Suites numériques et modélisation en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de suites numériques et modélisation pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Suites arithmétiques : réinvestissement en contexte
- Suites géométriques de raison $q > 0$
- Terme de rang $n$ d'une suite géométrique
- Sens de variation d'une suite géométrique
- Nuage de points $(n ; u_n)$
- Somme des $n$ premiers termes
- Rang à partir duquel les termes dépassent un seuil
- Modéliser une évolution à taux fixe ; lien avec les fonctions exponentielles
Ce que tu vas réviser
- Suites arithmétiques : réinvestissement en contexte
- Suites géométriques de raison q > 0 : relation u(n+1) = u(n) × q
- Terme de rang n d'une suite géométrique
- Sens de variation d'une suite géométrique selon q et le premier terme
- Nuage de points (n ; u(n))
- Somme des n premiers termes, avec ou sans outil numérique (formule non exigée)
- Rang à partir duquel les termes dépassent un seuil (algorithme)
- Modéliser une évolution à taux fixe ; lien avec les fonctions exponentielles
Suites arithmétiques : réinvestissement en contexte
Une suite arithmétique est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$, appelé raison : $u_{n+1} = u_n + r$. Son terme de rang $n$ est $u_n = u_0 + n \times r$ (ou $u_n = u_1 + (n - 1) \times r$ si la suite commence au rang 1). Elle modélise une évolution d'une même quantité à chaque étape.
Exemple
Un apprenti gagne 1 500 euros le premier mois, puis 100 euros de plus chaque mois : $u_1 = 1\,500$ et $r = 100$. Le 12e mois, il gagne $u_{12} = 1\,500 + 11 \times 100 = 2\,600$ euros.
À retenir : Arithmétique : on ajoute toujours $r$ ; $u_n = u_0 + nr$.
Suites géométriques de raison $q > 0$
Une suite géométrique est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$, appelé raison : $u_{n+1} = u_n \times q$. En bac professionnel, on étudie le cas $q > 0$.
Exemple
Une bactérie se divise en deux chaque heure. En partant de 1 bactérie : 1, 2, 4, 8… ; c'est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $q = 2$. Une machine qui perd 15 % de sa valeur chaque année : la valeur est multipliée par $q = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ chaque année.
À retenir : Géométrique : on multiplie toujours par $q$ ; $u_{n+1} = u_n \times q$.
Terme de rang $n$ d'une suite géométrique
Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$, le terme de rang $n$ est $u_n = u_0 \times q^n$. Si la suite commence au rang 1, $u_n = u_1 \times q^{n-1}$. Cette formule permet de calculer directement un terme éloigné, sans calculer tous les précédents.
Exemple
Une machine vaut 20 000 euros et perd 15 % de sa valeur par an : $u_n = 20\,000 \times 0{,}85^n$. Au bout de 4 ans, $u_4 = 20\,000 \times 0{,}85^4 = 10\,440{,}125$ euros, soit environ 10 440 euros.
À retenir : $u_n = u_0 \times q^n$ (ou $u_1 \times q^{n-1}$ si le premier terme est $u_1$).
Sens de variation d'une suite géométrique
Pour une suite géométrique de raison $q > 0$ et de premier terme $u_0$ positif : si $q > 1$, la suite est croissante ; si $0 < q < 1$, elle est décroissante ; si $q = 1$, elle est constante. Si le premier terme est négatif, les sens de variation sont inversés.
Exemple
$u_n = 5\,000 \times 1{,}08^n$ est croissante ($q = 1{,}08 > 1$, $u_0 > 0$). $u_n = 20\,000 \times 0{,}85^n$ est décroissante ($0 < q < 1$, $u_0 > 0$). $u_n = -3 \times 2^n$ est décroissante ($q > 1$ mais $u_0 < 0$) : $-3$, $-6$, $-12$…
À retenir : Premier terme positif : $q > 1$ croissante, $0 < q < 1$ décroissante.
Nuage de points $(n ; u_n)$
On représente une suite par le nuage des points de coordonnées $(n ; u_n)$ ; ce ne sont que des points isolés, on ne les relie pas. Pour une suite arithmétique, les points sont alignés. Pour une suite géométrique, ils ne sont pas alignés : ils se placent sur une courbe qui monte de plus en plus vite (si $q > 1$ et $u_0 > 0$) ou qui s'aplatit (si $0 < q < 1$ et $u_0 > 0$).
Exemple
Pour $u_n = 1 + 2n$ : points $(0 ; 1)$, $(1 ; 3)$, $(2 ; 5)$, $(3 ; 7)$, alignés. Pour $v_n = 2^n$ : points $(0 ; 1)$, $(1 ; 2)$, $(2 ; 4)$, $(3 ; 8)$, non alignés : les écarts entre deux ordonnées successives (1, 2, 4) augmentent.
À retenir : Points alignés : suite arithmétique ; points sur une courbe « exponentielle » : suite géométrique.
Somme des $n$ premiers termes
Pour calculer la somme de plusieurs termes consécutifs d'une suite (total des salaires, production cumulée…), on peut additionner les termes à la calculatrice, utiliser un tableur (colonne des termes puis fonction SOMME) ou un algorithme. Aucune formule n'est exigée. Pour une suite arithmétique, on peut aussi utiliser : somme = nombre de termes × (premier terme + dernier terme) ÷ 2.
Exemple
Un ouvrier économise 100 euros le premier mois, puis 50 euros de plus chaque mois. Le 12e mois, il économise $100 + 11 \times 50 = 650$ euros. Total sur 12 mois : $\frac{12 \times (100 + 650)}{2} = 4\,500$ euros (résultat que l'on retrouve au tableur). ```python total = 0 u = 100 for mois in range(12): total = total + u u = u + 50 print(total) # affiche 4500 ```
À retenir : La somme se calcule avec un outil numérique (tableur, calculatrice, algorithme) ; la formule n'est pas exigée.
Rang à partir duquel les termes dépassent un seuil
On cherche le plus petit rang $n$ tel que $u_n$ dépasse (ou passe sous) une valeur donnée. On calcule les termes successifs au tableur ou à la calculatrice, ou on écrit un algorithme avec une boucle « tant que » : tant que le terme n'a pas atteint le seuil, on calcule le terme suivant et on augmente le rang de 1.
Exemple
Machine à 20 000 euros qui perd 15 % par an : quand vaut-elle moins de 10 000 euros ? ```python u = 20000 n = 0 while u >= 10000: u = u * 0.85 n = n + 1 print(n) # affiche 5 ``` En effet $u_4 \approx 10\,440$ et $u_5 \approx 8\,874$ : la valeur passe sous 10 000 euros au bout de 5 ans.
À retenir : Algorithme de seuil : boucle `while` qui calcule les termes un par un jusqu'à franchir le seuil.
Modéliser une évolution à taux fixe ; lien avec les fonctions exponentielles
Une grandeur qui augmente de $p$ % à chaque période est multipliée par $q = 1 + \frac{p}{100}$ ; si elle diminue de $p$ %, elle est multipliée par $q = 1 - \frac{p}{100}$. Elle est donc modélisée par une suite géométrique $u_n = u_0 \times q^n$. La fonction $x \mapsto u_0 \times q^x$, définie pour tous les réels $x \geq 0$, prolonge cette suite : c'est une fonction exponentielle de base $q$, et les points $(n ; u_n)$ sont sur sa courbe.
Exemple
Une entreprise produit 1 000 pièces la première année et augmente sa production de 10 % par an : $u_n = 1\,000 \times 1{,}1^n$. La fonction $f(x) = 1\,000 \times 1{,}1^x$ permet d'estimer la production au bout de 2,5 ans : $f(2{,}5) \approx 1\,269$ pièces par an.
À retenir : Hausse de $p$ % : $q = 1 + \frac{p}{100}$ ; baisse de $p$ % : $q = 1 - \frac{p}{100}$. La suite $(u_0 q^n)$ se prolonge par la fonction $x \mapsto u_0 q^x$.
Les points clés
- Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ et $u_n = u_0 + nr$
- Suite géométrique ($q > 0$) : $u_{n+1} = u_n \times q$ et $u_n = u_0 \times q^n$
- Premier terme positif : croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$
- Nuage de points $(n ; u_n)$ : alignés pour une suite arithmétique, pas pour une suite géométrique
- La somme des premiers termes se calcule avec un outil numérique ; la formule n'est pas exigée
- Le rang de dépassement d'un seuil se trouve au tableur ou avec une boucle `while`
- Une évolution à taux fixe se modélise par une suite géométrique, prolongée par une fonction exponentielle
L'essentiel
Les suites arithmétiques (on ajoute toujours la même quantité) et géométriques (on multiplie toujours par le même nombre) modélisent les évolutions professionnelles ; tableur et algorithmes permettent de calculer des sommes et de trouver quand un seuil est franchi.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un technicien gagne 1 800 euros le premier mois ; son salaire augmente ensuite de 60 euros chaque mois. On note $u_n$ le salaire du $n$-ième mois. a) Quelle est la nature de la suite ? b) Calculer le salaire du 24e mois. c) Calculer le total gagné sur les 24 mois.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une usine produit 5 000 pièces la première année ; la production augmente ensuite de 8 % par an. On note $u_n$ la production de la $n$-ième année. a) Justifier que $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison. Est-elle croissante ? b) Calculer la production de la 6e année. c) En quelle année la production dépasse-t-elle 7 000 pièces pour la première fois ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →