Géométrie repérée en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de géométrie repérée pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Repère orthonormé du plan
- Coordonnées d'un point, milieu d'un segment
- Distance entre deux points
- Équation de droite : forme cartésienne et réduite
- Systèmes de deux équations à deux inconnues
Repère orthonormé du plan
Un repère orthonormé est un système de deux axes perpendiculaires (horizontal et vertical) qui se croisent à l'origine. Les axes sont gradués avec la même unité de mesure sur les deux directions.
Exemple
Sur un terrain de foot, tu peux placer l'origine au centre du terrain, l'axe horizontal pour la largeur et l'axe vertical pour la longueur. Chaque position d'un joueur peut alors être repérée par deux nombres.
À retenir : Un repère orthonormé se note (O, I, J) où O est l'origine, I et J sont les points unitaires sur chaque axe.
Coordonnées d'un point
Les coordonnées d'un point sont deux nombres qui indiquent sa position exacte dans le repère. Le premier nombre (abscisse) mesure la distance horizontale, le second (ordonnée) mesure la distance verticale.
Exemple
Sur Google Maps, chaque lieu a des coordonnées GPS (latitude, longitude). Un point A peut avoir pour coordonnées (3, 5), ce qui signifie 3 unités à droite et 5 unités vers le haut.
À retenir : Un point se note A(x, y) où x est l'abscisse et y est l'ordonnée.
Milieu d'un segment
Le milieu d'un segment est le point qui se trouve exactement au centre, à égale distance des deux extrémités. On peut le calculer en faisant la moyenne des coordonnées.
Exemple
Si tu as deux villes aux positions (2, 4) et (8, 10), la ville exactement au milieu entre les deux se trouve à (5, 7).
À retenir : Le milieu M de [AB] a pour coordonnées $M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$
Distance entre deux points
La distance entre deux points est la longueur du segment qui les relie. On la calcule en utilisant une formule basée sur le théorème de Pythagore.
Exemple
Pour savoir la distance réelle entre deux villes sur une carte, tu utilises la formule de distance. Si une ville est à (1, 1) et l'autre à (4, 5), tu peux calculer la distance exacte.
À retenir : La distance entre A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) est $d(A,B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
Équation de droite : forme cartésienne
La forme cartésienne d'une droite est une équation du type ax + by + c = 0. Elle décrit tous les points qui appartiennent à la droite.
Exemple
L'équation 2x + 3y - 6 = 0 représente une droite. N'importe quel point (x, y) qui satisfait cette équation se trouve sur la droite.
À retenir : Une droite en forme cartésienne s'écrit ax + by + c = 0 où a, b et c sont des nombres.
Équation de droite : forme réduite
La forme réduite d'une droite est y = mx + p. Elle est plus facile à utiliser car elle montre directement le coefficient directeur (pente) et l'ordonnée à l'origine.
Exemple
L'équation y = 2x + 3 signifie que la droite monte de 2 unités pour chaque unité vers la droite, et elle croise l'axe vertical au point 3.
À retenir : Une droite en forme réduite s'écrit y = mx + p où m est la pente et p est l'ordonnée à l'origine.
Systèmes de deux équations à deux inconnues
Un système est un ensemble de deux équations avec deux inconnues (x et y). Résoudre le système signifie trouver les valeurs de x et y qui satisfont les deux équations en même temps.
Exemple
Si tu dois trouver le point d'intersection de deux routes, tu résous un système : la première équation décrit la première route, la seconde décrit la deuxième route.
À retenir : Pour résoudre un système, on peut utiliser la substitution, l'élimination ou la représentation graphique.
Les points clés
- Un repère orthonormé permet de localiser précisément chaque point du plan avec deux nombres
- Les formules du milieu et de la distance sont essentielles pour les calculs de géométrie
- Une droite peut s'écrire de deux façons : forme cartésienne (ax + by + c = 0) ou forme réduite (y = mx + p)
- Un système de deux équations représente l'intersection de deux droites
L'essentiel
La géométrie repérée permet de transformer des problèmes géométriques en calculs algébriques en utilisant les coordonnées des points.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit A(1, 2) et B(5, 8). Calcule les coordonnées du milieu M de [AB] et la distance AB.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Résous le système : $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Corrige cet exercice avec le tuteur →