Fonctions : généralités et fonctions de référence en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonctions : généralités et fonctions de référence pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Notion de fonction : image, antécédent, tableau de valeurs
- Représentation graphique et lecture
- Fonctions de référence : carrée, inverse, racine carrée
- Variations et extremums
- Résolution graphique d'équations et inéquations
Notion de fonction et image
Une fonction est une machine mathématique qui transforme un nombre d'entrée (appelé antécédent) en un seul nombre de sortie (appelé image). On note $f(x)$ l'image du nombre $x$ par la fonction $f$.
Exemple
Un distributeur de boissons : tu appuies sur un bouton (entrée), il te donne une boisson (sortie). Chaque bouton donne toujours la même boisson.
À retenir : Une fonction associe à chaque nombre d'entrée un seul nombre de sortie.
Antécédent et lecture d'une fonction
L'antécédent est le nombre d'entrée. Si $f(3) = 7$, alors 3 est l'antécédent et 7 est son image. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents ou aucun.
Exemple
Sur Instagram, tu cherches qui a aimé ta photo (image = like). Plusieurs personnes peuvent avoir aimé (plusieurs antécédents).
À retenir : L'antécédent est l'entrée, l'image est la sortie.
Tableau de valeurs d'une fonction
Un tableau de valeurs liste les antécédents (première ligne) et leurs images correspondantes (deuxième ligne). C'est un moyen simple de voir comment la fonction se comporte.
Exemple
Un carnet de notes : en haut les élèves, en bas leurs notes. Chaque élève a une note.
À retenir : Le tableau de valeurs montre les couples (antécédent, image) de la fonction.
Représentation graphique d'une fonction
Le graphique d'une fonction est l'ensemble des points de coordonnées $(x, f(x))$ tracés dans un repère. Chaque point représente un couple (antécédent, image).
Exemple
Un graphique de température : l'axe horizontal montre les heures, l'axe vertical la température. Tu lis la température à chaque heure.
À retenir : Sur un graphique, on lit l'image en montant verticalement jusqu'à la courbe, puis en regardant l'ordonnée.
Lecture graphique d'équations et inéquations
Résoudre graphiquement $f(x) = k$ signifie trouver les points où la courbe croise la ligne horizontale $y = k$. Pour $f(x) > k$, on cherche où la courbe est au-dessus de cette ligne.
Exemple
Tu veux savoir à quelle heure la température atteint 20°C : tu cherches où le graphique croise la ligne 20°C.
À retenir : Graphiquement, les solutions sont les abscisses des points d'intersection avec la ligne $y = k$.
Fonction carrée et ses propriétés
La fonction carrée est $f(x) = x^2$. Elle transforme chaque nombre en son carré. Son graphique est une parabole en forme de U, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Exemple
L'aire d'un carré : si le côté mesure $x$, l'aire est $x^2$. Un carré de côté 3 a une aire de 9.
À retenir : La fonction carrée $f(x) = x^2$ est décroissante sur $]-\infty, 0]$ et croissante sur $[0, +\infty[$.
Fonction inverse et ses propriétés
La fonction inverse est $f(x) = \frac{1}{x}$ (définie pour $x \neq 0$). Son graphique est une hyperbole avec deux branches, une dans chaque quadrant.
Exemple
Si tu dois partager un gâteau entre $x$ personnes, chacun reçoit $\frac{1}{x}$ du gâteau. Plus il y a de gens, moins chacun en reçoit.
À retenir : La fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$ est décroissante sur $]-\infty, 0[$ et sur $]0, +\infty[$.
Fonction racine carrée et propriétés
La fonction racine carrée est $f(x) = \sqrt{x}$ (définie pour $x \geq 0$). Elle transforme un nombre en sa racine carrée. Son graphique ressemble à une parabole couchée.
Exemple
Si l'aire d'un carré est 16, son côté mesure $\sqrt{16} = 4$. La racine carrée est l'inverse du carré.
À retenir : La fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ est croissante sur $[0, +\infty[$ et définie seulement pour $x \geq 0$.
Variations et extremums d'une fonction
Les variations décrivent si une fonction monte ou descend. Un extremum est un point où la fonction atteint sa plus grande valeur (maximum) ou sa plus petite valeur (minimum).
Exemple
La température d'une journée : elle monte le matin (croissante), atteint un maximum à midi, puis descend (décroissante).
À retenir : On étudie les variations en regardant si la courbe monte ou descend, et on repère les extremums.
Les points clés
- Une fonction associe à chaque antécédent une seule image
- On peut représenter une fonction par un tableau, une formule ou un graphique
- Les fonctions de référence (carrée, inverse, racine carrée) ont des propriétés spécifiques à connaître
- Graphiquement, résoudre $f(x) = k$ revient à trouver les intersections avec la ligne $y = k$
- Les variations et extremums se lisent directement sur le graphique
L'essentiel
Une fonction est une correspondance qui associe à chaque nombre d'entrée (antécédent) un seul nombre de sortie (image), et on peut l'étudier par un tableau, une formule ou un graphique.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit la fonction $f(x) = x^2 - 3$. Calcule $f(2)$, $f(-2)$ et $f(0)$. Que remarques-tu ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Sur le graphique d'une fonction $f$, on lit que la courbe passe par les points $(1, 2)$, $(2, 5)$ et $(3, 10)$. Résous graphiquement $f(x) = 5$ et $f(x) > 2$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →