Calcul littéral et fonctions affines en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de calcul littéral et fonctions affines pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Expressions algébriques et développement
- Équations et inéquations du premier degré
- Fonctions affines et représentation graphique
- Proportionnalité et pourcentages appliqués
- Résolution de problèmes du quotidien professionnel
Expressions algébriques et développement
Une expression algébrique est une combinaison de nombres, de lettres et d'opérations. Développer signifie transformer un produit en somme en utilisant la distributivité.
Exemple
Un électricien facture 50 euros de visite plus 25 euros par heure de travail. Pour 3 heures, le prix est $50 + 25 \times 3 = 125$ euros. On peut écrire cela comme $P = 50 + 25h$ où $h$ est le nombre d'heures.
À retenir : Développer c'est appliquer la distributivité : $a(b + c) = ab + ac$
Équations et inéquations du premier degré
Une équation est une égalité avec une inconnue à trouver. Une inéquation est une inégalité. Résoudre signifie trouver la valeur (ou les valeurs) de l'inconnue.
Exemple
Un plombier gagne 1500 euros par mois plus 15 euros par intervention. On veut savoir combien d'interventions pour gagner au moins 2000 euros : $1500 + 15x \geq 2000$, donc $x \geq 33,33$, il faut au moins 34 interventions.
À retenir : Pour résoudre, on isole l'inconnue en faisant les mêmes opérations des deux côtés de l'égalité
Fonctions affines et représentation graphique
Une fonction affine est de la forme $f(x) = ax + b$ où $a$ est la pente (coefficient directeur) et $b$ est l'ordonnée à l'origine. Son graphique est une droite.
Exemple
Un forfait téléphonique coûte 10 euros par mois plus 0,50 euros par SMS. La fonction est $f(x) = 0,50x + 10$. Si on envoie 20 SMS, on paie $f(20) = 0,50 \times 20 + 10 = 20$ euros. Le graphique est une droite qui monte.
À retenir : Le coefficient $a$ indique la pente (si $a > 0$ la droite monte, si $a < 0$ elle descend) et $b$ est le point où la droite coupe l'axe vertical
Proportionnalité et pourcentages appliqués
Deux grandeurs sont proportionnelles si leur rapport est constant. Un pourcentage est une proportion sur 100. Les pourcentages s'appliquent souvent à des prix, des réductions ou des augmentations.
Exemple
Un magasin fait une réduction de 20% sur un article à 50 euros. La réduction est $50 \times \frac{20}{100} = 10$ euros. Le prix final est $50 - 10 = 40$ euros. Ou directement : $50 \times 0,80 = 40$ euros.
À retenir : Pour appliquer un pourcentage : multiplier par $\frac{pourcentage}{100}$ ou par le coefficient multiplicateur
Résolution de problèmes du quotidien professionnel
Résoudre un problème professionnel consiste à traduire une situation réelle en équation ou fonction, puis à la résoudre pour répondre à la question posée.
Exemple
Un artisan fabrique des objets. Le coût fixe est 200 euros, et chaque objet coûte 5 euros à fabriquer. Il vend chaque objet 12 euros. Combien doit-il vendre pour gagner 500 euros ? Gain = $12x - (200 + 5x) = 500$, donc $7x - 200 = 500$, donc $x = 100$ objets.
À retenir : Toujours identifier les données, écrire l'équation ou la fonction, puis résoudre étape par étape
Les points clés
- La distributivité permet de développer et de factoriser les expressions
- Pour résoudre une équation, on isole l'inconnue en effectuant les mêmes opérations des deux côtés
- Une fonction affine $f(x) = ax + b$ a pour graphique une droite : $a$ est la pente, $b$ l'ordonnée à l'origine
- Un pourcentage se calcule en multipliant par le coefficient multiplicateur (par exemple 0,80 pour une réduction de 20%)
- Pour résoudre un problème professionnel, traduire d'abord la situation en équation ou fonction
L'essentiel
Le calcul littéral et les fonctions affines permettent de modéliser et résoudre des situations réelles : toujours traduire le problème en équation avant de le résoudre.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un salon de coiffure propose un forfait : 15 euros de base plus 8 euros par prestation. Écris la fonction $f(x)$ qui donne le prix en fonction du nombre de prestations $x$. Calcule le prix pour 5 prestations. À partir de combien de prestations le prix dépasse-t-il 50 euros ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un magasin affiche une réduction de 30% sur tous les articles. Un article coûte normalement 80 euros. Quel est son prix après réduction ? Développe et simplifie : $(x + 3)(x - 2)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →