Suites numériques et modélisation en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de suites numériques et modélisation pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Suites arithmétiques et géométriques
- Calcul de termes et de sommes
- Modélisation d'évolutions professionnelles
- Limite intuitive et seuil
- Algorithmes de calcul de termes
Suites arithmétiques et progression linéaire
Une suite arithmétique est une succession de nombres où la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même. Cette différence constante s'appelle la raison et se note $r$.
Exemple
Un apprenti gagne 1500 euros le premier mois, puis 100 euros de plus chaque mois. Son salaire forme une suite arithmétique : 1500, 1600, 1700, 1800... avec raison $r = 100$.
À retenir : Le terme général d'une suite arithmétique est $u_n = u_0 + n \times r$ ou $u_n = u_1 + (n-1) \times r$.
Suites géométriques et croissance exponentielle
Une suite géométrique est une succession de nombres où chaque terme se obtient en multipliant le précédent par un nombre fixe appelé raison, noté $q$.
Exemple
Une bactérie se divise en deux chaque heure. Si on en a 1 au départ, après 1h on en a 2, après 2h on en a 4, après 3h on en a 8. C'est une suite géométrique avec raison $q = 2$.
À retenir : Le terme général d'une suite géométrique est $u_n = u_0 \times q^n$ ou $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.
Calcul de termes et formules explicites
Calculer un terme d'une suite signifie trouver la valeur numérique d'un élément particulier. On utilise la formule explicite qui donne directement $u_n$ en fonction de $n$.
Exemple
Pour un salaire qui augmente de 50 euros par mois (suite arithmétique avec $u_0 = 2000$ et $r = 50$), le salaire au 12e mois est $u_{12} = 2000 + 12 \times 50 = 2600$ euros.
À retenir : Toujours identifier d'abord le type de suite (arithmétique ou géométrique) avant de calculer un terme.
Somme des termes d'une suite
La somme des termes est le total obtenu en additionnant plusieurs éléments consécutifs d'une suite. Pour une suite arithmétique ou géométrique, il existe des formules rapides.
Exemple
Un ouvrier économise 100 euros le mois 1, 150 euros le mois 2, 200 euros le mois 3... (suite arithmétique). Ses économies totales après 12 mois se calculent avec la formule de somme.
À retenir : Pour une suite arithmétique : $S_n = \frac{n(u_0 + u_{n-1})}{2}$. Pour une suite géométrique avec $q \neq 1$ : $S_n = u_0 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}$.
Modélisation d'évolutions professionnelles
Modéliser une évolution signifie traduire une situation réelle (salaire, production, clientèle) par une suite mathématique pour faire des prédictions ou des analyses.
Exemple
Une entreprise produit 1000 pièces la première année et augmente sa production de 10% chaque année. On modélise cela par une suite géométrique avec $u_0 = 1000$ et $q = 1,1$ pour prévoir la production future.
À retenir : Une augmentation en pourcentage correspond à une suite géométrique avec $q = 1 + \frac{\text{pourcentage}}{100}$.
Limite intuitive et notion de seuil
La limite d'une suite décrit le comportement des termes quand $n$ devient très grand. Un seuil est une valeur limite qu'on cherche à atteindre ou à ne pas dépasser.
Exemple
Un médicament s'accumule dans le corps : jour 1 on a 10mg, jour 2 on a 19mg, jour 3 on a 27,1mg... La concentration se rapproche progressivement de 100mg (la limite) sans jamais la dépasser.
À retenir : Pour une suite géométrique : si $0 < q < 1$, la suite tend vers 0 ; si $q > 1$, la suite tend vers l'infini ; si $q = 1$, la suite est constante.
Algorithmes de calcul de termes
Un algorithme est une suite d'instructions pour calculer les termes d'une suite. On peut l'écrire en langage naturel, en pseudocode ou en code informatique (Python).
Exemple
Pour calculer le 100e terme d'une suite arithmétique, au lieu d'utiliser la formule, on peut écrire une boucle qui ajoute la raison 100 fois de suite.
À retenir : Les algorithmes permettent de calculer rapidement des termes éloignés et de trouver le premier terme qui dépasse un seuil donné.
Les points clés
- Une suite arithmétique a une différence constante entre termes consécutifs ; une suite géométrique a un quotient constant.
- Les formules explicites permettent de calculer directement n'importe quel terme sans calculer tous les précédents.
- Pour modéliser une situation réelle, identifier si l'évolution est linéaire (arithmétique) ou exponentielle (géométrique).
- Les algorithmes et boucles informatiques sont utiles pour trouver rapidement le premier terme dépassant un seuil.
- La limite d'une suite géométrique dépend uniquement de la raison $q$ : elle tend vers 0 si $|q| < 1$, vers l'infini si $|q| > 1$.
L'essentiel
Les suites arithmétiques et géométriques modélisent les évolutions du monde professionnel ; maîtriser leurs formules et leurs limites permet de faire des prédictions fiables.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une population de bactéries double tous les 3 jours. Démarrant à 100 bactéries, modéliser sa croissance et prévoir le nombre de bactéries après 15 jours.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un investissement de 10000€ croît de 4% par an. Déterminer après combien d'années le capital dépassera 15000€.
Corrige cet exercice avec le tuteur →