Trigonométrie dans le triangle rectangle en 4ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de trigonométrie dans le triangle rectangle pour les élèves de 4ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Cosinus d'un angle aigu : côté adjacent / hypoténuse
- Le cosinus ne dépend que de l'angle (justification par le théorème de Thalès)
- Calculer une longueur à l'aide du cosinus
- Calculer la mesure d'un angle à l'aide du cosinus (calculatrice)
- Résoudre des problèmes dans le triangle rectangle
Cosinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (le plus long). Pour un angle aigu, le côté adjacent est le côté de l'angle droit qui forme cet angle avec l'hypoténuse. Le cosinus de l'angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse. Comme le côté adjacent est plus court que l'hypoténuse, le cosinus d'un angle aigu est un nombre strictement compris entre 0 et 1.
Exemple
Dans le triangle ABC rectangle en C, pour l'angle $\widehat{BAC}$ : l'hypoténuse est $[AB]$ et le côté adjacent est $[AC]$. Donc $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AC}{AB}$. Si $AC = 4$ cm et $AB = 5$ cm, $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{4}{5} = 0{,}8$.
À retenir : $\cos(\text{angle}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, dans un triangle rectangle uniquement.
Le cosinus ne dépend que de l'angle
Le cosinus d'un angle ne dépend pas de la taille du triangle rectangle choisi, seulement de la mesure de l'angle. Justification : on considère un angle aigu de sommet A ; sur l'un de ses côtés, on place deux points M et M', et on trace les perpendiculaires à l'autre côté, qui le coupent en H et H'. Les droites $(MH)$ et $(M'H')$ sont perpendiculaires à la même droite, donc parallèles. Le théorème de Thalès donne $\frac{AH}{AH'} = \frac{AM}{AM'}$, donc $\frac{AH}{AM} = \frac{AH'}{AM'}$ : les deux triangles rectangles donnent le même cosinus.
Exemple
Un triangle rectangle de côté adjacent 4 cm et d'hypoténuse 5 cm, et un autre, deux fois plus grand, de côté adjacent 8 cm et d'hypoténuse 10 cm, ont le même angle aigu : $\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0{,}8$.
À retenir : À un angle aigu correspond un seul cosinus : c'est ce qui permet d'utiliser la calculatrice.
Calculer une longueur avec le cosinus
Si l'on connaît un angle aigu d'un triangle rectangle et l'une des deux longueurs (côté adjacent ou hypoténuse), on calcule l'autre. On écrit l'égalité $\cos(\text{angle}) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, on remplace les valeurs connues, puis on résout. La calculatrice doit être réglée en degrés.
Exemple
Une rampe de 5 m de long fait un angle de 10° avec le sol : la distance horizontale couverte est $5 \times \cos(10°) \approx 4{,}92$ m. Une rampe qui doit couvrir 4 m à l'horizontale avec un angle de 5° mesure $\frac{4}{\cos(5°)} \approx 4{,}02$ m.
À retenir : Côté adjacent = hypoténuse × cos(angle) ; hypoténuse = côté adjacent ÷ cos(angle).
Calculer un angle avec le cosinus
Si l'on connaît le côté adjacent et l'hypoténuse, on calcule d'abord le cosinus de l'angle, puis on retrouve la mesure de l'angle avec la touche $\cos^{-1}$ (ou Arccos, ou Acs selon les modèles) de la calculatrice, réglée en degrés.
Exemple
Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à l'angle cherché mesure 4 cm et l'hypoténuse 5 cm : $\cos(\text{angle}) = \frac{4}{5} = 0{,}8$, et la calculatrice donne angle $\approx 36{,}9°$.
À retenir : Angle $= \cos^{-1}\left(\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\right)$, calculatrice en mode degrés.
Résoudre des problèmes dans le triangle rectangle
Méthode : 1) repérer (ou construire) un triangle rectangle ; 2) nommer l'hypoténuse et le côté adjacent à l'angle utilisé ; 3) écrire le cosinus de cet angle ; 4) calculer la longueur ou l'angle cherché ; 5) donner une réponse arrondie avec l'unité. Le cosinus se combine avec d'autres outils du triangle rectangle : le théorème de Pythagore et la somme des angles.
Exemple
Une échelle de 4 m fait un angle de 70° avec le sol horizontal, contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à $4 \times \cos(70°) \approx 1{,}37$ m du mur. L'angle entre l'échelle et le mur mesure $90° - 70° = 20°$.
À retenir : Toujours vérifier que le triangle est rectangle et identifier correctement l'hypoténuse avant d'utiliser le cosinus.
Les points clés
- Dans un triangle rectangle, $\cos(\text{angle aigu}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, nombre compris entre 0 et 1
- Le cosinus ne dépend que de l'angle, pas de la taille du triangle (conséquence du théorème de Thalès)
- Pour une longueur : adjacent = hypoténuse × cos ; hypoténuse = adjacent ÷ cos
- Pour un angle : touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice, en mode degrés
- On peut combiner le cosinus avec le théorème de Pythagore et la somme des angles d'un triangle
L'essentiel
En 4e, le cosinus relie un angle aigu d'un triangle rectangle aux longueurs du côté adjacent et de l'hypoténuse : il permet de calculer une longueur ou un angle qu'on ne peut pas mesurer directement.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Dans un triangle ABC rectangle en C, l'hypoténuse AB mesure 10 cm et l'angle $\widehat{BAC}$ mesure 35°. Calcule la longueur AC, arrondie au centième de centimètre.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur perpendiculaire au sol. Son pied est à 2 m du mur. Calcule l'angle que fait l'échelle avec le sol, arrondi au dixième de degré.
Corrige cet exercice avec le tuteur →