Fonctions de référence en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonctions de référence pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Fonction carrée : courbe (parabole), signe, variations
- Fonction inverse : courbe (hyperbole), variations
- Fonction cube : courbe et variations
- Fonction racine carrée : ensemble de définition, courbe, variations
- Fonction valeur absolue : définition, courbe, signe, variations
- Position relative des courbes y = x et y = x² pour x ≥ 0
- Comparer f(a) et f(b) pour une fonction de référence
- Résoudre graphiquement ou algébriquement f(x) = k, f(x) < k avec les fonctions de référence
Fonction carrée
La fonction carrée est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. Pour tout réel $x$, $x^2 \geq 0$ : la fonction est positive, et elle ne s'annule qu'en 0. Elle est décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[$ ; son minimum est 0, atteint en 0. Sa courbe est une parabole de sommet l'origine ; deux nombres opposés $x$ et $-x$ ont le même carré, donc les points d'abscisses $x$ et $-x$ ont la même ordonnée.
Exemple
$3^2 = 9$ et $(-3)^2 = 9$ ; $0{,}5^2 = 0{,}25$ ; $(-1{,}2)^2 = 1{,}44$. Le point $(-3 ; 9)$ et le point $(3 ; 9)$ sont tous deux sur la parabole.
À retenir : $x^2 \geq 0$ pour tout réel $x$ ; la fonction carrée est décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[$.
Fonction inverse
La fonction inverse est définie pour $x \neq 0$ par $f(x) = \frac{1}{x}$ (0 n'a pas d'inverse). Elle est décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et décroissante sur $]0 ; +\infty[$. Sa courbe est une hyperbole formée de deux branches : l'une pour $x < 0$ (où $\frac{1}{x} < 0$), l'autre pour $x > 0$ (où $\frac{1}{x} > 0$).
Exemple
$\frac{1}{2} = 0{,}5$ et $\frac{1}{4} = 0{,}25$ : $2 < 4$ mais $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$ (l'ordre est inversé sur $]0 ; +\infty[$). En revanche $-1 < 1$ et $\frac{1}{-1} = -1 < \frac{1}{1} = 1$ : la fonction inverse n'est pas décroissante sur l'ensemble des réels non nuls tout entier, seulement sur chacun des deux intervalles.
À retenir : La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]0 ; +\infty[$, mais on ne peut comparer deux inverses par ce sens de variation que si les deux nombres sont dans le même intervalle.
Fonction cube
La fonction cube est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 = x \times x \times x$. Elle est croissante sur $\mathbb{R}$. Sa courbe passe par les points $(-2 ; -8)$, $(-1 ; -1)$, $(0 ; 0)$, $(1 ; 1)$ et $(2 ; 8)$ : elle est au-dessous de l'axe des abscisses pour $x < 0$ et au-dessus pour $x > 0$.
Exemple
$2^3 = 8$ ; $(-2)^3 = -8$ ; $1{,}5^3 = 3{,}375$ ; $0{,}5^3 = 0{,}125$. Comme la fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$, $-3 < 2$ entraîne $(-3)^3 < 2^3$, c'est-à-dire $-27 < 8$.
À retenir : La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ : $a < b$ équivaut à $a^3 < b^3$.
Fonction racine carrée
La fonction racine carrée est définie sur $[0 ; +\infty[$ (on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif) par $f(x) = \sqrt{x}$, le nombre positif dont le carré est $x$. Elle est croissante sur $[0 ; +\infty[$. Sa courbe part de l'origine et monte de moins en moins vite.
Exemple
$\sqrt{0} = 0$, $\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$ : pour que $\sqrt{x}$ passe de 0 à 1, $x$ augmente de 1 ; pour qu'il passe de 2 à 3, $x$ doit augmenter de 5. La courbe passe par $(0 ; 0)$, $(1 ; 1)$, $(4 ; 2)$ et $(9 ; 3)$.
À retenir : Ensemble de définition : $[0 ; +\infty[$ ; la fonction racine carrée est croissante sur cet intervalle.
Fonction valeur absolue
La valeur absolue d'un réel $x$, notée $|x|$, est égale à $x$ si $x \geq 0$ et à $-x$ si $x < 0$ : c'est la distance entre $x$ et 0 sur la droite graduée. La fonction valeur absolue $x \mapsto |x|$ est définie sur $\mathbb{R}$ et positive ($|x| \geq 0$). Elle est décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[$. Sa courbe a la forme d'un V : elle est formée de la demi-droite d'équation $y = -x$ pour $x \leq 0$ et de la demi-droite d'équation $y = x$ pour $x \geq 0$.
Exemple
$|-3| = 3$ ; $|2{,}5| = 2{,}5$ ; $|0| = 0$. Les nombres 4 et $-4$ sont tous deux à la distance 4 de 0 : $|4| = |-4| = 4$.
À retenir : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$ ; $|x| \geq 0$ ; décroissante sur $]-\infty ; 0]$, croissante sur $[0 ; +\infty[$.
Position relative des courbes y = x et y = x² pour x ≥ 0
Pour $x \geq 0$, on étudie le signe de la différence : $x^2 - x = x(x - 1)$. Si $0 \leq x \leq 1$, on a $x \geq 0$ et $x - 1 \leq 0$, donc $x^2 - x \leq 0$ : la parabole $y = x^2$ est au-dessous de la droite $y = x$. Si $x \geq 1$, $x^2 - x \geq 0$ : la parabole est au-dessus de la droite. Les deux courbes se coupent aux points $(0 ; 0)$ et $(1 ; 1)$.
Exemple
$0{,}5^2 = 0{,}25 < 0{,}5$ : pour un nombre entre 0 et 1, le carré est plus petit que le nombre. $3^2 = 9 > 3$ : pour un nombre supérieur à 1, le carré est plus grand.
À retenir : Pour $0 \leq x \leq 1$ : $x^2 \leq x$ ; pour $x \geq 1$ : $x^2 \geq x$.
Comparer f(a) et f(b) pour une fonction de référence
Si $a$ et $b$ appartiennent à un même intervalle sur lequel $f$ est croissante, alors $f(a)$ et $f(b)$ sont rangés dans le même ordre que $a$ et $b$. Si $f$ est décroissante sur cet intervalle, l'ordre est inversé. Si $a$ et $b$ ne sont pas dans un même intervalle de monotonie, on calcule ou on utilise la courbe.
Exemple
Comparer $(-2{,}5)^2$ et $(-1{,}7)^2$ : les deux nombres sont dans $]-\infty ; 0]$, où la fonction carrée est décroissante ; $-2{,}5 < -1{,}7$, donc $(-2{,}5)^2 > (-1{,}7)^2$ (en effet $6{,}25 > 2{,}89$). Comparer $\frac{1}{3{,}1}$ et $\frac{1}{2{,}9}$ : les deux nombres sont dans $]0 ; +\infty[$, où la fonction inverse est décroissante ; $2{,}9 < 3{,}1$, donc $\frac{1}{2{,}9} > \frac{1}{3{,}1}$.
À retenir : Fonction croissante : même ordre ; fonction décroissante : ordre inversé (à condition que $a$ et $b$ soient dans le même intervalle de monotonie).
Résoudre f(x) = k ou f(x) < k
Graphiquement, les solutions de $f(x) = k$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation $y = k$, et celles de $f(x) < k$ sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessous de cette droite. Algébriquement : $x^2 = k$ n'a pas de solution si $k < 0$, a pour seule solution 0 si $k = 0$, et a deux solutions $-\sqrt{k}$ et $\sqrt{k}$ si $k > 0$. Pour $k > 0$ : $x^2 < k \iff -\sqrt{k} < x < \sqrt{k}$. Pour $k \neq 0$, $\frac{1}{x} = k \iff x = \frac{1}{k}$. Pour $k \geq 0$, $\sqrt{x} = k \iff x = k^2$.
Exemple
$x^2 = 9$ a deux solutions : $-3$ et $3$. $x^2 < 9$ pour $x$ dans $]-3 ; 3[$ (la parabole est au-dessous de la droite $y = 9$ entre ces deux points). $x^2 > 9$ pour $x$ dans $]-\infty ; -3[ \cup ]3 ; +\infty[$. $x^2 = -4$ n'a pas de solution, car un carré est toujours positif.
À retenir : Pour $k > 0$ : $x^2 = k \iff x = -\sqrt{k}$ ou $x = \sqrt{k}$ ; $x^2 < k \iff x \in ]-\sqrt{k} ; \sqrt{k}[$.
Les points clés
- Carré : $x^2 \geq 0$, décroissante sur $]-\infty ; 0]$, croissante sur $[0 ; +\infty[$, courbe : parabole
- Inverse : définie pour $x \neq 0$, décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]0 ; +\infty[$, courbe : hyperbole
- Cube : croissante sur $\mathbb{R}$
- Racine carrée : définie et croissante sur $[0 ; +\infty[$
- Valeur absolue : $|x| = x$ si $x \geq 0$, $|x| = -x$ si $x < 0$ ; courbe en V, minimum 0 en 0
- Pour $0 \leq x \leq 1$ : $x^2 \leq x$ ; pour $x \geq 1$ : $x^2 \geq x$
- Pour comparer f(a) et f(b), on utilise le sens de variation de f sur un intervalle contenant a et b
- $x^2 = k$ ($k > 0$) a deux solutions : $-\sqrt{k}$ et $\sqrt{k}$
L'essentiel
Il faut connaître l'ensemble de définition, le sens de variation et l'allure de la courbe de chaque fonction de référence (carré, inverse, cube, racine carrée, valeur absolue). Ces connaissances permettent de comparer des images sans calculatrice et de résoudre des équations et inéquations du type $f(x) = k$ ou $f(x) < k$.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
1) Sans calculatrice, compare $\left(-\frac{4}{3}\right)^2$ et $\left(-\frac{3}{2}\right)^2$, puis $\sqrt{7}$ et $\sqrt{6{,}5}$, puis $\frac{1}{-2}$ et $\frac{1}{-5}$. Justifie avec le sens de variation de la fonction utilisée. 2) Pour quelles valeurs de $x \geq 0$ a-t-on $x^2 < x$ ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Résous dans $\mathbb{R}$ : a) $x^2 = 5$ ; b) $x^2 \leq 16$ ; c) $\frac{1}{x} = 4$ ; d) $\sqrt{x} = 3$ ; e) $|x| = 2$ ; f) $x^3 = -8$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →