Trigonométrie dans le triangle rectangle en 4ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de trigonométrie dans le triangle rectangle pour les élèves de 4ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
- Calcul d'une longueur à l'aide de la trigonométrie
- Calcul d'un angle à l'aide de la trigonométrie
- Valeurs remarquables (30°, 45°, 60°)
- Applications pratiques
Cosinus d'un angle aigu
Le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle est le rapport entre le côté adjacent à cet angle et l'hypoténuse. C'est un nombre toujours entre 0 et 1.
Exemple
Quand tu regardes un écran d'ordinateur incliné, l'angle entre l'écran et la table est lié au cosinus : plus l'angle est petit, plus le cosinus est proche de 1.
À retenir : $\cos(\text{angle}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
Sinus d'un angle aigu
Le sinus d'un angle dans un triangle rectangle est le rapport entre le côté opposé à cet angle et l'hypoténuse. C'est aussi un nombre entre 0 et 1.
Exemple
Quand un pompier monte une échelle contre un mur, le sinus de l'angle entre l'échelle et le sol dépend de la hauteur atteinte par rapport à la longueur de l'échelle.
À retenir : $\sin(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
Tangente d'un angle aigu
La tangente d'un angle dans un triangle rectangle est le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent. Contrairement au sinus et cosinus, elle peut être supérieure à 1.
Exemple
La pente d'une route de montagne est liée à la tangente : plus la tangente est grande, plus la route est raide.
À retenir : $\tan(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$
Calculer une longueur avec la trigonométrie
Quand on connaît un angle et une longueur dans un triangle rectangle, on peut utiliser le cosinus, sinus ou tangente pour trouver une autre longueur manquante.
Exemple
Un architecte connaît l'angle d'une rampe d'accès et sa longueur. Il utilise la trigonométrie pour calculer la hauteur de la rampe.
À retenir : Identifie d'abord quel rapport trigonométrique utiliser selon les données connues et celle à trouver.
Calculer un angle avec la trigonométrie
Quand on connaît deux longueurs dans un triangle rectangle, on peut utiliser les fonctions inverses (arccos, arcsin, arctan) pour trouver un angle.
Exemple
Un menuisier mesure les deux côtés d'un angle d'une pièce de bois et veut connaître l'angle exact pour faire une coupe précise.
À retenir : Utilise la touche $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ de ta calculatrice pour trouver l'angle.
Valeurs remarquables des angles
Les angles 30°, 45° et 60° ont des valeurs de sinus, cosinus et tangente qu'il est utile de connaître par coeur car elles reviennent souvent.
Exemple
Un escalier standard a souvent un angle de 30° ou 45° avec le sol. Ces angles remarquables simplifient les calculs.
À retenir : $\sin(30°) = 0,5$ ; $\cos(60°) = 0,5$ ; $\sin(45°) = \cos(45°) ≈ 0,707$ ; $\tan(45°) = 1$
Applications pratiques de la trigonométrie
La trigonométrie sert à résoudre des problèmes réels : mesurer des hauteurs inaccessibles, calculer des distances, construire des structures.
Exemple
Les pompiers utilisent la trigonométrie pour savoir à quelle hauteur placer une échelle contre un mur. Les géomètres l'utilisent pour mesurer la hauteur d'une montagne sans y monter.
À retenir : La trigonométrie transforme les angles et une longueur connue en longueurs inconnues.
Les points clés
- Dans un triangle rectangle, le cosinus, sinus et tangente relient les angles aux longueurs des côtés
- SOH-CAH-TOA : Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent
- Pour trouver une longueur, utilise sin, cos ou tan ; pour trouver un angle, utilise les fonctions inverses
- Les angles 30°, 45° et 60° ont des valeurs particulières à mémoriser
- La trigonométrie résout des problèmes concrets : hauteurs, distances, pentes
L'essentiel
La trigonométrie permet de calculer des longueurs ou des angles inconnus dans un triangle rectangle en utilisant les rapports entre les côtés.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Dans un triangle rectangle ABC avec angle droit en C, l'hypoténuse AB mesure 10 cm et l'angle A mesure 35°. Calcule la longueur du côté BC (opposé à l'angle A).
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un échelle de 5 mètres est appuyée contre un mur. Le pied de l'échelle est à 2 mètres du mur. Calcule l'angle que fait l'échelle avec le sol.
Corrige cet exercice avec le tuteur →