Géométrie plane et mesure en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de géométrie plane et mesure pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Théorème de Pythagore et réciproque
- Théorème de Thalès et configurations
- Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Périmètres, aires et volumes usuels
- Conversion d'unités et calculs appliqués
Théorème de Pythagore et réciproque
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le côté le plus long) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. La réciproque permet de vérifier qu'un triangle est rectangle en testant cette relation.
Exemple
Un menuisier veut vérifier qu'un coin de mur est bien à angle droit. Il mesure 3 m sur un mur, 4 m sur l'autre, et 5 m en diagonale. Comme $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$, l'angle est bien droit.
À retenir : $a^2 + b^2 = c^2$ où $c$ est l'hypoténuse du triangle rectangle.
Théorème de Thalès et configurations
Quand deux droites sont coupées par des droites parallèles, les segments créés sur une droite sont proportionnels aux segments correspondants sur l'autre droite. Cela permet de calculer des longueurs sans mesurer directement.
Exemple
Un photographe veut estimer la hauteur d'un bâtiment. Il utilise son ombre et celle du bâtiment : si son ombre mesure 2 m et celle du bâtiment 30 m, et qu'il mesure 1,70 m, alors la hauteur du bâtiment est $\frac{1,70 \times 30}{2} = 25,5$ m.
À retenir : Si deux droites sont parallèles, alors $\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF}$ (les rapports de longueurs sont égaux).
Trigonométrie dans le triangle rectangle
La trigonométrie relie les angles et les côtés d'un triangle rectangle. Les trois rapports principaux sont le sinus, le cosinus et la tangente, qui permettent de trouver des longueurs ou des angles.
Exemple
Un pompier appuie une échelle contre un mur. L'échelle mesure 10 m et fait un angle de 60° avec le sol. La hauteur atteinte est $10 \times \sin(60°) \approx 8,66$ m.
À retenir : $\sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\cos(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\tan(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
Périmètres et aires des figures usuelles
Le périmètre est la longueur du contour d'une figure. L'aire est la surface qu'elle occupe. Chaque forme (carré, rectangle, triangle, cercle) a ses propres formules.
Exemple
Un jardinier doit clôturer un terrain rectangulaire de 20 m par 15 m. Le périmètre est $2 \times (20 + 15) = 70$ m de clôture. L'aire du terrain est $20 \times 15 = 300$ m².
À retenir : Rectangle : $P = 2(L + l)$ et $A = L \times l$ ; Triangle : $A = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$ ; Cercle : $P = 2\pi r$ et $A = \pi r^2$
Volumes des solides usuels
Le volume mesure l'espace occupé par un solide en trois dimensions. Chaque forme (cube, pavé, cylindre, pyramide, sphère) a sa propre formule.
Exemple
Un réservoir cylindrique pour l'eau a un rayon de 2 m et une hauteur de 5 m. Son volume est $\pi \times 2^2 \times 5 = 20\pi \approx 62,8$ m³.
À retenir : Pavé : $V = L \times l \times h$ ; Cylindre : $V = \pi r^2 h$ ; Sphère : $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
Conversion d'unités et calculs appliqués
Les unités permettent de mesurer les longueurs, surfaces et volumes. Il faut savoir convertir entre elles (mètres, centimètres, kilomètres, etc.) pour résoudre des problèmes concrets.
Exemple
Un athlète court 5 km. En mètres, cela fait $5 \times 1000 = 5000$ m. Une surface de 2 m² équivaut à $2 \times 10000 = 20000$ cm².
À retenir : Pour les longueurs : 1 km = 1000 m = 100000 cm ; pour les aires : 1 m² = 10000 cm² ; pour les volumes : 1 m³ = 1000 litres
Les points clés
- Le théorème de Pythagore s'applique uniquement aux triangles rectangles
- Thalès permet de calculer des longueurs inaccessibles en utilisant la proportionnalité
- La trigonométrie (sin, cos, tan) relie les angles aux côtés dans un triangle rectangle
- Chaque figure a ses propres formules de périmètre et d'aire à connaître par coeur
- Les conversions d'unités sont essentielles pour les applications concrètes
L'essentiel
La géométrie plane permet de résoudre des problèmes concrets en utilisant les propriétés des triangles, les formules de mesure et les conversions d'unités.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un agriculteur souhaite clôturer un champ de forme rectangulaire. Il a déjà 30 mètres de grillage. La largeur du champ est de 8 mètres. Il souhaite savoir s'il a assez de grillage pour faire le tour complet du champ. Si non, combien de mètres supplémentaires lui faut-il ? 1. Calculer la longueur du champ. 2. Calculer le périmètre total du champ. 3. Déterminer si l'agriculteur a assez de grillage et, si besoin, calculer le manque.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un architecte dessine un plan pour un nouveau bâtiment. Il utilise une échelle où 1 cm sur le plan représente 5 mètres dans la réalité. Une fenêtre sur le plan mesure 3 cm de large et 2 cm de haut. Quelle est la surface réelle de cette fenêtre en mètres carrés ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →