 7}{2 \times 3 \times 3 \times 7} = \frac{2}{3}$ : on a simplifié par 2, par 3 et par 7. De même, $\frac{12}{18} = \frac{2 \times 2 \times 3}{2 \times 3 \times 3} = \frac{2}{3}$. La fraction $\frac{2}{3}$ est irréductible : 2 et 3 n'ont que 1 comme diviseur commun.
À retenir : Pour rendre une fraction irréductible : décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers, puis simplifier par tous les facteurs premiers communs.
Racine carrée d'un nombre positif
Pour un nombre $a \geq 0$, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré est égal à $a$. Par exemple $\sqrt{25} = 5$ car $5 \times 5 = 25$ et $5 \geq 0$.
Exemple
Un carré d'aire 16 m² a pour côté $\sqrt{16} = 4$ m. Une image carrée de 9 000 000 pixels a $\sqrt{9\,000\,000} = 3\,000$ pixels de côté.
À retenir : $\sqrt{a}$ n'existe que pour $a \geq 0$, et $(\sqrt{a})^2 = a$.
Encadrer une racine carrée par deux entiers consécutifs
Encadrer $\sqrt{a}$, c'est trouver deux entiers consécutifs entre lesquels elle se trouve. Par exemple, puisque $3^2 = 9$ et $4^2 = 16$, et que $9 < 10 < 16$, on a $3 < \sqrt{10} < 4$.
Exemple
Pour encadrer $\sqrt{50}$ : $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$, donc $7 < \sqrt{50} < 8$. Un terrain carré d'aire 50 m² a un côté compris entre 7 et 8 mètres.
À retenir : Si $n^2 < a < (n+1)^2$, alors $n < \sqrt{a} < n+1$ : on cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui encadrent $a$.
Les points clés
- $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ et $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$)
- $a^m \times a^n = a^{m+n}$ : on additionne les exposants quand on multiplie (pas quand on additionne)
- Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$
- Un ordre de grandeur permet de contrôler qu'un résultat est vraisemblable
- Division euclidienne : $a = b \times q + r$ avec $0 \leq r < b$
- Nombre premier : exactement deux diviseurs, 1 et lui-même (1 n'est pas premier)
- Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers, par exemple $84 = 2^2 \times 3 \times 7$
- Fraction irréductible : on simplifie par tous les facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur
- $\sqrt{a}$ est le nombre positif tel que $(\sqrt{a})^2 = a$
- Si $n^2 < a < (n+1)^2$ alors $n < \sqrt{a} < n+1$
L'essentiel
Les puissances, la notation scientifique, la division euclidienne, les nombres premiers et les racines carrées sont des outils de calcul de base : connais les définitions, les règles sur les exposants et la décomposition en produit de facteurs premiers, qui sert à rendre une fraction irréductible.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Écris le nombre 0,00032 en notation scientifique et donne son ordre de grandeur. Calcule ensuite $10^{-3} \times 10^{5}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Décompose 90 et 150 en produits de facteurs premiers, puis écris la fraction $\frac{90}{150}$ sous forme irréductible.
Corrige cet exercice avec le tuteur →