Fonctions en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonctions pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Notion de fonction : image et antécédent
- Ensemble de définition d'une fonction
- Courbe représentative : équation y = f(x), appartenance d'un point
- Croissance, décroissance, monotonie sur un intervalle
- Tableau de variations d'une fonction
- Maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle
- Tableau de signes d'une fonction
- Fonctions affines : coefficient directeur, ordonnée à l'origine, sens de variation et signe
- Résoudre f(x) = k, f(x) < k, f(x) = g(x), f(x) < g(x)
- Modéliser une situation par une fonction ; problèmes d'optimisation
Ce que tu vas réviser
- Notion de fonction : image et antécédent
- Ensemble de définition d'une fonction
- Courbe représentative : équation y = f(x), appartenance d'un point
- Croissance, décroissance, monotonie sur un intervalle
- Tableau de variations d'une fonction
- Maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle
- Tableau de signes d'une fonction
- Fonctions affines : coefficient directeur, ordonnée à l'origine, sens de variation et signe
- Résoudre f(x) = k, f(x) < k, f(x) = g(x), f(x) < g(x)
- Modéliser une situation par une fonction ; problèmes d'optimisation
Notion de fonction : image et antécédent
Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ de son ensemble de définition un unique nombre, noté $f(x)$ et appelé image de $x$. Si $f(x) = y$, on dit que $x$ est un antécédent de $y$. Un nombre de $D_f$ a toujours une seule image, mais un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Exemple
Pour $f(x) = x^2$ : l'image de $3$ est $f(3) = 9$ ; les antécédents de $9$ sont $3$ et $-3$ ; $-4$ n'a aucun antécédent, car un carré n'est jamais négatif.
À retenir : Image : on calcule $f(x)$. Antécédents de $y$ : on résout l'équation $f(x) = y$.
Ensemble de définition d'une fonction
L'ensemble de définition $D_f$ est l'ensemble des nombres $x$ pour lesquels $f(x)$ existe ; c'est un intervalle ou une réunion d'intervalles de $\mathbb{R}$. Deux interdits à repérer : diviser par $0$ et prendre la racine carrée d'un nombre strictement négatif. Le contexte peut aussi l'imposer (une longueur est positive, par exemple).
Exemple
$f(x) = \frac{1}{x - 2}$ n'existe pas pour $x = 2$ : $D_f = ]-\infty ; 2[ \cup ]2 ; +\infty[$. $g(x) = \sqrt{x}$ exige $x \geq 0$ : $D_g = [0 ; +\infty[$.
À retenir : Chercher l'ensemble de définition, c'est repérer les valeurs interdites.
Courbe représentative : équation y = f(x), appartenance d'un point
Dans un repère, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ est l'ensemble des points $M(x ; y)$ tels que $x \in D_f$ et $y = f(x)$ : on dit que $\mathcal{C}_f$ a pour équation $y = f(x)$.
Exemple
Pour $f(x) = 2x^2 - 1$ : le point $A(2 ; 7)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ car $f(2) = 2 \times 4 - 1 = 7$ ; le point $B(1 ; 3)$ n'y appartient pas car $f(1) = 1 \neq 3$.
À retenir : $M(a ; b)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $a \in D_f$ et $f(a) = b$. Sur le graphique, l'image de $a$ se lit en ordonnée ; les antécédents de $b$ se lisent en abscisse.
Croissance, décroissance, monotonie sur un intervalle
Soit $f$ définie sur un intervalle $I$. $f$ est croissante sur $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$, $a \leq b$ entraîne $f(a) \leq f(b)$ : les images sont rangées dans le même ordre. $f$ est décroissante sur $I$ si $a \leq b$ entraîne $f(a) \geq f(b)$ : l'ordre est inversé. Avec des inégalités strictes ($a < b$ entraîne $f(a) < f(b)$), on dit strictement croissante (de même pour décroissante). Une fonction monotone sur $I$ est une fonction croissante sur $I$ ou décroissante sur $I$.
Exemple
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[$ : elle n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$. La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et décroissante sur $]0 ; +\infty[$.
À retenir : Croissante : même ordre pour les nombres et pour leurs images ; décroissante : ordre inversé. Graphiquement, la courbe monte ou descend quand on la parcourt de gauche à droite.
Tableau de variations d'une fonction
Le tableau de variations résume le sens de variation d'une fonction : la première ligne donne les valeurs de $x$ qui délimitent les intervalles ; la seconde porte une flèche montante sur chaque intervalle où $f$ est croissante, une flèche descendante où elle est décroissante, avec les images aux extrémités des flèches.
Exemple
$f$ est définie sur $[-2 ; 4]$, croissante sur $[-2 ; 1]$ de $f(-2) = -3$ à $f(1) = 5$, puis décroissante sur $[1 ; 4]$ jusqu'à $f(4) = 0$. Dans le tableau, on écrit $-2$, $1$ et $4$ sur la première ligne ; sur la seconde, $-3$ en bas, une flèche montante vers $5$ placé en haut, puis une flèche descendante vers $0$.
À retenir : Flèche montante : croissante sur l'intervalle ; flèche descendante : décroissante. Le tableau de variations et la courbe donnent la même information sur les variations.
Maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle
$M$ est le maximum de $f$ sur l'intervalle $I$ s'il existe $a \in I$ tel que $f(a) = M$ et si $f(x) \leq M$ pour tout $x \in I$. De même, $m$ est le minimum de $f$ sur $I$ s'il existe $b \in I$ tel que $f(b) = m$ et si $f(x) \geq m$ pour tout $x \in I$. Maximum et minimum sont des extremums : ce sont des valeurs prises par $f(x)$.
Exemple
Avec le tableau de variations de la section précédente : le maximum de $f$ sur $[-2 ; 4]$ est $5$, atteint en $x = 1$ ; le minimum est $-3$, atteint en $x = -2$ (car $-3 < 0$).
À retenir : Ne pas confondre le maximum (la valeur $f(a)$) et l'endroit où il est atteint (la valeur $a$).
Tableau de signes d'une fonction
Étudier le signe de $f$, c'est chercher pour quels $x$ on a $f(x) > 0$, $f(x) < 0$ ou $f(x) = 0$. Le tableau de signes le résume : on y place, dans l'ordre croissant, les valeurs de $x$ où $f$ s'annule (et les valeurs interdites), puis le signe $+$ ou $-$ sur chaque intervalle. Graphiquement, $f(x) > 0$ lorsque la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses. Pour un produit ou un quotient, on fait une ligne par facteur puis on applique la règle des signes ; une valeur interdite est marquée d'une double barre.
Exemple
Signe de $(x - 1)(x + 3)$ : $x - 1$ s'annule en $1$ et $x + 3$ en $-3$. Le produit est positif sur $]-\infty ; -3[$, négatif sur $]-3 ; 1[$, positif sur $]1 ; +\infty[$, et nul en $-3$ et en $1$.
À retenir : Un tableau de signes se construit facteur par facteur ; le dénominateur d'un quotient ne doit jamais s'annuler (double barre).
Fonctions affines : coefficient directeur, ordonnée à l'origine, sens de variation et signe
Une fonction affine est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = mx + p$ ; sa courbe est une droite. $m$ est le coefficient directeur (ou taux d'accroissement : quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $m$) et $p$ est l'ordonnée à l'origine ($f(0) = p$). Si $m > 0$, $f$ est croissante ; si $m < 0$, elle est décroissante ; si $m = 0$, elle est constante. Pour $m \neq 0$, $f(x)$ s'annule en $x = -\frac{p}{m}$ ; $f(x)$ est du signe de $m$ à droite de cette valeur et du signe contraire à gauche.
Exemple
$f(x) = -2x + 6$ : $m = -2 < 0$, donc $f$ est décroissante ; $f(x) = 0$ pour $x = 3$ ; $f(x) > 0$ sur $]-\infty ; 3[$ et $f(x) < 0$ sur $]3 ; +\infty[$.
À retenir : Pour $f(x) = mx + p$ : le signe de $m$ donne le sens de variation, et $f(x)$ a le signe de $m$ à droite de $-\frac{p}{m}$.
Résoudre f(x) = k, f(x) < k, f(x) = g(x), f(x) < g(x)
Graphiquement, les solutions de $f(x) = k$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec la droite d'équation $y = k$ ; celles de $f(x) < k$ sont les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ situés strictement sous cette droite. De même, les solutions de $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, et celles de $f(x) < g(x)$ les abscisses des points où $\mathcal{C}_f$ est strictement sous $\mathcal{C}_g$. Algébriquement, on se ramène souvent au signe de $f(x) - k$ ou de $f(x) - g(x)$.
Exemple
$x^2 = 4$ a deux solutions, $-2$ et $2$ : la parabole coupe deux fois la droite d'équation $y = 4$. $x^2 < 4$ a pour ensemble de solutions $]-2 ; 2[$ : c'est là que la parabole est sous la droite.
À retenir : Une lecture graphique donne en général des valeurs approchées ; un calcul algébrique donne les valeurs exactes. Les solutions sont des valeurs de $x$, écrites à l'aide d'intervalles pour une inéquation.
Modéliser une situation par une fonction ; problèmes d'optimisation
Modéliser une situation par une fonction, c'est choisir la variable $x$, préciser son ensemble de définition (souvent imposé par le contexte), puis exprimer la grandeur étudiée en fonction de $x$. Un problème d'optimisation consiste ensuite à chercher pour quelle valeur de $x$ cette grandeur est maximale ou minimale, à l'aide d'un tableau de variations, de la courbe ou d'un outil numérique.
Exemple
Avec $20$ m de clôture, on délimite un rectangle de largeur $x$ (en m). Sa longueur est $10 - x$, donc son aire vaut $A(x) = x(10 - x)$ pour $x \in [0 ; 10]$. On vérifie que $A(x) = 25 - (x - 5)^2$ ; comme un carré est positif ou nul, $A(x) \leq 25$, avec égalité pour $x = 5$ : l'aire est maximale pour un carré de côté $5$ m, et vaut alors $25$ m².
À retenir : Toujours préciser la variable, son unité et son ensemble de définition avant de chercher un maximum ou un minimum.
Les points clés
- Un nombre de $D_f$ a une seule image ; un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
- $M(a ; b)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $a \in D_f$ et $f(a) = b$.
- Croissante : les images sont rangées dans le même ordre que les nombres ; décroissante : dans l'ordre inverse.
- Maximum et minimum sont des valeurs de $f(x)$, atteintes en des valeurs de $x$ qu'il faut préciser.
- Pour $f(x) = mx + p$ : croissante si $m > 0$, décroissante si $m < 0$ ; elle s'annule en $-\frac{p}{m}$ lorsque $m \neq 0$.
- Résoudre $f(x) < g(x)$ graphiquement : chercher les abscisses des points où $\mathcal{C}_f$ est sous $\mathcal{C}_g$.
L'essentiel
Une fonction associe à chaque $x$ de son ensemble de définition une unique image $f(x)$ ; on l'étudie grâce à sa courbe d'équation $y = f(x)$, à son tableau de variations (extremums) et à son tableau de signes, outils qui servent à résoudre équations, inéquations et problèmes d'optimisation.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x + 5$. 1. Calculez $f(-1)$ et $f(3)$. 2. Donnez le sens de variation de $f$ en justifiant. 3. Résolvez $f(x) = 0$, puis donnez le tableau de signes de $f(x)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une fonction $f$ est définie sur $[0 ; 5]$. Elle est continue sur $[0 ; 5]$ (sa courbe se trace sans lever le crayon), strictement croissante sur $[0 ; 2]$ et strictement décroissante sur $[2 ; 5]$, avec $f(0) = 1$, $f(2) = 4$ et $f(5) = 2$. 1. Dressez son tableau de variations. 2. Donnez le maximum et le minimum de $f$ sur $[0 ; 5]$, en précisant où ils sont atteints. 3. Combien l'équation $f(x) = 3$ a-t-elle de solutions sur $[0 ; 5]$ ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →