Fonctions en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonctions pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Notion de fonction : image et antécédent
- Ensemble de définition d'une fonction
- Courbe représentative et lecture graphique
- Variations d'une fonction sur un intervalle
- Maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle
- Tableau de variations d'une fonction
- Tableau de signes d'une fonction
- Fonctions croissantes, décroissantes : définition formelle
Notion de fonction : image et antécédent
Une fonction est une machine mathématique qui transforme un nombre d'entrée en un nombre de sortie unique. L'antécédent est le nombre d'entrée, l'image est le nombre de sortie.
Exemple
Un distributeur de boissons : tu appuies sur le bouton (antécédent = 1), tu reçois un café (image = 1 café). Chaque bouton donne toujours le même résultat.
À retenir : Une fonction associe à chaque antécédent une unique image, notée $f(x)$ où $x$ est l'antécédent.
Ensemble de définition d'une fonction
L'ensemble de définition est l'ensemble de tous les nombres pour lesquels on peut calculer l'image par la fonction. C'est l'ensemble des antécédents possibles.
Exemple
Pour une fonction qui calcule la racine carrée, on ne peut pas utiliser les nombres négatifs. L'ensemble de définition est donc $[0 ; +\infty[$.
À retenir : L'ensemble de définition regroupe tous les nombres qu'on a le droit de mettre dans la fonction.
Courbe représentative et lecture graphique
La courbe représentative d'une fonction est le dessin de tous les points $(x ; f(x))$ sur un repère. Elle permet de visualiser le comportement de la fonction.
Exemple
Le graphique d'une température au cours d'une journée : l'axe horizontal représente les heures, l'axe vertical la température. Chaque point du graphique montre la température à une heure donnée.
À retenir : Sur une courbe, on lit l'image en partant de l'antécédent sur l'axe des abscisses, puis on monte jusqu'à la courbe et on lit l'ordonnée.
Variations d'une fonction sur un intervalle
Les variations d'une fonction décrivent si elle monte ou descend sur un intervalle. On dit qu'elle est croissante si elle monte, décroissante si elle descend.
Exemple
Le prix d'une action en bourse : elle peut monter pendant une semaine (croissante), puis baisser la semaine suivante (décroissante).
À retenir : Étudier les variations, c'est savoir où la fonction augmente et où elle diminue.
Maximum et minimum d'une fonction
Le maximum d'une fonction sur un intervalle est la plus grande valeur qu'elle atteint. Le minimum est la plus petite valeur qu'elle atteint.
Exemple
La température maximale d'une journée est 25°C à 14h, la température minimale est 10°C à 6h du matin.
À retenir : Le maximum et le minimum sont les points les plus hauts et les plus bas de la courbe sur l'intervalle étudié.
Tableau de variations d'une fonction
Un tableau de variations résume le comportement d'une fonction : il montre les intervalles où elle croît ou décroît, et indique ses extrema (maximum et minimum).
Exemple
Un tableau pour une fonction qui monte de 0 à 3, puis descend de 3 à 10 : on écrit les flèches montantes et descendantes avec les valeurs clés.
À retenir : Le tableau de variations est un résumé visuel qui remplace la courbe pour comprendre rapidement le comportement de la fonction.
Tableau de signes d'une fonction
Un tableau de signes indique où la fonction est positive (au-dessus de l'axe des abscisses), négative (en dessous), ou nulle (sur l'axe).
Exemple
Un profit d'entreprise : positif quand l'entreprise gagne de l'argent, négatif quand elle perd, zéro quand elle ne gagne ni ne perd.
À retenir : Le tableau de signes montre le signe de $f(x)$ (positif, négatif ou zéro) selon les valeurs de $x$.
Fonctions croissantes et décroissantes
Une fonction est croissante sur un intervalle si quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente aussi. Elle est décroissante si quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue.
Exemple
Le volume d'eau dans une baignoire qui se remplit : c'est une fonction croissante. Le volume d'eau qui s'écoule : c'est une fonction décroissante.
À retenir : Formellement : $f$ est croissante si pour tous $x_1 < x_2$, on a $f(x_1) < f(x_2)$.
Les points clés
- Une fonction associe à chaque antécédent une unique image
- L'ensemble de définition regroupe tous les antécédents possibles
- La courbe représentative visualise tous les points $(x ; f(x))$ de la fonction
- Les variations décrivent où la fonction croît ou décroît
- Le tableau de variations résume le comportement global de la fonction
- Le tableau de signes indique où la fonction est positive, négative ou nulle
- Une fonction croissante monte, une fonction décroissante descend
L'essentiel
Une fonction est une correspondance qui associe à chaque nombre d'entrée (antécédent) un unique nombre de sortie (image), et on peut l'étudier via sa courbe, ses variations, ses extrema et son tableau de signes.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Calculer l'image de 4 par la fonction $f$. Calculer les antécédents de 0 par la fonction $f$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \sqrt{x-1}$. 1. Quel est le domaine de définition de la fonction $g$ ? 2. Calculer $g(5)$. 3. Résoudre graphiquement l'équation $g(x) = 2$ en traçant la courbe représentative de $g$ sur l'intervalle $[1, 10]$ et la droite $y=2$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →