Calcul littéral et développement en 4ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de calcul littéral et développement pour les élèves de 4ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Expressions littérales : écriture, conventions (2a, ab) et substitution d'une valeur numérique
- Structure d'une expression littérale : somme ou produit
- Distributivité simple : développer un produit
- Distributivité simple : factoriser une somme par un facteur commun
- Réduire une expression littérale
- Notion d'identité : égalité vraie pour toutes les valeurs des lettres
- Utiliser le calcul littéral pour prouver une propriété générale
Expressions littérales : écriture et substitution
Une expression littérale contient des lettres qui désignent des nombres. Conventions d'écriture : on peut supprimer le signe × devant une lettre ou une parenthèse ($2 \times a$ s'écrit $2a$, $a \times b$ s'écrit $ab$, $3 \times (x + 1)$ s'écrit $3(x + 1)$), et on écrit $a^2$ pour $a \times a$. Substituer, c'est remplacer chaque lettre par une valeur numérique, puis calculer en respectant les priorités opératoires.
Exemple
Tu achètes $x$ stylos à 2 euros et $y$ cahiers à 5 euros : tu paies $2x + 5y$ euros. Pour $x = 3$ et $y = 2$ : $2 \times 3 + 5 \times 2 = 6 + 10 = 16$ euros. Attention : pour $x = 4$, $3x$ vaut $3 \times 4 = 12$, et non 34.
À retenir : $2a = 2 \times a$ ; $ab = a \times b$ ; $a^2 = a \times a$. Pour substituer, on remet les signes × avant de calculer.
Structure d'une expression : somme ou produit
La nature d'une expression est donnée par la dernière opération à effectuer quand on la calcule (en respectant les priorités). Si c'est une addition ou une soustraction, l'expression est une somme (ou une différence) ; si c'est une multiplication, c'est un produit.
Exemple
$3x + 5$ est une somme : on calcule d'abord $3x$, puis on ajoute 5. $3(x + 5)$ est un produit : on calcule d'abord $x + 5$, puis on multiplie par 3. $2x - 7$ est une différence ; $(x - 1)(x + 4)$ est un produit de deux facteurs.
À retenir : Dernière opération = addition ou soustraction : somme (ou différence). Dernière opération = multiplication : produit.
Distributivité simple : développer
Développer, c'est transformer un produit en somme. Pour tous nombres $k$, $a$ et $b$ : $k(a + b) = ka + kb$ et $k(a - b) = ka - kb$. On multiplie le facteur $k$ par chacun des termes de la parenthèse, en faisant attention aux signes.
Exemple
$4(x + 3) = 4x + 12$. $-2(x - 5) = -2x + 10$ : le facteur $-2$ multiplie aussi $-5$, et $(-2) \times (-5) = 10$. $x(x + 2) = x^2 + 2x$.
À retenir : $k(a + b) = ka + kb$ : le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse.
Distributivité simple : factoriser
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. On repère un facteur commun à tous les termes, puis on applique la distributivité « dans l'autre sens » : $ka + kb = k(a + b)$. On vérifie en redéveloppant.
Exemple
$6x + 9 = 3 \times 2x + 3 \times 3 = 3(2x + 3)$. $5x - 5 = 5(x - 1)$. $x^2 + 3x = x \times x + 3 \times x = x(x + 3)$. Vérification : $3(2x + 3) = 6x + 9$.
À retenir : $ka + kb = k(a + b)$ : je mets le facteur commun devant la parenthèse, puis je vérifie en développant.
Réduire une expression littérale
Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible en regroupant les termes semblables : les termes en $x$ ensemble, les termes en $x^2$ ensemble, les nombres seuls ensemble. $3x$ et $2x$ sont semblables, mais pas $3x$ et $3x^2$.
Exemple
$5x + 3 + 2x - 1 = (5x + 2x) + (3 - 1) = 7x + 2$. $4x^2 + x - x^2 + 3x = 3x^2 + 4x$.
À retenir : On ne peut additionner que des termes semblables : $3x + 2x = 5x$, mais $3x + 2$ ne se réduit pas.
Notion d'identité
Une identité est une égalité entre deux expressions qui est vraie pour toutes les valeurs des lettres. La distributivité en donne des exemples : $3(x + 2) = 3x + 6$ est vraie quel que soit $x$. Une égalité qui n'est vraie que pour certaines valeurs n'est pas une identité : pour montrer qu'une égalité n'est pas une identité, il suffit de trouver une valeur qui la rend fausse (un contre-exemple).
Exemple
L'égalité $2x + 3 = 5x$ est vraie pour $x = 1$ (les deux membres valent 5), mais pour $x = 2$ on obtient $7$ d'un côté et $10$ de l'autre : ce n'est pas une identité. Tester une ou deux valeurs ne permet donc jamais de prouver une identité.
À retenir : Identité = égalité vraie pour toutes les valeurs. Un contre-exemple suffit pour montrer qu'une égalité n'est pas une identité.
Prouver une propriété générale avec le calcul littéral
Pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les nombres, on les désigne par des lettres, on écrit l'expression correspondante, on la transforme (développer, réduire, factoriser), puis on conclut. Pour les nombres entiers : un nombre pair s'écrit $2n$, un nombre impair $2n + 1$, deux entiers consécutifs $n$ et $n + 1$ (avec $n$ entier).
Exemple
La somme de deux nombres pairs est paire : si les nombres sont $2n$ et $2m$ ($n$ et $m$ entiers), leur somme vaut $2n + 2m = 2(n + m)$, qui est le double d'un entier, donc un nombre pair.
À retenir : Pour prouver, on travaille avec des lettres, sans leur donner de valeur. Vérifier sur quelques exemples ne constitue pas une preuve.
Les points clés
- Conventions : $2a = 2 \times a$, $ab = a \times b$ ; pour substituer, on remet les signes × et on respecte les priorités
- La dernière opération effectuée indique si une expression est une somme ou un produit
- Développer : $k(a + b) = ka + kb$ ; factoriser : $ka + kb = k(a + b)$
- Réduire, c'est regrouper les termes semblables (même lettre, même exposant)
- Une identité est vraie pour toutes les valeurs des lettres ; un contre-exemple suffit pour montrer qu'une égalité n'en est pas une
- Pour prouver une propriété générale, on raisonne avec des lettres, pas sur des exemples
L'essentiel
Le calcul littéral permet de travailler avec des nombres quelconques désignés par des lettres : on substitue des valeurs, on développe et on factorise grâce à la distributivité simple, on réduit, et on prouve des propriétés vraies pour toutes les valeurs des lettres.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Développe et réduis l'expression $A = 3(2x - 4) - 2(x - 5)$, puis vérifie ton résultat en calculant les deux écritures de A pour $x = 1$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Prouve que la somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.
Corrige cet exercice avec le tuteur →