Géométrie en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de géométrie pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Repère orthonormé et coordonnées d'un point
- Coordonnées du milieu d'un segment
- Distance entre deux points dans un repère orthonormé
- Vecteur directeur d'une droite
- Équation cartésienne d'une droite
- Équation réduite d'une droite et pente
- Déterminer une équation de droite
- Droites parallèles ou sécantes ; point d'intersection
- Alignement de trois points et parallélisme de deux droites
Ce que tu vas réviser
- Repère orthonormé : coordonnées d'un point
- Coordonnées du milieu d'un segment
- Distance entre deux points dans un repère orthonormé
- Vecteur directeur d'une droite
- Équation cartésienne d'une droite : ax + by + c = 0
- Équation réduite d'une droite : y = mx + p, pente
- Déterminer une équation de droite : deux points, point et vecteur directeur, point et pente
- Droites parallèles ou sécantes ; point d'intersection de deux droites sécantes
- Alignement de trois points, parallélisme de deux droites
Repère orthonormé et coordonnées d'un point
Un repère $(O ; I, J)$ du plan est orthonormé lorsque les axes $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires et que $OI = OJ = 1$ (même unité sur les deux axes). Chaque point $M$ du plan est repéré par un unique couple de coordonnées $(x ; y)$ : $x$ est l'abscisse (lue sur l'axe horizontal), $y$ est l'ordonnée (lue sur l'axe vertical).
Exemple
Le point $A(3 ; -2)$ s'obtient en partant de l'origine $O$, en avançant de 3 unités vers la droite puis de 2 unités vers le bas. L'origine a pour coordonnées $(0 ; 0)$ ; un point de l'axe des abscisses a une ordonnée nulle.
À retenir : On écrit toujours l'abscisse en premier : $M(x ; y)$.
Coordonnées du milieu d'un segment
Le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées de $A$ et $B$ : $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ et $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$.
Exemple
Avec $A(-1 ; 4)$ et $B(5 ; 2)$ : $x_M = \frac{-1 + 5}{2} = 2$ et $y_M = \frac{4 + 2}{2} = 3$, donc $M(2 ; 3)$.
À retenir : $M\left(\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$
Distance entre deux points dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, la distance entre $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ est $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Cette formule vient du théorème de Pythagore ; elle n'est valable que si le repère est orthonormé.
Exemple
Avec $A(-1 ; 4)$ et $B(5 ; 2)$ : $AB = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32$.
À retenir : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ (repère orthonormé uniquement).
Vecteur directeur d'une droite
Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur non nul $\vec{u}$ qui a un représentant $\overrightarrow{AB}$ avec $A$ et $B$ deux points distincts de $d$ : il donne la « direction » de la droite. Tout vecteur non nul colinéaire à $\vec{u}$ est aussi un vecteur directeur de $d$. Si $d$ a pour équation $ax + by + c = 0$, alors $\vec{u}(-b ; a)$ est un vecteur directeur de $d$ ; si $d$ a pour équation $y = mx + p$, alors $\vec{u}(1 ; m)$ en est un.
Exemple
La droite $d : 2x - y + 3 = 0$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(-(-1) ; 2) = \vec{u}(1 ; 2)$. En équation réduite, $d : y = 2x + 3$, et on retrouve le vecteur $(1 ; m) = (1 ; 2)$.
À retenir : $ax + by + c = 0$ : vecteur directeur $(-b ; a)$ ; $y = mx + p$ : vecteur directeur $(1 ; m)$.
Équation cartésienne d'une droite
Toute droite du plan admet une équation de la forme $ax + by + c = 0$, avec $a$ et $b$ non tous les deux nuls : c'est une équation cartésienne. Un point $M(x ; y)$ appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation. Une droite a une infinité d'équations cartésiennes : on les obtient en multipliant tous les coefficients par un même nombre non nul.
Exemple
Pour $d : 2x - y + 3 = 0$ : le point $A(1 ; 5)$ est sur $d$ car $2 \times 1 - 5 + 3 = 0$ ; le point $B(0 ; 1)$ n'y est pas car $2 \times 0 - 1 + 3 = 2 \neq 0$. L'équation $4x - 2y + 6 = 0$ décrit la même droite.
À retenir : $M(x ; y) \in d \iff ax + by + c = 0$.
Équation réduite d'une droite et pente
Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une unique équation de la forme $y = mx + p$ : c'est son équation réduite. Le nombre $m$ est la pente (ou coefficient directeur) : quand $x$ augmente de 1, $y$ augmente de $m$. Le nombre $p$ est l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; p)$. Une droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme $x = c$. Si $x_A \neq x_B$, la pente de $(AB)$ est $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
Exemple
$2x - y + 3 = 0 \iff y = 2x + 3$ : la pente est $m = 2$ et l'ordonnée à l'origine est $p = 3$. La droite passant par $A(1 ; 2)$ et $B(3 ; 8)$ a pour pente $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$.
À retenir : $y = mx + p$ : $m$ = pente, $p$ = ordonnée à l'origine ; $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
Déterminer une équation de droite
Trois cas. Deux points $A$ et $B$ (avec $x_A \neq x_B$) : on calcule la pente $m$, puis $p$ en écrivant que $A$ est sur la droite. Un point $A$ et une pente $m$ : on écrit $y = mx + p$ et on trouve $p$ avec les coordonnées de $A$. Un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}(\alpha ; \beta)$ : $M(x ; y)$ est sur la droite si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul : $(x - x_A)\beta - (y - y_A)\alpha = 0$.
Exemple
Droite passant par $A(1 ; 2)$ et $B(3 ; 8)$ : $m = 3$, et $2 = 3 \times 1 + p$ donne $p = -1$, donc $y = 3x - 1$ (vérification avec $B$ : $3 \times 3 - 1 = 8$). Droite passant par $A(2 ; -1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(3 ; 1)$ : $(x - 2) \times 1 - (y + 1) \times 3 = 0$, soit $x - 3y - 5 = 0$ (vérification avec $A$ : $2 + 3 - 5 = 0$).
À retenir : Point + vecteur directeur : $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0$ ; deux points ou point + pente : on cherche $m$ puis $p$.
Droites parallèles ou sécantes ; point d'intersection
Deux droites d'équations réduites $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente ($m = m'$) ; sinon, elles sont sécantes. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Si elles sont sécantes, les coordonnées de leur point d'intersection sont la solution du système formé par leurs deux équations.
Exemple
$d : y = 2x + 1$ et $d' : y = -x + 4$ : les pentes 2 et $-1$ sont différentes, donc les droites sont sécantes. On résout $2x + 1 = -x + 4$, donc $3x = 3$ et $x = 1$ ; puis $y = 2 \times 1 + 1 = 3$. Le point d'intersection est $I(1 ; 3)$ (vérification dans $d'$ : $-1 + 4 = 3$).
À retenir : Même pente : parallèles ; pentes différentes : sécantes, et on résout le système pour trouver le point d'intersection.
Alignement de trois points et parallélisme de deux droites
Le déterminant des vecteurs $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ est $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$ ; les deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est nul. Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
Exemple
$A(1 ; 2)$, $B(3 ; 8)$, $C(4 ; 11)$ : $\overrightarrow{AB}(2 ; 6)$ et $\overrightarrow{AC}(3 ; 9)$, donc $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ : les points $A$, $B$, $C$ sont alignés. (On le vérifie aussi avec l'équation $y = 3x - 1$ : $3 \times 4 - 1 = 11$.)
À retenir : $A$, $B$, $C$ alignés $\iff \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0$ ; $(AB) \parallel (CD) \iff \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0$.
Les points clés
- Repère orthonormé : axes perpendiculaires et même unité sur les deux axes ; un point a pour coordonnées (abscisse ; ordonnée)
- Milieu de $[AB]$ : $\left(\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$
- Distance (repère orthonormé) : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
- Vecteur directeur : $(-b ; a)$ pour $ax + by + c = 0$, $(1 ; m)$ pour $y = mx + p$
- Équation réduite $y = mx + p$ : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ est la pente, $p$ l'ordonnée à l'origine
- Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente (ou des vecteurs directeurs colinéaires)
- Point d'intersection de deux droites sécantes : solution du système de leurs équations
- Colinéarité : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y = 0$ ; elle sert à prouver un alignement ou un parallélisme
L'essentiel
Dans un repère orthonormé, les coordonnées permettent de calculer milieux et distances, et d'écrire les équations de droites (cartésienne $ax + by + c = 0$ ou réduite $y = mx + p$). La pente, le vecteur directeur et le déterminant permettent ensuite de décider si des droites sont parallèles ou sécantes et si des points sont alignés.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-2 ; 1)$, $B(4 ; 3)$ et $C(7 ; 4)$. 1) Calcule les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$. 2) Calcule la valeur exacte de la distance $AB$. 3) Détermine l'équation réduite de la droite $(AB)$. 4) Le point $C$ appartient-il à la droite $(AB)$ ? Confirme avec un déterminant.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un repère orthonormé, $d$ est la droite d'équation $2x + y - 5 = 0$ et $d'$ est la droite passant par $E(0 ; -1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(1 ; 3)$. 1) Donne un vecteur directeur de $d$. 2) Détermine une équation cartésienne de $d'$. 3) Les droites $d$ et $d'$ sont-elles parallèles ou sécantes ? 4) Si elles sont sécantes, calcule les coordonnées de leur point d'intersection.
Corrige cet exercice avec le tuteur →