Géométrie du plan — quadrilatères et cercle en 4ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de géométrie du plan — quadrilatères et cercle pour les élèves de 4ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Propriétés des parallélogrammes : diagonales, côtés, angles
- Propriétés des rectangles, losanges, carrés
- Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
- Angles inscrits et angle au centre
- Théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle
- Points cocycliques
- Médiatrice : définition, construction, propriétés
Propriétés des parallélogrammes
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Ses diagonales se coupent en leur milieu, ses côtés opposés sont égaux, et ses angles opposés sont égaux.
Exemple
Un terrain de football vu de haut forme un rectangle, qui est un cas particulier de parallélogramme. Les lignes de touche sont parallèles aux lignes de but.
À retenir : Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent toujours en leur milieu.
Rectangle, losange et carré
Le rectangle a 4 angles droits et ses diagonales sont égales. Le losange a 4 côtés égaux et ses diagonales sont perpendiculaires. Le carré réunit les propriétés des deux : 4 angles droits, 4 côtés égaux, diagonales égales et perpendiculaires.
Exemple
Une feuille A4 est un rectangle. Un carreau de carrelage peut être un carré. Un losange ressemble à un diamant sur les cartes à jouer.
À retenir : Le carré est à la fois un rectangle ET un losange.
Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on peut vérifier que ses diagonales se coupent en leur milieu, ou que ses côtés opposés sont égaux, ou que ses côtés opposés sont parallèles.
Exemple
Si tu mesures les diagonales d'une fenêtre rectangulaire et que tu trouves qu'elles se coupent exactement au milieu, tu peux affirmer que c'est un parallélogramme.
À retenir : Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
Angle inscrit et angle au centre
Un angle au centre a son sommet au centre du cercle. Un angle inscrit a son sommet sur le cercle. L'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
Exemple
Imagine une pizza : l'angle au centre est l'angle de la pointe au centre. L'angle inscrit serait un angle formé par deux points sur le bord de la pizza.
À retenir : Un angle au centre mesure toujours le double d'un angle inscrit qui intercepte le même arc.
Angle inscrit dans un demi-cercle
Si un angle inscrit intercepte un demi-cercle (c'est-à-dire si ses deux côtés passent par les extrémités d'un diamètre), alors cet angle mesure toujours 90 degrés.
Exemple
Si tu traces un triangle dont un côté est un diamètre d'un cercle et le troisième sommet sur le cercle, l'angle à ce sommet sera toujours un angle droit.
À retenir : Tout angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit (90°).
Points cocycliques
Des points sont cocycliques quand ils se trouvent tous sur le même cercle. On dit aussi qu'ils sont concycliques.
Exemple
Les quatre coins d'un carré inscrit dans un cercle sont cocycliques. Les trois sommets d'un triangle peuvent aussi être cocycliques si on trace le cercle qui passe par ces trois points.
À retenir : Plusieurs points sont cocycliques s'ils appartiennent tous au même cercle.
Médiatrice : définition et propriétés
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu. Tout point sur la médiatrice est équidistant des deux extrémités du segment.
Exemple
Si tu plies une feuille de papier pour que deux points se superposent exactement, le pli que tu fais est la médiatrice du segment reliant ces deux points.
À retenir : Tout point sur la médiatrice d'un segment est à égale distance des deux extrémités du segment.
Construction de la médiatrice
Pour construire la médiatrice d'un segment, on trace deux arcs de cercle de même rayon centrés aux deux extrémités du segment. La droite passant par les deux points d'intersection des arcs est la médiatrice.
Exemple
Avec un compas et une règle, tu peux tracer la médiatrice de n'importe quel segment en quelques secondes.
À retenir : La médiatrice se construit avec un compas en traçant deux arcs de même rayon depuis les deux extrémités.
Les points clés
- Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu
- Un angle au centre mesure le double d'un angle inscrit interceptant le même arc
- Tout angle inscrit dans un demi-cercle mesure 90 degrés
- La médiatrice d'un segment est perpendiculaire et passe par le milieu
- Tout point sur une médiatrice est équidistant des extrémités du segment
- Le carré réunit les propriétés du rectangle et du losange
L'essentiel
Les propriétés des quadrilatères (parallélogrammes, rectangles, losanges, carrés) et les angles dans un cercle (angle inscrit, angle au centre, angle dans un demi-cercle) sont les bases pour résoudre les problèmes de géométrie plane.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
ABCD est un parallélogramme. Les diagonales AC et BD se coupent en O. On sait que AO = 3 cm et BO = 4 cm. Calcule les longueurs OC et OD.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un cercle a pour centre O. A et B sont deux points du cercle. L'angle AOB (angle au centre) mesure 60 degrés. C est un autre point du cercle. Quel est la mesure de l'angle ACB (angle inscrit) qui intercepte le même arc AB ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →