Grandeurs composées, volumes et géométrie dans l'espace en 3ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de grandeurs composées, volumes et géométrie dans l'espace pour les élèves de 3ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Vitesse : distance parcourue par unité de temps
- Pavé droit : boîte avec faces rectangulaires
- Prisme droit : allongement d'une forme plate
- Cylindre : rouleau avec deux bases circulaires
- Cône : cercle qui monte vers un point
- Sphère et boule : ballon parfait
- Perspective cavalière : dessiner un solide 3D sur le papier
- Sections planes parallèles aux faces
- Agrandissement/réduction : rapport k sur longueurs
- Effet d'une réduction/agrandissement sur les aires
Ce que tu vas réviser
- Grandeurs composées : vitesse, débit, masse volumique
- Conversions d'unités (longueur, aire, volume, masse, capacité)
- Solides : pavé droit, prisme, cylindre, pyramide, cône, sphère, boule
- Volume des solides usuels
- Représentations en perspective cavalière ; patrons
- Sections planes simples (parallèles aux faces)
- Effet d'un agrandissement/réduction de rapport k sur longueurs (×k), aires (×k²), volumes (×k³)
Vitesse : distance parcourue par unité de temps
La vitesse mesure la distance qu'on parcourt en un certain temps. On l'exprime en km/h, m/s ou autre unité de distance divisée par une unité de temps.
Exemple
Un cycliste parcourt 30 km en 2 heures. Sa vitesse est de 15 km/h. Un piéton qui marche 5 km en 1 heure a une vitesse de 5 km/h.
À retenir : $\text{Vitesse} = \frac{\text{Distance}}{\text{Temps}}$
Débit : volume écoulé par unité de temps
Le débit mesure la quantité de liquide ou de gaz qui passe en un certain temps. On l'exprime souvent en litres par minute ou en m³ par heure.
Exemple
Un robinet qui remplit une baignoire de 200 litres en 10 minutes a un débit de 20 litres par minute. Ou une rivière qui s'écoule avec un débit de 500 m³/h.
À retenir : $\text{Débit} = \frac{\text{Volume}}{\text{Temps}}$
Masse volumique : masse par unité de volume
La masse volumique mesure la lourdeur d'une matière pour une certaine taille. Elle indique combien pèse un litre ou un m³ de cette matière.
Exemple
L'eau a une masse volumique de 1 kg/L. L'or est beaucoup plus dense : environ 19 kg/L. Un mètre cube d'eau pèse 1000 kg, un mètre cube d'or pèse 19 000 kg.
À retenir : $\text{Masse volumique} = \frac{\text{Masse}}{\text{Volume}}$
Conversions d'unités de longueur
Changer d'unité de longueur, c'est passer de mm à cm, de m à km, etc. On utilise des tableaux de conversion ou les puissances de 10.
Exemple
Un terrain mesure 2,5 km de long. En mètres, c'est 2500 m. Une feuille A4 mesure 210 mm de largeur, soit 21 cm.
À retenir : Retiens : km, hm, dam, m, dm, cm, mm. Pour passer à une unité plus petite (vers la droite), on multiplie le nombre par 10 à chaque rang ; pour passer à une unité plus grande (vers la gauche), on divise le nombre par 10 à chaque rang.
Conversions d'unités d'aire
Changer d'unité d'aire, c'est passer de mm² à cm², de m² à km², etc. Attention : chaque saut divise ou multiplie par 100, pas par 10.
Exemple
Une chambre mesure 4 m × 5 m = 20 m². En cm², c'est 200 000 cm². Un terrain de 1 hectare = 10 000 m².
À retenir : Pour l'aire : chaque saut multiplie ou divise par 100 (car on travaille en deux dimensions).
Conversions d'unités de volume et capacité
Changer d'unité de volume, c'est passer de mm³ à cm³, de m³ à L, etc. Chaque saut divise ou multiplie par 1000 (trois dimensions). 1 L = 1 dm³.
Exemple
Une piscine contient 75 000 litres. C'est 75 m³. Une brique de lait de 1 litre = 1000 cm³.
À retenir : Pour le volume : chaque saut multiplie ou divise par 1000. 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³ = 1 000 000 mm³.
Conversions d'unités de masse
Changer d'unité de masse, c'est passer de mg à g, de g à kg, etc. Chaque saut divise ou multiplie par 10 (contrairement au volume).
Exemple
Un sac de farine pèse 5 kg, soit 5000 g. Un comprimé pèse 500 mg, soit 0,5 g.
À retenir : Pour la masse : chaque saut multiplie ou divise par 10 (g, kg, mg...).
Pavé droit : boîte avec faces rectangulaires
Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un solide à 6 faces rectangulaires. Il a 8 sommets et 12 arêtes. C'est la forme des boîtes, des piscines, des chambres.
Exemple
Une boîte de chaussures, un réfrigérateur, une chambre d'hôtel sont des pavés droits.
À retenir : $\text{Volume du pavé} = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}$
Prisme droit : allongement d'une forme plate
Un prisme droit est un solide formé en allongeant une forme plate (triangle, carré, hexagone...) perpendiculairement. Les deux bases sont identiques et parallèles.
Exemple
Une tente triangulaire est un prisme dont la base est un triangle. Une barre de chocolat avec une section carrée est un prisme à base carrée.
À retenir : $\text{Volume du prisme} = \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$
Cylindre : rouleau avec deux bases circulaires
Un cylindre est un solide formé en déplaçant un disque perpendiculairement à son plan. Il a deux bases, qui sont des disques identiques et parallèles, et une surface latérale courbe.
Exemple
Une canette de soda, un tube de chips, une bougie ronde sont des cylindres.
À retenir : $\text{Volume du cylindre} = \pi r^2 h$ où r est le rayon et h la hauteur.
Pyramide : sommet pointu sur une base plate
Une pyramide est un solide qui a une base plate (carrée, triangulaire, etc.) et des faces triangulaires qui se rejoignent en un point appelé sommet.
Exemple
Les pyramides d'Égypte (base carrée), un dé à jouer à 4 faces (pyramide triangulaire), le toit pointu d'une tour à base carrée.
À retenir : $\text{Volume de la pyramide} = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$
Cône : cercle qui monte vers un point
Un cône est un solide avec une base circulaire et une surface latérale courbe qui se termine en un point appelé sommet. C'est comme une pyramide avec une base ronde.
Exemple
Un chapeau de clown, un cornet de glace, un cône de chantier, une carotte.
À retenir : $\text{Volume du cône} = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times h$
Sphère et boule : ballon parfait
Une sphère est la surface d'une boule (l'enveloppe). Une boule est le solide plein. Tous les points à la surface sont à égale distance du centre (le rayon).
Exemple
Une orange, une bille, la Terre (approximativement) sont des boules ; la surface d'un ballon de foot est une sphère.
À retenir : $\text{Volume de la boule} = \frac{4}{3} \times \pi r^3$
Perspective cavalière : dessiner un solide 3D sur le papier
La perspective cavalière est une manière de dessiner un objet en 3D sur une feuille plate. Les arêtes verticales restent verticales, les arêtes qui s'éloignent sont dessinées obliquement.
Exemple
Quand tu dessines un cube sur ton cahier : tu vois la face de face en carré, et les autres faces visibles (dessus et côté) sont dessinées en parallélogrammes.
À retenir : En perspective cavalière : la face avant est dessinée en vraie grandeur (les verticales restent verticales, les horizontales restent horizontales) ; les fuyantes, arêtes qui s'éloignent, sont tracées obliquement (souvent à 45°) et réduites.
Patron : déplier un solide 3D sur le papier
Un patron est le dessin plat d'un solide. Si tu découpes et plies le patron, tu reconstruis le solide. Chaque solide a plusieurs patrons possibles.
Exemple
Le patron d'une boîte de pizza : c'est le carton déplié, à plat, avant pliage. Le patron d'un dé : 6 carrés reliés.
À retenir : Un patron montre toutes les faces du solide à plat ; quand on le plie, on retrouve le solide 3D.
Sections planes parallèles aux faces
Une section plane est la forme qu'on voit quand on coupe un solide avec un plan (une lame très fine). Un pavé droit coupé parallèlement à une face donne un rectangle de mêmes dimensions que cette face. Un cylindre coupé parallèlement à ses bases donne un disque de même rayon. Une pyramide ou un cône coupés parallèlement à la base donnent une réduction de la base.
Exemple
Si on coupe un pavé droit horizontalement (parallèle au sol), la section est un rectangle. Si on coupe une boule, la section est toujours un disque.
À retenir : Pavé droit ou prisme droit coupé parallèlement à une face : même forme et mêmes dimensions que cette face. Pyramide ou cône coupé parallèlement à la base : réduction de la base.
Agrandissement/réduction : rapport k sur longueurs
Agrandir ou réduire un solide avec un rapport k, c'est multiplier toutes les longueurs par k. Si k = 2, toutes les dimensions doublent. Si k = 0,5, elles divisent par 2.
Exemple
Une photo agrandie par 2 : deux fois plus large, deux fois plus haute. Un modèle réduit de voiture à l'échelle 1/100 : 100 fois plus petit.
À retenir : Avec un rapport k, toutes les longueurs sont multipliées par k.
Effet d'une réduction/agrandissement sur les aires
Quand on agrandit ou réduit un solide avec un rapport k, les aires de ses faces sont multipliées par k². Si k = 2, les aires deviennent 4 fois plus grandes.
Exemple
Une photo agrandie par 2 occupe 4 fois plus de surface sur le mur (2² = 4). Un terrain réduit à l'échelle 1/10 a une aire 100 fois plus petite (0,1² = 0,01).
À retenir : Avec un rapport k, les aires sont multipliées par $k^2$.
Effet d'une réduction/agrandissement sur les volumes
Quand on agrandit ou réduit un solide avec un rapport k, ses volumes sont multipliés par k³. Si k = 2, le volume devient 8 fois plus grand (2³ = 8).
Exemple
Un cube d'arête 1 cm a un volume 1 cm³. Un cube d'arête 2 cm (agrandissement par 2) a un volume 8 cm³. Une réduction à l'échelle 1/2 divise le volume par 8.
À retenir : Avec un rapport k, les volumes sont multipliés par $k^3$.
Les points clés
- Vitesse = Distance / Temps ; Débit = Volume / Temps ; Masse volumique = Masse / Volume
- Conversions longueur : ×10 ou ÷10 à chaque saut ; aire : ×100 ou ÷100 ; volume : ×1000 ou ÷1000
- Formules de volume : Pavé = L×l×h ; Cylindre = πr²h ; Pyramide = (1/3)×base×h ; Cône = (1/3)×πr²h ; Boule = (4/3)×πr³
- Agrandissement/réduction de rapport k : longueurs ×k ; aires ×k² ; volumes ×k³
- Patron : déplie le solide pour le visualiser à plat ; section plane : coupe du solide par un plan
L'essentiel
Les trois grandeurs composées (vitesse, débit, masse volumique) s'obtiennent en divisant deux grandeurs simples, et les formules de volumes doivent être apprises par cœur. Attention aux conversions : 10 pour les longueurs, 100 pour les aires, 1000 pour les volumes.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un réservoir cylindrique a un rayon de 3 m et une hauteur de 5 m. On veut le remplir avec de l'eau à un débit de 200 litres par minute. Combien de temps (en heures et minutes) faudra-t-il pour remplir complètement le réservoir ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une pyramide à base carrée a une hauteur de 12 cm et une arête de base de 8 cm. On en crée un agrandissement de rapport 2,5. Quel sera le volume du solide agrandi ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →