Géométrie du plan — quadrilatères et cercle en 4ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de géométrie du plan — quadrilatères et cercle pour les élèves de 4ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Propriétés des parallélogrammes : diagonales, côtés, angles
- Propriétés des rectangles, losanges, carrés
- Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
- Théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle
- Médiatrice : définition, construction, propriétés
Propriétés des parallélogrammes
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Ses diagonales se coupent en leur milieu, ses côtés opposés sont égaux et ses angles opposés sont égaux.
Exemple
Un terrain de basket vu de haut : les deux lignes de fond sont parallèles, les deux lignes de côté aussi. Les coins opposés du terrain ont les mêmes angles.
À retenir : Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu et les côtés opposés sont égaux.
Propriétés du rectangle
Un rectangle est un parallélogramme avec quatre angles droits. Ses diagonales sont égales et se coupent en leur milieu.
Exemple
L'écran de ton téléphone : il a quatre angles droits, et si tu traces les deux diagonales, elles ont la même longueur.
À retenir : Un rectangle a tous ses angles droits et ses diagonales sont égales.
Propriétés du losange
Un losange est un parallélogramme avec quatre côtés égaux. Ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
Exemple
Un carreau de carrelage en forme de losange ou le panneau routier « route prioritaire » : tous les côtés ont la même longueur et les deux diagonales se croisent à 90°.
À retenir : Un losange a tous ses côtés égaux et ses diagonales sont perpendiculaires.
Propriétés du carré
Un carré est à la fois un rectangle et un losange. Il a quatre angles droits, quatre côtés égaux, et ses diagonales sont égales et perpendiculaires.
Exemple
Une case d'un damier ou un carreau de chocolat : c'est le cas parfait avec tous les côtés égaux et tous les angles droits.
À retenir : Un carré réunit les propriétés du rectangle et du losange.
Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme, il faut montrer que : ses diagonales se coupent en leur milieu, ou (pour un quadrilatère non croisé) ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux, ou ses côtés opposés sont parallèles.
Exemple
Si tu mesures les deux diagonales d'une photo encadrée et que tu trouves qu'elles se coupent exactement au milieu, tu as un parallélogramme.
À retenir : Un quadrilatère est un parallélogramme si ses diagonales se coupent en leur milieu.
Théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle
Si un triangle est inscrit dans un cercle et que son plus long côté est un diamètre du cercle, alors l'angle opposé à ce diamètre est un angle droit.
Exemple
Si tu traces un demi-cercle sur une feuille, puis un triangle dont un côté est le diamètre et dont le troisième sommet est sur le demi-cercle, l'angle en ce sommet vaut toujours 90°.
À retenir : Un angle inscrit dans un demi-cercle est toujours un angle droit de 90°.
Médiatrice : définition et propriétés
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire qui passe par le milieu de ce segment. Tout point sur la médiatrice est à égale distance des deux extrémités du segment.
Exemple
Sur un terrain de foot : la médiatrice de la ligne de but passe par le centre et chaque point de cette ligne est à la même distance des deux poteaux de but.
À retenir : La médiatrice est perpendiculaire au segment et tous ses points sont équidistants des deux extrémités.
Construction de la médiatrice
Pour construire la médiatrice, on trace un arc de cercle depuis chaque extrémité du segment avec le même rayon (supérieur à la moitié de la longueur du segment), puis on relie les deux points d'intersection des arcs.
Exemple
Avec un compas et une règle : tu plantes l'aiguille aux deux bouts du segment et tu dessines, avec une ouverture de compas supérieure à la moitié du segment, deux arcs qui se croisent haut et bas. La droite qui passe par ces croisements est la médiatrice.
À retenir : Pour construire une médiatrice, utilise deux arcs de cercle de même rayon (supérieur à la moitié du segment) depuis les deux extrémités.
Les points clés
- Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu
- Un rectangle a 4 angles droits et des diagonales égales
- Un losange a 4 côtés égaux et des diagonales perpendiculaires
- Un carré est à la fois un rectangle et un losange
- L'angle inscrit dans un demi-cercle mesure 90°
- La médiatrice est perpendiculaire au segment en son milieu et équidistante de ses extrémités
L'essentiel
Les propriétés des quadrilatères (parallélogramme, rectangle, losange, carré) permettent de les reconnaître et de les démontrer ; la médiatrice et le théorème du demi-cercle sont des outils essentiels pour construire et prouver des figures.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
ABCD est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent au point O. Si AO = 3 cm, que vaut OC ? Justifie.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un triangle rectangle a son hypoténuse qui mesure 10 cm. Ce triangle est inscrit dans un cercle. Quel est le rayon du cercle ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →