Géométrie en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de géométrie pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Repère du plan : repère orthonormé, coordonnées d'un point
- Coordonnées du milieu d'un segment
- Distance entre deux points dans un repère
- Équation réduite d'une droite : y = mx + p
- Équation cartésienne d'une droite : ax + by + c = 0
- Droites parallèles et sécantes : conditions analytiques
- Systèmes de deux équations à deux inconnues (interprétation graphique)
- Configurations du plan : alignement, parallélisme, orthogonalité
Repère orthonormé du plan
Un repère orthonormé est un système de deux axes perpendiculaires (x et y) qui se croisent à l'origine. Les graduations sur les deux axes sont identiques, ce qui permet de localiser précisément n'importe quel point du plan.
Exemple
Sur Google Maps, ta position est donnée par deux coordonnées (latitude, longitude). C'est exactement le principe d'un repère orthonormé : deux nombres pour situer un endroit.
À retenir : Un repère orthonormé a deux axes perpendiculaires avec des unités égales sur chaque axe.
Coordonnées d'un point
Les coordonnées d'un point sont deux nombres (x, y) qui indiquent sa position exacte dans le repère. x est l'abscisse (position horizontale) et y est l'ordonnée (position verticale).
Exemple
Si tu joues à un jeu vidéo, ton personnage a une position donnée par deux nombres : sa distance à gauche/droite et sa distance haut/bas. Ce sont ses coordonnées.
À retenir : Un point se note A(x, y) où x est l'abscisse et y est l'ordonnée.
Milieu d'un segment
Le milieu d'un segment est le point qui se trouve exactement au centre, à égale distance des deux extrémités. On le calcule en faisant la moyenne des coordonnées des deux points.
Exemple
Si tu dois te donner rendez-vous avec un ami à mi-chemin entre vos deux maisons, vous vous retrouvez au milieu du segment qui relie vos deux positions.
À retenir : Le milieu M de [AB] a pour coordonnées $M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$
Distance entre deux points
La distance entre deux points A et B dans un repère se calcule avec une formule basée sur le théorème de Pythagore. Elle mesure la longueur du segment qui relie ces deux points.
Exemple
Si tu veux connaître la distance réelle entre deux villes sur une carte avec une échelle, tu utilises la distance entre leurs coordonnées.
À retenir : La distance AB est donnée par $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
Équation réduite d'une droite
L'équation réduite d'une droite est de la forme y = mx + p. Le nombre m est la pente (ou coefficient directeur) qui indique l'inclinaison, et p est l'ordonnée à l'origine (où la droite coupe l'axe y).
Exemple
Le tarif d'un taxi est souvent : prix = 2,50 euros par km + 5 euros de prise en charge. C'est une équation du type y = mx + p où m = 2,50 et p = 5.
À retenir : Dans y = mx + p, m est la pente et p est l'ordonnée à l'origine.
Équation cartésienne d'une droite
L'équation cartésienne d'une droite est de la forme ax + by + c = 0. C'est une autre façon d'écrire l'équation d'une droite, plus générale que la forme réduite.
Exemple
Au lieu de dire 'y = 2x + 3', on peut écrire '2x - y + 3 = 0'. C'est la même droite, juste écrite différemment.
À retenir : Une équation cartésienne ax + by + c = 0 représente une droite du plan.
Droites parallèles et sécantes
Deux droites sont parallèles si elles ne se croisent jamais. Deux droites sont sécantes si elles se croisent en un point. Analytiquement, deux droites sont parallèles si elles ont la même pente.
Exemple
Les rails d'une voie ferrée sont parallèles. Deux routes qui se croisent sont sécantes.
À retenir : Deux droites y = m₁x + p₁ et y = m₂x + p₂ sont parallèles si et seulement si m₁ = m₂.
Systèmes de deux équations
Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux équations qu'on doit résoudre simultanément. Graphiquement, la solution est le point d'intersection des deux droites.
Exemple
Tu dois trouver le prix d'une pomme et d'une orange sachant que 2 pommes + 1 orange coûtent 3 euros et 1 pomme + 2 oranges coûtent 4 euros. C'est un système.
À retenir : Résoudre un système, c'est trouver les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
Alignement de trois points
Trois points sont alignés s'ils se trouvent sur la même droite. On peut vérifier cela en calculant les pentes entre les points : si elles sont égales, les points sont alignés.
Exemple
Si tu places trois points sur une feuille et que tu peux les relier avec une seule règle sans la bouger, ils sont alignés.
À retenir : Trois points A, B, C sont alignés si la pente AB égale la pente AC.
Orthogonalité de deux droites
Deux droites sont orthogonales (perpendiculaires) si elles se croisent en formant un angle droit. Analytiquement, si les pentes sont m₁ et m₂, les droites sont orthogonales si m₁ × m₂ = -1.
Exemple
Les murs d'une pièce rectangulaire sont perpendiculaires. Les axes x et y d'un repère orthonormé sont perpendiculaires.
À retenir : Deux droites de pentes m₁ et m₂ sont perpendiculaires si m₁ × m₂ = -1.
Les points clés
- Un repère orthonormé permet de localiser précisément chaque point avec deux coordonnées (x, y)
- La distance entre deux points se calcule avec la formule $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
- Une droite peut s'écrire sous forme réduite y = mx + p ou cartésienne ax + by + c = 0
- Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente, perpendiculaires si le produit de leurs pentes égale -1
- Résoudre un système de deux équations revient à trouver le point d'intersection des deux droites
L'essentiel
La géométrie analytique permet de transformer des problèmes géométriques en calculs algébriques en utilisant les coordonnées des points.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit A(1, 2) et B(5, 8). Calcule les coordonnées du milieu M de [AB] et la distance AB.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Les droites d₁ : y = 2x + 1 et d₂ : y = -0,5x + 4 sont-elles perpendiculaires ? Trouve leur point d'intersection.
Corrige cet exercice avec le tuteur →