Fonctions de référence en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonctions de référence pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Fonction carrée : variations, parabole, signe
- Fonction inverse : variations, hyperbole, asymptote
- Fonction cube : variations et symétrie
- Fonction racine carrée : domaine, variations
- Fonction valeur absolue
- Comparaison des fonctions de référence
- Résolution graphique d'équations et inéquations avec les fonctions de référence
Fonction carrée et sa parabole
La fonction carrée est $f(x) = x^2$. Elle associe à chaque nombre son carré. Son graphique s'appelle une parabole : une courbe en U symétrique par rapport à l'axe vertical.
Exemple
Quand tu lances une balle vers le haut, sa trajectoire suit une parabole. La hauteur dépend du temps écoulé selon une fonction carrée.
À retenir : La fonction carrée est décroissante sur $]-\infty; 0]$ et croissante sur $[0; +\infty[$, avec un minimum en 0.
Fonction inverse et hyperbole
La fonction inverse est $f(x) = \frac{1}{x}$ définie pour $x \neq 0$. Son graphique s'appelle une hyperbole : deux courbes symétriques qui ne touchent jamais les axes (asymptotes).
Exemple
Si tu dois partager 100 euros entre des amis, plus il y a d'amis, moins chacun reçoit. C'est une relation inverse.
À retenir : La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty; 0[$ et sur $]0; +\infty[$, avec une asymptote verticale en $x=0$ et horizontale en $y=0$.
Fonction cube et symétrie centrale
La fonction cube est $f(x) = x^3$. Elle associe à chaque nombre son cube. Son graphique est symétrique par rapport à l'origine (0,0) : c'est une symétrie centrale.
Exemple
Le volume d'un cube dépend de la longueur de son arête selon la fonction cube.
À retenir : La fonction cube est toujours croissante sur $\mathbb{R}$ et passe par l'origine avec une symétrie centrale.
Fonction racine carrée et domaine
La fonction racine carrée est $f(x) = \sqrt{x}$ définie seulement pour $x \geq 0$. Elle donne le nombre positif dont le carré vaut $x$.
Exemple
Pour calculer la diagonale d'un carré de côté 5, tu utilises $\sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50}$.
À retenir : La fonction racine carrée est définie sur $[0; +\infty[$ et toujours croissante sur son domaine.
Fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue est $f(x) = |x|$. Elle donne la distance entre un nombre et zéro, toujours positive. Elle s'écrit $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$.
Exemple
La température peut être +5°C ou -5°C, mais la distance à 0°C est la même : 5 degrés.
À retenir : La fonction valeur absolue est décroissante sur $]-\infty; 0]$ et croissante sur $[0; +\infty[$, avec un V symétrique.
Comparaison des fonctions de référence
Comparer des fonctions de référence signifie étudier laquelle grandit plus vite, laquelle est plus grande sur un intervalle donné. On utilise des tableaux de variations et des graphiques.
Exemple
Sur $[1; +\infty[$, la fonction $x^3$ grandit plus vite que $x^2$ qui grandit plus vite que $\sqrt{x}$.
À retenir : Pour comparer deux fonctions, on étudie le signe de leur différence ou on observe leurs graphiques.
Résolution graphique d'équations
Résoudre graphiquement une équation $f(x) = k$ signifie trouver les abscisses des points où la courbe de $f$ croise la droite horizontale $y = k$.
Exemple
Pour trouver quand une balle atteint 10 mètres de hauteur, tu cherches où la parabole croise la droite $y = 10$.
À retenir : Les solutions d'une équation graphique sont les abscisses des points d'intersection entre deux courbes.
Résolution graphique d'inéquations
Résoudre graphiquement une inéquation $f(x) > k$ signifie trouver tous les $x$ où la courbe de $f$ est au-dessus de la droite $y = k$. Pour $f(x) < k$, c'est où elle est en dessous.
Exemple
Pour savoir quand la balle dépasse 10 mètres, tu cherches où la parabole est au-dessus de la droite $y = 10$.
À retenir : Les solutions d'une inéquation graphique sont les intervalles où une courbe est au-dessus ou au-dessous d'une autre.
Les points clés
- Chaque fonction de référence a des variations propres : carrée (U), inverse (décroissante), cube (toujours croissante), racine (croissante), valeur absolue (V).
- Les asymptotes sont des droites que la courbe approche sans jamais les toucher, comme pour la fonction inverse.
- La symétrie est importante : la parabole est symétrique par rapport à l'axe des y, la fonction cube par rapport à l'origine.
- Pour résoudre graphiquement, on cherche les intersections (équations) ou les zones (inéquations) entre deux courbes.
- Le domaine de définition limite où la fonction existe : racine carrée sur $[0; +\infty[$, inverse sur $\mathbb{R}^*$.
L'essentiel
Les fonctions de référence sont des outils pour modéliser la réalité ; maîtriser leurs variations, leurs graphiques et savoir les comparer permet de résoudre des problèmes concrets.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un agriculteur souhaite clôturer un enclos rectangulaire pour ses moutons. Il dispose de 100 mètres de grillage. Il veut que la longueur de l'enclos soit le double de sa largeur. Déterminez les dimensions de l'enclos pour maximiser l'aire.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On observe la trajectoire d'un projectile. La hauteur h (en mètres) en fonction du temps t (en secondes) est donnée par la formule h(t) = -5t² + 20t. Représentez graphiquement cette fonction sur un intervalle de temps pertinent et déterminez le temps nécessaire pour que le projectile atteigne sa hauteur maximale, ainsi que cette hauteur maximale.
Corrige cet exercice avec le tuteur →