Théorème de Thalès en 4ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de théorème de thalès pour les élèves de 4ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Configuration de Thalès dans le cas des triangles emboîtés
- Théorème de Thalès : égalité des rapports de longueurs
- Réciproque du théorème de Thalès : démontrer que deux droites sont parallèles
- Calcul de longueurs, dont des longueurs inaccessibles
- Agrandissement et réduction de figures : rapport k
- Effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs et les aires
Configuration de Thalès : triangles emboîtés
En 4e, on étudie la configuration des triangles emboîtés : ABC est un triangle, M est un point du segment $[AB]$, N un point du segment $[AC]$, et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. Le petit triangle AMN est « emboîté » dans le grand triangle ABC : ils ont le sommet A en commun.
Exemple
Dans un triangle ABC, on trace la parallèle à $(BC)$ qui passe par le milieu M de $[AB]$ : elle coupe $[AC]$ en N. Les triangles AMN et ABC forment une configuration de Thalès.
À retenir : Pour reconnaître la configuration : un sommet commun A, M sur $[AB]$, N sur $[AC]$ et $(MN)$ parallèle à $(BC)$.
Théorème de Thalès : égalité des rapports
Dans un triangle ABC, si M est un point du segment $[AB]$, N un point du segment $[AC]$, et si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$. Les longueurs des côtés du triangle AMN sont proportionnelles à celles du triangle ABC.
Exemple
M est sur $[AB]$, N sur $[AC]$ et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, avec $AM = 2$ cm, $AB = 6$ cm et $BC = 9$ cm. D'après le théorème de Thalès, $\frac{MN}{9} = \frac{2}{6}$, donc $MN = \frac{2 \times 9}{6} = 3$ cm.
À retenir : On écrit toujours les rapports dans le même ordre : petit triangle au numérateur, grand triangle au dénominateur.
Réciproque du théorème de Thalès : prouver un parallélisme
La réciproque permet de démontrer que deux droites sont parallèles. Dans un triangle ABC, si M est un point du segment $[AB]$, N un point du segment $[AC]$, et si $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. Si les deux rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles (d'après le théorème de Thalès lui-même).
Exemple
$AM = 3$ cm, $AB = 7{,}5$ cm, $AN = 4$ cm, $AC = 10$ cm, avec M sur $[AB]$ et N sur $[AC]$. On calcule séparément : $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{7{,}5} = 0{,}4$ et $\frac{AN}{AC} = \frac{4}{10} = 0{,}4$. Les rapports sont égaux, donc $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
À retenir : Pour appliquer la réciproque, on calcule les deux rapports séparément, puis on les compare.
Calculer des longueurs, même inaccessibles
Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur qu'on ne peut pas mesurer directement (hauteur d'un arbre, d'un bâtiment, largeur d'une rivière), à condition de reconnaître une configuration de triangles emboîtés avec deux droites parallèles.
Exemple
Pour mesurer la hauteur d'une tour, on plante un bâton vertical de 1 m, placé de sorte que l'extrémité de son ombre coïncide avec celle de l'ombre de la tour. L'ombre du bâton mesure 1,5 m, celle de la tour 30 m. Le bâton et la tour sont verticaux, donc parallèles : on a une configuration de Thalès de sommet l'extrémité commune des ombres. Donc $\frac{1{,}5}{30} = \frac{1}{h}$, d'où $h = \frac{30 \times 1}{1{,}5} = 20$ m.
À retenir : Repère les deux droites parallèles et le sommet commun, écris l'égalité des rapports, puis calcule la longueur cherchée par un produit en croix.
Agrandissement et réduction : rapport k
Agrandir ou réduire une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par un même nombre positif $k$, appelé rapport. Si $k > 1$, c'est un agrandissement ; si $0 < k < 1$, c'est une réduction. Les angles sont conservés. Dans une configuration de Thalès, le triangle AMN est une réduction du triangle ABC, de rapport $k = \frac{AM}{AB}$.
Exemple
Une maquette de maison à l'échelle 1/100 : toutes les longueurs réelles sont multipliées par $k = 0{,}01$, c'est une réduction. Dans l'exemple du théorème, $k = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ : AMN est une réduction de ABC de rapport $\frac{1}{3}$.
À retenir : Un agrandissement ou une réduction multiplie toutes les longueurs par le même rapport $k$ et conserve les angles.
Effet sur les longueurs et les aires
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$ et les aires sont multipliées par $k^2$. En effet, un carré de côté $c$ devient un carré de côté $kc$, dont l'aire est $(kc)^2 = k^2 \times c^2$.
Exemple
Si l'on double les longueurs d'un rectangle de 3 cm sur 2 cm ($k = 2$), on obtient un rectangle de 6 cm sur 4 cm : l'aire passe de $6 \text{ cm}^2$ à $24 \text{ cm}^2$, elle est multipliée par $2^2 = 4$ et non par 2.
À retenir : Longueurs × $k$ ; aires × $k^2$.
Les points clés
- Configuration de Thalès en 4e : triangles emboîtés AMN et ABC, M sur $[AB]$, N sur $[AC]$, $(MN)$ parallèle à $(BC)$
- Théorème : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$
- Réciproque : si $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$, alors $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles
- Le théorème permet de calculer des longueurs inaccessibles
- Un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ multiplie les longueurs par $k$ et les aires par $k^2$
L'essentiel
Le théorème de Thalès relie droites parallèles et proportionnalité des longueurs : il sert à calculer des longueurs, sa réciproque à prouver que deux droites sont parallèles, et il éclaire les agrandissements et réductions.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Dans un triangle ABC, M est un point de $[AB]$ et N un point de $[AC]$, et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne $AM = 3$ cm, $MB = 2$ cm et $AN = 4{,}5$ cm. Calcule NC.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un triangle a une aire de 20 cm². On l'agrandit avec un rapport $k = 3$. a) Par combien sont multipliées ses longueurs ? b) Quelle est l'aire du triangle agrandi ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →