Position de la courbe par rapport à ses tangentes en Terminale
Position de la courbe par rapport à ses tangentes, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Compléments sur la dérivation », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Position de la courbe par rapport à ses tangentes : le cours
La position relative de la courbe et de ses tangentes dépend de la convexité. Si $f$ est convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes. Si $f$ est concave, la courbe est en dessous de ses tangentes. Aux points d'inflexion, la tangente traverse la courbe.
Exemple
La fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$ ; sa tangente en $0$ a pour équation $y = x + 1$, donc $e^x \geq x + 1$ pour tout réel $x$. C'est ainsi que la convexité permet de démontrer des inégalités.
À retenir
Convexe = courbe au-dessus de ses tangentes ; concave = courbe en dessous de ses tangentes.
S'entraîner sur position de la courbe par rapport à ses tangentes
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $f(x) = (2x - 3)^4$. Calculez $f'(x)$ et $f''(x)$, puis déterminez les intervalles de convexité et de concavité.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Trouvez les points d'inflexion et déterminez les intervalles de convexité et de concavité.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Compléments sur la dérivation (Mathématiques Terminale).