Théorème de Thalès en 4ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de théorème de thalès pour les élèves de 4ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Configuration de Thalès : droites parallèles coupées par des sécantes
- Théorème de Thalès : rapport des longueurs proportionnelles
- Réciproque du théorème de Thalès : démontrer le parallélisme
- Applications : calcul de longueurs inaccessibles
- Agrandissement et réduction de figures : rapport k
- Effet d'un agrandissement/réduction sur les longueurs et les aires
- Triangles semblables et proportionnalité des côtés
Configuration de Thalès et droites parallèles
La configuration de Thalès se forme quand deux droites parallèles sont coupées par deux autres droites (appelées sécantes) qui se croisent. Cela crée des triangles emboîtés avec des côtés proportionnels.
Exemple
Imagine deux rails de train parallèles coupés par deux routes qui se croisent : les triangles formés ont leurs côtés dans les mêmes proportions.
À retenir : Deux droites parallèles coupées par deux sécantes créent toujours des longueurs proportionnelles.
Théorème de Thalès : calcul de proportions
Le théorème de Thalès dit que si deux droites sont parallèles, alors elles divisent les deux sécantes en segments proportionnels. On peut écrire : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$
Exemple
Un photographe agrandit une photo : si la largeur est multipliée par 2, la hauteur l'est aussi. C'est le théorème de Thalès en action.
À retenir : Si deux droites sont parallèles, les rapports des longueurs sur les sécantes sont égaux.
Réciproque de Thalès : prouver le parallélisme
La réciproque permet de vérifier si deux droites sont parallèles. Si les rapports des longueurs sont égaux ($\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$), alors les droites MN et BC sont parallèles.
Exemple
Un menuisier vérifie que deux étagères sont bien parallèles en mesurant les distances : si les rapports sont égaux, les étagères sont parallèles.
À retenir : Si les rapports de longueurs sont égaux, alors les droites sont parallèles.
Applications : calculer des longueurs inaccessibles
Grâce au théorème de Thalès, on peut calculer des longueurs qu'on ne peut pas mesurer directement, comme la hauteur d'un arbre ou d'un bâtiment, en utilisant des triangles semblables.
Exemple
Pour mesurer la hauteur d'une tour, on utilise son ombre et celle d'un bâton : les triangles formés sont semblables, donc on peut calculer la hauteur réelle.
À retenir : Thalès permet de calculer des longueurs inaccessibles en utilisant la proportionnalité.
Agrandissement et réduction : rapport k
Agrandir ou réduire une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par un même nombre k appelé rapport. Si $k > 1$, c'est un agrandissement ; si $0 < k < 1$, c'est une réduction.
Exemple
Une maquette de maison à l'échelle 1/100 : toutes les dimensions réelles sont divisées par 100. C'est une réduction avec $k = 0,01$.
À retenir : Un agrandissement ou une réduction multiplie toutes les longueurs par le même rapport k.
Effet sur les longueurs et les aires
Quand on agrandit ou réduit une figure avec un rapport k, les longueurs sont multipliées par k, mais les aires sont multipliées par $k^2$. Par exemple, si on double les longueurs ($k = 2$), l'aire est multipliée par $2^2 = 4$.
Exemple
Une pizza deux fois plus grande en longueur a une surface 4 fois plus grande, donc 4 fois plus de fromage.
À retenir : Les longueurs sont multipliées par k, mais les aires sont multipliées par $k^2$.
Triangles semblables et proportionnalité
Deux triangles sont semblables s'ils ont les mêmes angles. Leurs côtés correspondants sont alors proportionnels : $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$
Exemple
Une petite maquette de bateau et le vrai bateau ont la même forme : ce sont des triangles semblables si on regarde leur profil.
À retenir : Deux triangles semblables ont leurs côtés correspondants proportionnels.
Les points clés
- Le théorème de Thalès s'applique quand deux droites parallèles coupent deux sécantes
- La réciproque permet de prouver que deux droites sont parallèles en vérifiant l'égalité des rapports
- Un agrandissement/réduction multiplie les longueurs par k et les aires par $k^2$
- Les triangles semblables ont leurs côtés proportionnels et les mêmes angles
- Thalès permet de calculer des longueurs inaccessibles en utilisant la proportionnalité
L'essentiel
Le théorème de Thalès relie les droites parallèles et la proportionnalité des longueurs : c'est l'outil clé pour calculer des longueurs inaccessibles et comprendre les agrandissements et réductions.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Dans un triangle ABC, on trace une droite parallèle à BC qui coupe AB en M et AC en N. On mesure : AM = 3 cm, MB = 2 cm, AN = 4,5 cm. Calcule NC.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une figure a une aire de 20 cm². On l'agrandit avec un rapport k = 3. Quelle est la nouvelle aire ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →