Calcul littéral et développement en 4ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de calcul littéral et développement pour les élèves de 4ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Expressions littérales : écriture et simplification
- Développement avec la distributivité simple et double
- Réduction d'une expression littérale
- Factorisation par un facteur commun
- Identités remarquables : (a+b)², (a-b)², (a+b)(a-b)
- Substitution numérique dans une expression
- Preuves en calcul littéral (démontrer qu'une expression est toujours positive)
Expressions littérales et simplification
Une expression littérale utilise des lettres (comme x ou y) à la place de nombres inconnus. On peut la simplifier en regroupant les termes semblables (ceux avec la même lettre).
Exemple
Si tu achètes x stylos à 2 euros chacun et y cahiers à 5 euros chacun, le prix total s'écrit : 2x + 5y. C'est une expression littérale.
À retenir : Pour simplifier, on regroupe les termes avec la même lettre : 3x + 2x = 5x.
Distributivité simple
La distributivité simple permet de multiplier un nombre par une somme. On multiplie le nombre par chaque terme à l'intérieur de la parenthèse.
Exemple
Imagine que tu dois distribuer 3 sachets contenant (2 bonbons + 1 chewing-gum). Tu auras 3×2 bonbons + 3×1 chewing-gum = 6 bonbons + 3 chewing-gums.
À retenir : $k(a + b) = ka + kb$ : on multiplie k par chaque terme.
Distributivité double
Quand on multiplie deux parenthèses, on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième. On obtient 4 produits à additionner.
Exemple
Pour calculer (2 + 3) × (4 + 5), on fait : 2×4 + 2×5 + 3×4 + 3×5 = 8 + 10 + 12 + 15 = 45.
À retenir : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ : chaque terme de la première multiplie chaque terme de la deuxième.
Réduction d'une expression littérale
Réduire une expression, c'est l'écrire sous sa forme la plus simple en regroupant tous les termes semblables (même lettre, même puissance).
Exemple
Si tu as 5x + 3 + 2x - 1, tu regroupe les x ensemble et les nombres ensemble : 5x + 2x + 3 - 1 = 7x + 2.
À retenir : Regroupe les termes avec la même lettre et les nombres seuls, puis additionne-les.
Factorisation par facteur commun
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. On cherche le facteur commun à tous les termes et on le met en avant dans une parenthèse.
Exemple
Dans 6x + 9, le facteur commun est 3 (car 6 = 3×2 et 9 = 3×3). On écrit : 6x + 9 = 3(2x + 3).
À retenir : Cherche le plus grand nombre qui divise tous les termes, puis mets-le en facteur.
Identité remarquable : (a+b)²
Le carré d'une somme se développe selon une formule : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. C'est toujours un trinôme (3 termes).
Exemple
$(x + 3)^2 = x^2 + 2×x×3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$. Le terme du milieu est toujours le double du produit des deux termes.
À retenir : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : carré du premier + double produit + carré du second.
Identité remarquable : (a-b)²
Le carré d'une différence se développe ainsi : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. C'est similaire à (a+b)² mais avec un moins au milieu.
Exemple
$(x - 2)^2 = x^2 - 2×x×2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$. Le signe moins s'applique au double produit.
À retenir : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : attention au signe moins devant le double produit.
Identité remarquable : (a+b)(a-b)
Le produit d'une somme par une différence donne une différence de carrés : $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. C'est la plus simple des trois identités.
Exemple
$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$. Les termes du milieu s'annulent toujours.
À retenir : $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ : c'est une différence de deux carrés, très utile pour factoriser.
Substitution numérique
Substituer, c'est remplacer les lettres d'une expression par des nombres donnés, puis calculer le résultat.
Exemple
Si l'expression est 3x + 5 et qu'on te dit x = 2, tu calcules : 3×2 + 5 = 6 + 5 = 11.
À retenir : Remplace chaque lettre par sa valeur numérique, puis respecte l'ordre des opérations.
Preuves en calcul littéral
Utiliser le calcul littéral pour prouver qu'une expression a toujours une certaine propriété (toujours positive, toujours paire, etc.), peu importe la valeur de la lettre.
Exemple
Pour prouver que $x^2 + 1$ est toujours positif : $x^2$ est toujours ≥ 0 (car c'est un carré), donc $x^2 + 1$ ≥ 1 > 0. C'est toujours positif.
À retenir : Développe et réduis l'expression, puis analyse le résultat pour conclure sur sa propriété.
Les points clés
- Les termes semblables (même lettre) se regroupent et s'additionnent.
- La distributivité permet de multiplier un nombre par une parenthèse ou deux parenthèses entre elles.
- Les trois identités remarquables sont des formules à connaître par coeur pour gagner du temps.
- Factoriser c'est l'inverse de développer : on cherche le facteur commun.
- Pour prouver une propriété, on utilise le calcul littéral sans donner de valeur numérique à la lettre.
L'essentiel
Le calcul littéral permet de travailler avec des nombres inconnus en utilisant des lettres, et les identités remarquables sont des raccourcis essentiels pour développer ou factoriser rapidement.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Simplifier les expressions littérales suivantes : a) 3x + 5x - 2x b) 7y - y + 4y c) 2a + 3b - a + 5b d) 4(2z) - 3(5z)
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Développer et réduire les expressions suivantes : a) 5(x + 3) b) 2(4y - 1) c) 3(2a + b) - 4a
Corrige cet exercice avec le tuteur →