Puissances et notation scientifique en 3ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de puissances et notation scientifique pour les élèves de 3ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Puissances d'exposant entier (positif et négatif)
- Règles de calcul sur les puissances
- Puissances de 10 et notation scientifique
- Ordre de grandeur
- Division euclidienne ; multiples et diviseurs
- PGCD de deux entiers ; algorithme d'Euclide
- Fractions irréductibles
- Nombres premiers (notion, sensibilisation)
- Racine carrée d'un nombre positif
- Encadrer la racine carrée d'un entier par deux entiers consécutifs
Puissances positives : a^n
Une puissance est une multiplication répétée du même nombre. $a^n$ signifie multiplier $a$ par lui-même $n$ fois. Par exemple, $2^3 = 2 × 2 ×2 = 8$.
Exemple
Un virus qui se divise : si un virus se multiplie par 2 chaque heure, après 3 heures tu as $2^3 = 8$ virus. C'est comme les cellules qui se reproduisent.
À retenir : $a^n$ = $a$ multiplié par lui-même $n$ fois, et $a^0 = 1$ pour tout nombre $a$ non nul.
Puissances négatives : a^(-n)
Une puissance négative représente l'inverse d'une puissance positive. $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Par exemple, $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Exemple
En chimie, les atomes sont très petits : on utilise des puissances négatives pour exprimer des distances minuscules, comme $10^{-9}$ mètre (un nanomètre).
À retenir : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ : une puissance négative, c'est l'inverse de la puissance positive.
Règles de calcul avec les puissances
Il existe des règles pour multiplier, diviser ou simplifier les puissances. Les principales sont : $a^m × a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{m×n}$, et $(ab)^n = a^n × b^n$.
Exemple
Sur un disque dur : si tu as $10^6$ fichiers de $10^3$ octets chacun, tu peux calculer rapidement : $10^6 × 10^3 = 10^9$ octets au total.
À retenir : Quand tu multiplies des puissances de même base, tu ajoutes les exposants : $a^m × a^n = a^{m+n}$.
Puissances de 10 et opérations
Les puissances de 10 sont très utiles pour écrire les grands et petits nombres. $10^3 = 1000$, $10^{-2} = 0,01$. Multiplier par $10^n$ décale la virgule de $n$ rangs vers la droite.
Exemple
La population mondiale : environ 8 milliards = $8 × 10^9$ personnes. C'est beaucoup plus facile à écrire que 8 000 000 000.
À retenir : $10^n$ a un 1 suivi de $n$ zéros ; $10^{-n}$ a $n$ chiffres après la virgule.
Notation scientifique d'un nombre
La notation scientifique écrit un nombre sous la forme $a × 10^n$ où $1 ≤ a < 10$ et $n$ est un entier relatif. Cela permet de comparer facilement les très grands et très petits nombres.
Exemple
La distance Terre-Soleil : 150 000 000 km = $1,5 × 10^8$ km. C'est plus facile à manipuler en calcul.
À retenir : En notation scientifique, le nombre avant la puissance de 10 doit être entre 1 et 10 (sans le 10).
Ordre de grandeur d'un nombre
L'ordre de grandeur est la puissance de 10 la plus proche d'un nombre. C'est utile pour estimer rapidement si un résultat est plausible sans faire le calcul exact.
Exemple
Si tu dois acheter 47 stylos à 2,10 euros chacun : l'ordre de grandeur est $50 × 2 = 100$ euros, donc tu sais que c'est environ $10^2$ euros.
À retenir : L'ordre de grandeur te permet de vérifier si ton résultat est raisonnable.
Préfixes des puissances de 10
Les préfixes (kilo, méga, micro, nano...) sont des raccourcis pour les puissances de 10. Par exemple, 1 kilogramme = $10^3$ grammes, 1 nanomètre = $10^{-9}$ mètre.
Exemple
Sur ton téléphone : la mémoire est en gigaoctets (Go) = $10^9$ octets. Un microprocesseur travaille en nanosecondes = $10^{-9}$ secondes.
À retenir : Kilo = $10^3$, Méga = $10^6$, Giga = $10^9$, Micro = $10^{-6}$, Nano = $10^{-9}$.
Les points clés
- Une puissance $a^n$ signifie multiplier $a$ par lui-même $n$ fois
- Les puissances négatives sont des inverses : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
- Quand on multiplie des puissances de même base, on ajoute les exposants : $a^m × a^n = a^{m+n}$
- La notation scientifique s'écrit $a × 10^n$ avec $1 ≤ a < 10$
- Les préfixes (kilo, méga, micro, nano) correspondent à des puissances de 10
L'essentiel
Les puissances permettent d'écrire simplement les très grands et très petits nombres ; la notation scientifique $a × 10^n$ est l'outil principal pour cela.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Calculer sans calculatrice : a) $5^3$ b) $2^{-4}$ c) $(-3)^2$ d) $10^{-3}$
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Simplifier les expressions suivantes en utilisant les règles de calcul sur les puissances. La réponse doit être sous forme d'une seule puissance. a) $3^5 \times 3^2$ b) $\frac{7^8}{7^3}$ c) $(4^6)^2$ d) $5^3 \times 2^3$
Corrige cet exercice avec le tuteur →