Calcul littéral et développement en 4ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de calcul littéral et développement pour les élèves de 4ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Expressions littérales : écriture, conventions (2a, ab) et substitution d'une valeur numérique
- Structure d'une expression littérale : somme ou produit
- Distributivité simple : développer un produit
- Distributivité simple : factoriser une somme par un facteur commun
- Réduire une expression littérale
- Notion d'identité : égalité vraie pour toutes les valeurs des lettres
- Utiliser le calcul littéral pour prouver une propriété générale
Expressions littérales et simplification
Une expression littérale utilise des lettres (comme $x$ ou $y$) pour désigner des nombres. On peut la simplifier en regroupant les termes semblables, c'est-à-dire ceux qui ont la même partie littérale (même lettre avec le même exposant) : $3x$ et $2x$ sont semblables, mais pas $3x$ et $3x^2$.
Exemple
Si tu achètes x stylos à 2 euros chacun et y cahiers à 5 euros chacun, le prix total s'écrit : $2x + 5y$. C'est une expression littérale.
À retenir : Pour simplifier, on regroupe les termes semblables : $3x + 2x = 5x$.
Distributivité simple
La distributivité simple permet de multiplier un nombre par une somme. On multiplie le nombre par chaque terme à l'intérieur de la parenthèse.
Exemple
Imagine que tu dois distribuer 3 sachets contenant (2 bonbons + 1 chewing-gum). Tu auras 3×2 bonbons + 3×1 chewing-gum = 6 bonbons + 3 chewing-gums.
À retenir : $k(a + b) = ka + kb$ : on multiplie k par chaque terme.
Distributivité double (pour aller plus loin : programme de 3e)
Pour aller plus loin (les repères annuels de 2019 placent la double distributivité en 3e) : quand on multiplie deux parenthèses, on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième. On obtient 4 produits à additionner. On peut la retrouver en appliquant deux fois la distributivité simple.
Exemple
Pour calculer (2 + 3) × (4 + 5), on fait : 2×4 + 2×5 + 3×4 + 3×5 = 8 + 10 + 12 + 15 = 45.
À retenir : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ : chaque terme de la première multiplie chaque terme de la deuxième.
Réduction d'une expression littérale
Réduire une expression, c'est l'écrire sous sa forme la plus simple en regroupant tous les termes semblables (même lettre, même puissance).
Exemple
Si tu as $5x + 3 + 2x - 1$, tu regroupes les termes en $x$ ensemble et les nombres ensemble : $5x + 2x + 3 - 1 = 7x + 2$.
À retenir : Regroupe les termes semblables (même lettre, même exposant) et les nombres seuls, puis additionne-les.
Factorisation par facteur commun
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. On cherche le facteur commun à tous les termes et on le met en avant dans une parenthèse.
Exemple
Dans 6x + 9, le facteur commun est 3 (car 6 = 3×2 et 9 = 3×3). On écrit : 6x + 9 = 3(2x + 3).
À retenir : Repère le facteur commun à tous les termes (un nombre ou une lettre, par exemple $3x + x^2 = x(3 + x)$), mets-le en facteur, puis vérifie en redéveloppant.
Pour aller plus loin (hors programme du collège) : identité (a+b)²
Pour aller plus loin (hors programme du collège, étudiée en 2nde) : le carré d'une somme se développe selon la formule $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. On peut la retrouver en écrivant $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$.
Exemple
$(x + 3)^2 = x^2 + 2×x×3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$. Le terme du milieu est toujours le double du produit des deux termes.
À retenir : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : carré du premier + double produit + carré du second.
Pour aller plus loin (hors programme du collège) : identité (a-b)²
Pour aller plus loin (hors programme du collège, étudiée en 2nde) : le carré d'une différence se développe ainsi : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. C'est la même formule que pour $(a + b)^2$, avec un signe moins devant le double produit.
Exemple
$(x - 2)^2 = x^2 - 2×x×2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$. Le signe moins s'applique au double produit.
À retenir : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : attention au signe moins devant le double produit.
Pour aller plus loin (programme de 3e) : identité (a+b)(a-b)
Pour aller plus loin (la factorisation de $a^2 - b^2$ figure dans les repères de 3e) : le produit d'une somme par une différence donne une différence de carrés : $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
Exemple
$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$. Les termes du milieu s'annulent toujours.
À retenir : $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ : c'est une différence de deux carrés, très utile pour factoriser.
Substitution numérique
Substituer, c'est remplacer les lettres d'une expression par des nombres donnés, puis calculer le résultat.
Exemple
Si l'expression est 3x + 5 et qu'on te dit x = 2, tu calcules : 3×2 + 5 = 6 + 5 = 11.
À retenir : Remplace chaque lettre par sa valeur numérique, puis respecte l'ordre des opérations.
Preuves en calcul littéral
Utiliser le calcul littéral pour prouver qu'une expression a toujours une certaine propriété (toujours positive, toujours paire, etc.), peu importe la valeur de la lettre.
Exemple
Pour prouver que $x^2 + 1$ est toujours positif : $x^2$ est toujours ≥ 0 (car c'est un carré), donc $x^2 + 1$ ≥ 1 > 0. C'est toujours positif.
À retenir : Pour prouver, on travaille avec la lettre, sans lui donner de valeur : on développe, réduit ou factorise, puis on conclut. Vérifier sur quelques exemples ne suffit pas à prouver.
Les points clés
- Les termes semblables (même lettre, même exposant) se regroupent et s'additionnent.
- La distributivité simple $k(a + b) = ka + kb$ permet de développer ; la double distributivité (programme de 3e) l'étend au produit de deux parenthèses.
- Pour aller plus loin : les identités remarquables sont des raccourcis de développement (hors programme de 4e).
- Factoriser c'est l'inverse de développer : on cherche le facteur commun.
- Pour prouver une propriété, on utilise le calcul littéral sans donner de valeur numérique à la lettre.
L'essentiel
Le calcul littéral permet de travailler avec des nombres inconnus en utilisant des lettres : développer, réduire et factoriser servent à transformer une expression et à prouver des propriétés vraies pour toutes les valeurs de la lettre.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Développe et réduis l'expression suivante : $A = 3(2x - 4) - 2(x - 5)$
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Prouve que la somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.
Corrige cet exercice avec le tuteur →