Géométrie plane et mesure en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de géométrie plane et mesure pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Théorème de Pythagore et réciproque
- Théorème de Thalès et configurations
- Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Périmètres, aires et volumes usuels
- Conversion d'unités et calculs appliqués
Théorème de Pythagore et réciproque
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. La réciproque permet de vérifier qu'un triangle est rectangle en testant cette relation.
Exemple
Un menuisier veut vérifier que le coin d'une pièce est bien à 90°. Il mesure 3 m d'un côté, 4 m de l'autre, et la diagonale fait 5 m. Comme $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$, l'angle est bien droit.
À retenir : Pour un triangle rectangle : $a^2 + b^2 = c^2$ où $c$ est l'hypoténuse.
Théorème de Thalès et configurations
Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, alors les segments créés sont proportionnels. Cela permet de calculer des longueurs inaccessibles ou de vérifier le parallélisme entre deux droites.
Exemple
Un photographe veut mesurer la hauteur d'un arbre. Il plante verticalement un bâton de 1 m : l'ombre du bâton fait 0,5 m tandis que l'ombre de l'arbre fait 4 m. Par Thalès, la hauteur de l'arbre est $\frac{1 \times 4}{0{,}5} = 8$ m.
À retenir : Si $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et $(MN)$ parallèle à $(BC)$, alors $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$.
Trigonométrie dans le triangle rectangle
La trigonométrie relie les angles et les côtés d'un triangle rectangle. Les trois rapports principaux sont le sinus, le cosinus et la tangente, notés sin, cos et tan.
Exemple
Un escalier fait un angle de 30° avec le sol et s'élève de 2 m. Pour trouver sa longueur, on utilise $\sin(30°) = \frac{2}{\text{longueur}}$, donc longueur = $\frac{2}{\sin(30°)} = 4$ m.
À retenir : Dans un triangle rectangle : $\sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\cos(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\tan(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.
Périmètres et aires usuels
Le périmètre est la longueur du contour d'une figure. L'aire est la surface qu'elle occupe. Pour chaque forme (carré, rectangle, triangle, cercle...), il existe une formule spécifique.
Exemple
Vous peignez une chambre rectangulaire de 5 m × 4 m. Pour connaître la quantité de peinture, vous calculez l'aire : $5 \times 4 = 20$ m². Pour le contour des plinthes, vous calculez le périmètre : $2(5 + 4) = 18$ m.
À retenir : Retenir les formules : carré ($c^2$), rectangle ($l \times L$), triangle ($\frac{base \times hauteur}{2}$), cercle ($\pi r^2$).
Volumes usuels et formules
Le volume est l'espace occupé par un objet en 3D. Chaque solide (cube, parallélépipède, cylindre, cône, sphère...) a une formule spécifique pour calculer son volume.
Exemple
Une bouteille d'eau cylindrique a un rayon de 4 cm et une hauteur de 25 cm. Son volume est $V = \pi \times 4^2 \times 25 = 400\pi \approx 1257$ cm³, soit environ 1,26 litre.
À retenir : Pour un cylindre : $V = \pi r^2 h$ ; pour un cube : $V = c^3$ ; pour une sphère : $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
Conversion d'unités et calculs appliqués
Convertir une unité signifie l'exprimer dans une autre unité équivalente. C'est essentiel en géométrie pour passer de cm à m, de m² à cm², ou de mL à L.
Exemple
Un terrain fait 250 m² et vous voulez l'exprimer en cm². Puisque 1 m = 100 cm, alors 1 m² = 10 000 cm². Donc $250 \times 10\,000 = 2\,500\,000$ cm².
À retenir : Pour les surfaces : multiplier ou diviser par 100 à chaque changement d'unité de longueur (1 m² = 10 000 cm²).
Les points clés
- Théorème de Pythagore : $a^2 + b^2 = c^2$ dans un triangle rectangle uniquement
- Théorème de Thalès : les segments sont proportionnels quand deux droites sont parallèles
- SOHCAHTOA : sin = opposé/hypoténuse, cos = adjacent/hypoténuse, tan = opposé/adjacent
- Formules d'aires : carré ($c^2$), rectangle ($l \times L$), triangle ($\frac{base \times hauteur}{2}$), cercle ($\pi r^2$)
- Formules de volumes : cube ($c^3$), cylindre ($\pi r^2 h$), sphère ($\frac{4}{3}\pi r^3$)
- Conversions : 1 m = 100 cm ; 1 m² = 10 000 cm² ; 1 L = 1000 mL
L'essentiel
La géométrie plane repose sur trois piliers : reconnaître les propriétés des figures (Pythagore, Thalès), calculer les distances et angles (trigonométrie), puis appliquer les bonnes formules en respectant les unités.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une échelle de 13 m s'appuie contre un mur vertical, sur un sol horizontal. Le pied de l'échelle est à 5 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un réservoir cylindrique a un diamètre de 2 m et une hauteur de 3 m. Quel est son volume en litres ? (Rappel : 1 m³ = 1000 L)
Corrige cet exercice avec le tuteur →