Suites numériques et modélisation en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de suites numériques et modélisation pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Suites arithmétiques : réinvestissement en contexte
- Suites géométriques de raison q > 0 : relation u(n+1) = u(n) × q
- Terme de rang n d'une suite géométrique
- Sens de variation d'une suite géométrique selon q et le premier terme
- Nuage de points (n ; u(n))
- Somme des n premiers termes, avec ou sans outil numérique (formule non exigée)
- Rang à partir duquel les termes dépassent un seuil (algorithme)
- Modéliser une évolution à taux fixe ; lien avec les fonctions exponentielles
Suites arithmétiques et progression linéaire
Une suite arithmétique est une succession de nombres où la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même. Cette différence constante s'appelle la raison et se note $r$.
Exemple
Un apprenti gagne 1500 euros le premier mois, puis 100 euros de plus chaque mois. Son salaire forme une suite arithmétique : 1500, 1600, 1700, 1800... avec raison $r = 100$.
À retenir : Le terme général d'une suite arithmétique est $u_n = u_0 + n \times r$ ou $u_n = u_1 + (n-1) \times r$.
Suites géométriques et croissance exponentielle
Une suite géométrique est une succession de nombres où chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre fixe appelé raison, noté $q$.
Exemple
Une bactérie se divise en deux chaque heure. Si on en a 1 au départ, après 1h on en a 2, après 2h on en a 4, après 3h on en a 8. C'est une suite géométrique avec raison $q = 2$.
À retenir : Le terme général d'une suite géométrique est $u_n = u_0 \times q^n$ ou $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.
Calcul de termes et formules explicites
Calculer un terme d'une suite signifie trouver la valeur numérique d'un élément particulier. On utilise la formule explicite qui donne directement $u_n$ en fonction de $n$.
Exemple
Pour un salaire qui augmente de 50 euros par mois (suite arithmétique avec $u_0 = 2000$ et $r = 50$), le salaire 12 mois plus tard est $u_{12} = 2000 + 12 \times 50 = 2600$ euros.
À retenir : Toujours identifier d'abord le type de suite (arithmétique ou géométrique) avant de calculer un terme.
Somme des termes d'une suite
La somme des termes est le total obtenu en additionnant plusieurs éléments consécutifs d'une suite. Pour une suite arithmétique ou géométrique, il existe des formules rapides.
Exemple
Un ouvrier économise 100 euros le mois 1, 150 euros le mois 2, 200 euros le mois 3… (suite arithmétique de raison 50). Le mois 12, il économise $100 + 11 \times 50 = 650$ euros ; ses économies totales sur 12 mois sont $\frac{12 \times (100 + 650)}{2} = 4500$ euros.
À retenir : Pour une suite arithmétique, somme de $n$ termes consécutifs $= \frac{n \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})}{2}$. Pour une suite géométrique ($q \neq 1$), la somme des $n$ premiers termes $u_0 + \ldots + u_{n-1}$ vaut $u_0 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}$ : cette formule n'est pas exigée, on peut calculer la somme avec la calculatrice ou un tableur.
Modélisation d'évolutions professionnelles
Modéliser une évolution signifie traduire une situation réelle (salaire, production, clientèle) par une suite mathématique pour faire des prédictions ou des analyses.
Exemple
Une entreprise produit 1000 pièces la première année et augmente sa production de 10 % chaque année. On modélise cela par une suite géométrique avec $u_0 = 1000$ et $q = 1{,}1$ pour prévoir la production future.
À retenir : Une augmentation en pourcentage correspond à une suite géométrique avec $q = 1 + \frac{\text{pourcentage}}{100}$.
Notion de seuil (et évolution à long terme)
Chercher un seuil, c'est déterminer le premier rang $n$ à partir duquel les termes d'une suite dépassent (ou deviennent inférieurs à) une valeur donnée. On le trouve en calculant les termes successifs, avec la calculatrice, un tableur ou un algorithme.
Exemple
Une machine vaut 20000 euros et perd 15 % de sa valeur chaque année : $u_n = 20000 \times 0{,}85^n$. On a $u_4 \approx 10440$ et $u_5 \approx 8874$ : sa valeur passe sous 10000 euros à partir de $n = 5$, c'est-à-dire au bout de 5 ans.
À retenir : Pour une suite géométrique de premier terme positif : si $q > 1$, les termes deviennent aussi grands que l'on veut, donc tout seuil finit par être dépassé ; si $0 < q < 1$, les termes diminuent et se rapprochent de 0 (simple observation : la notion de limite n'est pas au programme de bac pro).
Algorithmes de calcul de termes
Un algorithme est une suite d'instructions pour calculer les termes d'une suite. On peut l'écrire en langage naturel, en pseudocode ou en code informatique (Python).
Exemple
Pour calculer $u_{100}$ d'une suite arithmétique à partir de $u_0$, au lieu d'utiliser la formule, on peut écrire une boucle qui ajoute la raison 100 fois de suite.
À retenir : Les algorithmes permettent de calculer rapidement des termes éloignés et de trouver le premier terme qui dépasse un seuil donné.
Les points clés
- Une suite arithmétique a une différence constante entre termes consécutifs ; une suite géométrique a un quotient constant.
- Les formules explicites permettent de calculer directement n'importe quel terme sans calculer tous les précédents.
- Pour modéliser une situation réelle, identifier si l'évolution est linéaire (arithmétique) ou exponentielle (géométrique).
- Les algorithmes et boucles informatiques sont utiles pour trouver rapidement le premier terme dépassant un seuil.
- Pour une suite géométrique de premier terme positif et de raison $q > 0$ : croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$ ; un tableur ou un algorithme permet de trouver le rang de dépassement d'un seuil.
L'essentiel
Les suites arithmétiques et géométriques modélisent les évolutions du monde professionnel ; leurs formules et la recherche de seuils permettent de faire des prévisions.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un technicien gagne 1800 euros par mois. Son employeur lui promet une augmentation de 60 euros chaque mois. Quel sera son salaire au 24e mois ? Combien aura-t-il gagné au total après 24 mois de travail ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une usine produit 5000 pièces la première année. La production augmente de 8 % chaque année. Combien de pièces seront produites la 6e année ? En quelle année la production dépassera-t-elle 7000 pièces pour la première fois ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →